1、轴对称之最短距离轴对称之最短距离 唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河” 诗中隐含着一个有趣的数学问题 图 1 如图 1 所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发，走到河边饮马后再到 B 点宿营请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了， 传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫 海伦海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B 地开会，应该怎样走才 能使路程最短？ 从此，这个被称为“将军饮马将军饮马”的问题广泛流传 这个问题的解决并不难，
2、据说海伦略加思索就解决了它 1、一动两定型 （1）如图，定点 A，B 分布在定直线 l 的两侧，在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 的值最小。 （2）如图，定点 A，B 分布在定直线的同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 的值最小。 （3）如图，定点 A，B 分布在定直线的同侧，在直线 l 上找一点 P，使得PBPA 值最小。 （3）如图，定点 A，B 分布在定直线的同侧，在直线 l 上找一点 P，使得PBPA 值最大。 （4）如图，定点 A，B 分布在定直线的两侧，在直线 l 上找一点 P，使得PBPA 值最大。 2、一定两动型 （1）如图，点 P 为角内一点，在射线 2
3、1,l l上分别找点 M，N，使得PMN 的周长最小。 （2）如图，点 P 为角内一点，在射线 21,l l上分别找点 A，B，使 PA+AB 值最小。 3、两定两动型 （1）如图，点 P，Q 为角内一点，在射线 21,l l上分别找点 M，N，使得四边形 PQMN 的周长最 小。 （2）如图，直线 mn，A，B 分别为 m 上方和 n 下方的定点（直线 AB 不与 m 垂直)，在 m， n 上分别求点 M，N，使得 MNm，且 AM+MN+BN 的值最小。 （3）如图，定点 A，B 分布在直线的同侧，长度为 a(a 为定值）的线段 MN 在 I 上移动（点 M 在点 N 的左边），在直线 l
4、 上求两点 M，N(点 M 在左)，使得 MN=a，并使得 AM+MN+NB 的值 最小。 （4） 如图， A 为 1 l上一定点， B 为 2 l上一定点， 在 1 l上找一点 N， 在 2 l上找一点 M， 使得 AM+MN+NB 的值最小。 专题讲解与练习专题讲解与练习 1、如图，AOB=30，OC 为AOB 内部的一条射线，P 为射线 OC 上一点，OP=4，点 M，N 分别为 OA，OB 边上的动点，则PMN 周长的最小值为 2、四边形 ABCD 中，BAD=130，B=D=90，在 BC，CD 上分别找一点 M，N，使AMN 的周长最小，则AMN+ANM 的度数为 3、如图，直线
5、L 是一条河，P，Q 是两个村庄.欲在 L 上的某处修建一个水泵站，向 P，Q 两 地供水， 现有如下四种铺设方案， 图中实线表示铺设的管道， 则所需管道最短的是 （） 4、如图，在等腰ABC 中，AB=AC，D,E 分别是 BC，AC 的中点，点 P 是线段 AD 上的一个动 点.当PCE 的周长最小时，做出点 P 的位置，并保留作图痕迹。 5、如图，AOB=60，点 P 是AOB 内的定点，且 OP=3，点 M，N 分别是射线 OA，OB 上 异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是 6、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 AB 的中点，点 P 是边 BC 上的动点，点
6、Q 是对角 线 AC 上的动点(包括端点 A，C)，则 EP+PQ 的最小值是 7、如图，四边形 ABCD 为菱形，E 为 BC 边上一定点，P 为对角线 BD 上一动点，当 PE+ PC 最小时，画出点 P 的位置，并说明理由. 8、（通辽中考）如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，A=120，点 E 是 BC 边上的动点，点 P 是对角线 BD 上的动点，若使 PC+PE 的值最小，则这个最小值为 9、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点 P 满足 ABCDPAB SS 矩形 3 1 ，则 点 P 到 A、B 两点的距离之和 PA+PB 的最小值为 10、（1
7、）如图（1），在 x 轴上有一点 C，使ABC 的周长最短，求最短周长的值； （2）如图（2），在 x 轴上找一点 C，在 y 轴上找一点 D，使 AD+CD+BC 的值最小，求最小值. 11、 （扬中一模）如图，正方形 ABCD 的面积为 16，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 12、如图，P 是AOB 内任意一点,OP=6cm,M,N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点，PMN 周长的最小值是 6cm,则AOB 的度数是 13、如图，P 为AOB 内一定点，M，N 分别是射线 OA 和射线 O
8、B 上一点，当PMN 的周长最小时，MPN=110，则AOB= 14、如图，已知 RtABC 中，B=90，AB=3,BC=4,D，E，F 分别是边 AB，BC，AC 上的动点，则 DE+EF+FD 的最小值为 15、如图，MON=36，P 是MON 内一定点，点 A，B 分别在射线 OM，ON 上移动. 当PAB 的周长最小时，APB 的大小为 16、 如图， 已知ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=4， BCD=15， P 为 CD 上的动点， 则|PA-PB| 的最大值是 17、如图，在四边形 ABCD 中，DAB=130，D=B=90，M，N 分别是 CD，BC 上的动点， 当AM
9、N 的周长最小时，AMN 十ANM 的度数为 18、(1)如图，在直线 AB 的一侧有 C，D 两点，在 AB 上找一点 P，使 C，D，P 三点组成的 三角形的周长最短，找出此点，并说明理由. (2)如图，在AOB 内部有一点 P，是否在 OA,OB 上分别存在点 E，F，使得 E，F，P 三点 组成的三角形的周长最短?若存在，请找出 E，F 两点，并说明理由；若不存在，请说明理由. (3)如图，在AOB 内部有两点 M,N，是否在 OA,OB 上分别存在点 E，F，使得 E，F，M，N 四点组成的四边形的周长最短?若存在，请找出 E，F 两点，并说明理由；若不存在，请说明 理由. 19、如
