1、教材高考审题答题 概率与统计热点问题 核心热点真题印证核心素养 统计图表 2020北京，18；2019全国 卷，17；2018全国卷，3 数学建模、 数据分析 二项分布 2018全国卷，20；2017全 国卷，19 数学建模、 数据分析 分布列、数学期望 2019全国卷，21；2017全 国卷，18 数学建模、 数据分析 正态分布2017全国卷，19数学建模、 数据分析 条件概率、独立事件、互斥 事件 2020全国卷，19；2019全 国卷，18 数学建模、 数据分析 回归分析 2020全国卷，5；2020全 国卷， 18； 2018全国卷， 18 数学建模、 数据分析 独立性检验 2020新
2、高考山东卷，19； 2020全国卷，18；2018全 国卷，18 数学建模、 数据分析 频率分布直方图 (老教材必修 3P72 频率分布直方图)在调查了 100 位居民的月均用水量的问题中， 从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数的估计值是 2.25t(最高的矩形的中点)(如图 1)，它告诉我们，该市的月均用水量为 2.25t 的居 民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们多多少 图 1 图 2 那么， 如何从频率分布直方图中估计中位数呢？在样本中， 有 50%的个体小于或 等于中位数，也有 50%的个体大于或等于中位数因此，在频率分布直方图中， 中位数左边和右
3、边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值图中的 虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，其左边的直方图的面积代表着 50 个单位， 右边的直方图也是 50 个单位 虚线处的数据值为 2.02(如图 2) 同样地， 可以从频率分布直方图中估计平均数 平均数的估计值等于频率分布直方图中每 个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和由图估计可知，居民月用水 量的平均数的估计值是 2.02t. 试题评析统计的基本思想是由样本估计总体，根据频率分布直方图能推出样 本的数字特征，进而估计总体的数字特征，从而作出统计推断 【教材拓展】 德化瓷器是泉州的一张名片， 已知瓷器产品 T 的质量采用综合指
4、标 值 M 进行衡量，M8，10为一等品；M4，8)为二等品；M0，4)为三等 品 某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选 一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图 (1)估计该新型窑炉烧制的产品 T 为二等品的概率； (2)根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率(某等次产品销量与其对应产量的比 值)及单件售价情况如下： 一等品二等品三等品 销售率 8 9 2 3 2 5 单件售价20 元16 元12 元 根据以往的销售方案， 未售出的产品统一按原售价的 50%全部处理完 已知该瓷 器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条
5、件： 综合指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)不小于 6； 单件平均利润不低于 4 元 若该新型窑炉烧制产品 T 的成本为 10 元/件，月产量为 2000 件，在销售方案不 变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件 解(1)记 A 为事件“该新型窑炉烧制的产品 T 为二等品” 由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品 T 为二等品的频率为(0.110.16)2 0.54， 故该新型窑炉烧制的产品 T 为二等品的概率估计值为 0.54. (2)先分析该窑炉烧制出的产品 T 的综合指标值的平均数： 由频率分布直方图可知，综合指标值的平均数 x (10.0
6、130.0450.1170.1690.18)26.84. 该窑炉烧制出的产品 T 的综合指标值的平均数的估计值 6.846， 故满足认购条件. 再分析该窑炉烧制的单件平均利润值： 由频率分布直方图可知，该新型窑炉烧制的产品 T 为一、二、三等品的概率估计 值分别为 0.36，0.54，0.1. 故 2000 件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为 720，1080，200. 一等品的销售总利润为 7208 9(2010)6400 元； 二等品的销售总利润为 10802 3(1610)1080 1 3(101650%)3600 元； 三等品的销售总利润为 2002 5(1210)200 3
7、5(101250%)320 元 故 2000 件产品的单件平均利润值的估计值为(64003600320)20004.84 元， 满足认购条件， 综上所述，该新型窑炉达到认购条件 【链接高考】(2019全国卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进 行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠 给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩 尔浓度相同 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分 比根据试验数据分别得到如下直方图： 记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到
8、P(C) 的估计值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表) 解(1)由已知得 0.70a0.200.15， 故 a0.35， b10.050.150.700.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00. 回归分析问题 【例题】(2021长沙模拟)随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生 活的一部
9、分，因此很多消费者对手机流量的需求越来越大长沙某通信公司为了 更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包该通信公司选了 5 个城 市(总人口数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)作为试点并分别对其采 用不同的定价方案，经过一个月的调查统计，发现该流量包的定价 x(单位：元/ 月)和购买人数 y(单位：万人)的关系如下表所示 流量包的定价 x/(元/月)3035404550 购买人数 y/万人18141085 (1)根据表中的数据，运用相关系数分析说明是否可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系？并指出它们之间是正相关还是负相关 (2)求出 y 关于 x 的回归方程； 若该通信公司在
10、一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为 25 元/月， 请用所求回归方程预测该城市一个月内购买该流量包的人数能否超过 20 万 参考数据： 25000158， 26000161， 27000164. 参考公式：r b 自主解答 解(1)根据题意，得x 1 5(3035404550)40， y 1 5(18141085)11. 可列表如下： i12345 xix 1050510 yiy 73136 (xix )(yiy ) 701501560 根据表格和参考数据，得 5 i1 (xix )(yiy )160， 5 i1（xix ）2 5 i1（yiy ）2 250104 26000161.
11、 所以相关系数 r 5 i1（xix ） （yiy ） 5 i1（xix ）2 5 i1（yiy ）2 160 161 0.99. 由于|r|0.99 很接近 1，因此可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系 由于 r20， 故若将流量包的价格定为 25 元/月，预计该城市一个月内购买该流量包的人数会 超过 20 万 探究提高在两个变量的回归分析中要注意以下两点： (1)求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算 (2)借助散点图，观察两个变量之间的关系若不是线性关系，则需要根据相关 知识转化为线性关系 【尝试训练】近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛 发展
12、 某汽车交易市场对 2020 年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称使用 时间)进行了统计， 得到频率分布直方图如图(04表示00； 当 x(400， 600时， f(X)g(Y)f(X)g(X)(18004X)(21004X)300g(Y)； 当 x(400，600时，f(X)g(Y) (2)甲的日送餐量 x 的分布列为： x131416171820 P 1 15 1 5 2 5 1 5 1 15 1 15 乙的日送餐量 y 的分布列为： y111314151618 P 2 15 1 6 2 5 1 10 1 6 1 30 则 E(x)13 1 1514 1 516 2 517 1 518
13、 1 1520 1 1516， E(y)11 2 1513 1 614 2 515 1 1016 1 618 1 3014. E(X)30E(x)480，480(300，600； E(Y)30E(y)420，420(400，) 所以 A 公司外卖配送员的平均月薪约为 18004E(X)3720(元)， B 公司外卖配送员的平均月薪约为 21004E(Y)3780(元)， 3720900，所以方案 20g/次剂量组接种效果好 2 n（adbc）2 （ab） （cd） （ac） （bd） 2000（90027100973） 2 100010001873127 44.80610.828， 所以有 9
14、9.9%的把握认为该疾病疫苗接种成功与两种接种方案有关 (2)假设 20g/次剂量组临床试验接种一次成功的概率为 p， 由数据知，三次接种成功的概率为 973 10000.973，不成功的概率为 27 10000.027， 由于三次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等， 所以(1p)30.027，得 p0.7， 设参与试验的 1000 人此剂量只接种一次成功的人数为 X， 显然 XB(1000，0.7)，E(X)10000.7700， 参与试验的 1000 人此剂量只接种一次成功的人数均为 700， 且 973700273， 所以选用 20g/次剂量组方案， 参与该试验的 1000 人
15、比此剂量只接种一次成功人 数平均提高 273 人 2(2021郑州模拟)为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数 x 与每颗作 物的产量 y 之间的关系进行研究，收集了 11 块实验田的数据，得到下表： 实验 田编 号 n 1234567891011 x(颗/ 米 2) 3.545.15.76.16.97.589.11011.2 y(斤/ 颗) 0.330.320.30.280.270.250.250.240.220.250.15 技术人员选择模型 y 1 abx2作为 y 与 x 的回归方程类型，令 u ix2i，i1 yi，相 关统计量的值如下表： 11 i1ui 11 i1i 11 i
16、1uii 11 i1u 2 i 60044272145642 由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示： (1)根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号(给出判断即可，不必 说明理由)； (2)剔除可疑数据后， 由最小二乘法得到关于 u 的线性回归方程 u 中的 0.03，求 y 关于 x 的回归方程； (3)利用(2)得出的结果，计算当单位面积播种数 x 为何值时，单位面积的总产量 xy 的预报值最大？(计算结果精确到 0.01) 附：对于一组数据(u1，1)，(u2，2)，(un，n)，其回归直线 u 的斜率 和截距的最小二乘法估计分别为 n i1uiinu n i1u
17、 2 inu 2 ， u ， 305.48. 解(1)可疑数据的编号为 10. (2)剔除数据(10，0.25)后，在剩余的 10 组数据中u 11 i1uiu10 10 600100 10 50， 11 i1i10 10 444 10 4， 所以 0.03u 4500.032.5， 所以关于 u 的线性回归方程为 0.03u2.5， 则 y 关于 x 的回归方程为y 1 2.50.03x2. (3)根据(2)的结果并结合条件，单位面积的总产量的预报值 x 2.50.03x2 1 2.5 x 0.03x 1 2 2.5 x 0.03x 30 3 1.83， 当且仅当2.5 x 0.03x 时，