10、图，一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在 A,B 两处的两名公安人员想在距 A，B 相等的距离处同时抓住这一罪犯.请你帮助公安人员在 图中设计出抓捕点，并说明理由， 20、如图，已知直线l及其一侧两点 A，B. （1）在直线l上求作一点 Q，使 QA，QB 与l的夹角相等，并说明理由， （2）在直线l上求作一点 S，使SBSA最大，并说明理由。 21、如图，l为汀江河的南岸线，一天傍晚某收童在 A 处放牛，欲将牛牵到河边饮水后再 回到家 B 处，牧童想以最短的路程回家，请你在图中画出牛饮水处 C 的位置.(保留痕迹） 22、如图所示，正方形 ABCD 的面积为
11、12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在 对角线 AC 上有一点 P、使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为 23、如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC=60，若将ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD 分别与 BC、CD 交于点 E、F，则CEF 的周长的最小值为 24、四边形 ABCD 中，B=D=90，C=70，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时，AMN+ANM 的度数为 25、如图，在锐角ABC 中，AB=24，BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分 别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最
12、小值是 26、如图，AOB=30，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、Q 分别在边 OB、 OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是(注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方 和等于斜边的平方，即 RtABC 中， C=90，则有 AC 2+BC2=AB2) 27、如图，三角形ABC 中，OAB=AOB=15，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B(36， 0)，OC 平分AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MA+MN 的最小值是 28、点 C 为AOB 内一点， （1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使CDE
13、的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若AOB=30，OC=10，求CDE 周长的最小值和此时DCE 的度数. 29、荆州护城河在 CC处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD、EE， 护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直，如何确定两座桥的位署，可使 A 到 B 点路径最短? 30、如图，已知ABC 为等腰直角三角形，ACBC4，BCD15，P 为 CD 上的动点，则 PBPA 的最大值是多少？ 31、如图，在ABC 中，ACBC2，ACB90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点， 则 ECED 的最小值是 32、如图，正方形 ABCD
14、 中，AB7，M 是 DC 上的一点，且 DM3，N 是 AC 上的一动点，求 |DNMN|的最小值与最大值 33、如图，在ABC 中，AB=AC=10,AD 是BAC 的平分线，点 E 在 AB 的季直平分线上，F 为 AD 上的动点，已知 AE:EC=3:2，求 EF+CF 的最小值 34、如图，在长方形 ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为 CD 边的中点，点 P，Q 为 BC 边上两个动点， 且 PQ=2，则当 BP=，四边形 APQE 的周长最小。 35、如图，已知MON=50，P 为MON 内一定点，点 A 为 OM 上的点，点 B 为 ON 上的点， 当PAB 的周长取最小值
15、时，求APB 的度数. 36、阅读材料：如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 222 cba 如图，MON=30，点 A 在 OM 上，0A=3,点 D 在 ON 上，OD=4，点 C 是 OM 上任意一点，点 B 是 ON 上任意一点，则折线 ABCD 的最短长度为 37、如图、在ABC 中、AB=AC=12，AC 的垂直平分线交 AC 于点 N，交 AB 于点 M，连接 MC， BMC 的周长是 20，若点 P 在直线 MN 上，则 PC-PB 的最大值为 38、如图，正方形 ABCD 的面积为 16，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角
16、 线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 最小，则这个最小值为 39、如图、在五边形 ABCDE 中，BAE=120，B=E=90，AB=BC，AE=DE，在 BC，DE 上分别找一点 M，N 使得AMN 的周长最小，则AMN+ANM 的度数（） 40、如图，已知ABC 为等腰直角三角形、AC=BC=4，BCD=15，点 P 为 CD 上的动点，则 PBPA 的最大值为 41、如图、AOB=30，0C 为AOB 内部一条射线，点 P 为射线 OC 上一点，OP=6，点 M，N 分别为 OA，OB 边上动点，则MNP 周长的最小值为 42、如图，AD，BE 在 AB 的同侧，AD=2，BE=2，
17、AB=4，点 C 为 AB 的中点，若DCE=120， 则 DE 的最大值是 43、如图，点 O 为ABC 内部一点，OB=3，点 P，点 R 是点 O 分别以直线 AB，BC 为对称轴的 对称点. （1）请指出当ABC 在什么角度时，会使得 PR 的长度等于 6?并完整说明 PR 的长度为何在 此时会等于 6 的理由； （2）请判断当ABC 不是你指出的角度时，PR 的长度是小于 6 还是大于 6?并完整说明你判 断的理由. 44、如图，已知线段 AB=6，在平面上有一动点 P 恒满足 PA-PB=4，过点 A 作APB 的平分线 的垂线，垂足为 M，求AMB 面积的最大值. 45、如图，在POQ 内部有点 M 和点 N，能使MOP=NOQ，这时在直线 OP 上取点 A，使从 点 A 到点 M 及点 N 的距离和为最小；在直线 OQ 上取点 B，使从点 B 到点 M 及点 N 的距离和 也最小，试说明：AM+AN=BM+BN.