18、等号成立， 此时 x 2.5 0.03 5 30 3 9.13， 即当 x9.13 时，单位面积的总产量的预报值最大，最大值是 1.83. 3某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销 售该产品 50 天，统计发现每天的销售量 x 分布在50，100)内，且销售量 x 的分 布频率 f(x) n 100.5，10nx10（n1） ，n 为偶数， n 20a，10nx10（n1） ，n 为奇数. (1)求 a 的值并估计销售量的平均数； (2)若销售量大于或等于 70，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层抽 样的方法随机抽取 8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进
19、行统计，设这 3 天来自 X 个组，求随机变量 X 的分布列及数学期望(将频率视为概率) 解(1)由题意知 10n50， 10（n1）100，解得 5n9，n 可取 5，6，7，8，9， 结合 f(x) n 100.5，10nx10（n1） ，n 为偶数， n 20a，10nx10（n1） ，n 为奇数， 得 6 100.5 8 100.5 5 20a 7 20a 9 20a1，则 a0.15. 可知销售量分布在50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100)内的频率 分别是 0.1，0.1，0.2，0.3，0.3， 销售量的平均数为 550.1650.1750.2850
20、.3950.381. (2)销售量分布在70，80)，80，90)，90，100)内的频率之比为 233，所以 在各组抽取的天数分别为 2，3，3， X 的所有可能取值为 1，2，3， P(X1) 2 C38 2 56 1 28， P(X3)C 1 2C13C13 C38 18 56 9 28， P(X2)1 1 28 9 28 9 14. X 的分布列为 X123 P 1 28 9 14 9 28 数学期望 E(X)1 1 282 9 143 9 28 16 7 . 4(2021重庆调研)某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫 工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次 NCP
21、 普查，为此需要抽验 1000 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制订了下列两种可供选择的方案 方案：将每个人的血分别化验，这时需要验 1000 次 方案：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行 检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血只需检验 一次( 这时认为每个人的血化验1 k次)；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样 再分别进行一次化验，这样，该组 k 个人的血总共需要化验(k1)次 假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，且这些人之间的实验反应 相互独立 (1)设方案中，某组 k 个人的每个人的血化验次数为
22、X，求 X 的分布列； (2)设 p0.1，试比较方案中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数； 并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？ (最后结果四舍五入保留整数) 解(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为 q，则 q1p，所以 k 个人的血混合 后呈阴性反应的概率为 qk，呈阳性反应的概率为 1qk. 依题意可知 X1 k，1 1 k，所以 X 的分布列为 X 1 k 11 k Pqk1qk (2)方案中，结合(1)知每个人的平均化验次数为 E(X)1 kq k 11 k (1qk)1 k qk1， 所以当 k2 时，E(X)1 20.9 210.69， 此时 1000 人需要化验的总次数为 690； k3 时，E(X)1 30.9 310.6043， 此时 1000 人需要化验的总次数为 604； k4 时，E(X)1 40.9 410.5939， 此时 1000 人需要化验的总次数为 594， 即 k2 时化验次数最多，k3 时次数居中，k4 时化验次数最少，而采用方案 需化验 1000 次，故在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平 均减少 1000594406 次
