1、第29卷第6期咸 宁 学 院 学 报Vol . 29,No. 6 2 0 0 9年1 2月 Journal of Xiann ing Un iversityDec. 2009 文章编号: 1006 - 5342 (2009) 06 - 0147 - 02 圆锥曲线中一类最值问题的解法 3 宋贵聪 (赤壁一中,湖北 赤壁 437300) 通过教学实践,总结出圆锥曲线中一类最值的求解方 法:回归定义.结合问题自身所具有的几何意义,采用化曲 (折)线段为直线段的方法,利用两点之间线段最短、 对称、 垂线段、 三角形中两边之和大于第三(两边之差小于第三 边)等简单得到解决. 1 利用两点之间线段最短,
2、通过点关于直线对称或垂线段 求最小值 例1:(1)已知直线l: x+y=8,点F1(- 4,0 ) , F 2(4, 0 ) , 在直线l上取一点M,过M作以F1, F2为焦点的椭圆, 求长轴最短时该椭圆的方程; (2)已知平面上的点 P ( - 2,- 2) , Q (0,- 1 ) , 求一点 R ( 2 , m ) 使|PR| + |QR|最小,则m=,|PR| + |QR|的最小值是. 【 解析 】(1)先求F2关于直线l: x+y=8的对称点F 2, 则F1F 2的长即是所求最短长轴,不难得到所求椭圆的方 程为 x2 40 + y2 24 =1. 本题还可以利用直线l与椭圆的相切求解
3、. (2)是平面中到两个点之间的距离之和最小的问题, 即在直线x=2上求一点R使|PR| + |QR|最小.利用对称 性,求点Q关于直线x=2的对称点Q,再求PQ的长. 答案:- 4 3 37 例2: 求函数y=x2-x+1 +2 (x +3) 2 +2 (x 2 - 5) 2的 最小值及对应的x值. 【 解析 】 观察函数 y=x2-x+1 +2 (x +3) 2 +2 (x 2 - 5) 2, 可以化简为 y= 2( x2-x+1 2 + (x +3) 2 + (x 2 - 5) 2, 图1 它的几何意义如图1所示,设P (x, x2)是抛物线y=x2上的 动点,它到直线y=x- 1的距离
4、为|PQ| = |x2-x+1| 2 = x2-x+1 2 , P到 M ( - 3,5)的距离 |PM| = (x +3) 2 + (x 2 - 5) 2, 当|PQ| + |PM|的值最小时,M, P, Q三点共线,此直线 是过M点且垂直于直线y=2 -x,|PQ| + |PM|的最小值就 是点M到直线y=x- 1的距离 9 2 2 , 显然y=x2-x+ 1 +2 (x +3) 2 +2 (x 2 - 5) 2 = 2 |PQ| + |PM|9,此时直线y= 2 - x抛物线y=x2的交 点是P1(- 2,4 ) , P 2(1,1 ) , 即当x= - 2或x= 1时有最小 值,最小值
5、是9. 2 利用圆锥曲线的定义与平面几何知识求最值 观察题目的结构,联系有关曲线的定义(包括第一、 第 二定义)和几何意义,利用三角形中两边之和大于第三边 (两边之差小于第三边)可以简单地解决最值问题. 例3: 已知椭圆 x2 16 + y2 17 = 1内的点 M ( 2,1 ) , F 1、F2 分别是椭圆的左、 右焦点,设A是椭圆上的动点,求|AM| + |AF2|的最大(小)值. 图2 【 解析 】 如图2,连结AF2,由椭圆的定义可得|AM| + |AF2| = |AM| +2a- |AF1|,利用三角形中两边之差小于第 三边有- |M F1|AM| - |AF1|M F1|,当点A
6、, F1,M共 线,且点A位于A2时.(|AM| - |AF1|)max= |F1M| =26 则(|AM| + |AF2|)max=8 +26;当点A位于A1时 , ( |AM| - |AF1|)max= - |F1M| = -26有(|AM| + |AF2|)max=2a - |F1M|;对于点M在椭圆上、 椭圆之外,类似的结论也成 立,如果圆锥曲线是双曲线、 抛物线,也有类似结论. 图3 例4:求 函 数f ( x )=x4- 3x2- 6x+13- x4-x2+1的最大值. 3收稿日期: 2009209217 【 解析 】 原函数化为 f(x) =x2- 3x- 6x+13 -x4-x
7、2+1,其几何意义 如图3所示,抛物线y=x2上的点为P= (x, x 2 )分别到点A =(3,2) , B (0,1)的距离之差,因为点 A ( 3,2) , B (0,1)分别 在抛物线开口外部和内部,所以直线AB和抛物线相交,交 点由方程组 y=x2 x=3y- 3 可以求出,该方程有负根,根据三角 形三边之间的关系可得,当点P位于方程的负根所对应的 交 点C时,函 数f ( x )= (x - 3) 2 + (x 2- 2) 2 - x2+ (x 2 - 1) 2有最大值 10. 例5:(1)抛物线y2=4x上一个动点P, F (1,0)为抛 物线的焦点,定点 A ( 3,1 ) ,
8、 则|AP| + |PF|的最小值是 ; (2)定点 A ( 3,2 ) , F 是双曲线x2 y2 3 =1的右焦点, P为 双曲线上的动点,则|PA| + |PF|的最小值是. (3)已知P为椭圆 x2 25 + y2 9 = 1上的动点 , F ( 4,0)为右 焦点,点 A ( 2,2)为椭圆内部的点,则|PA| + 5 4 |PF|最小值 是. 【 解析 】 利用圆锥曲线的第二定义,注意到|PF|的系数 1, 1 2 , 5 4分别是抛物线、 双曲线、 椭圆的离心率 e的倒数, 根据各自的几何意义(参考下面图4、 图5、 图6 ). 图4 图5 图6 1 e |PF|就是点P到相应准
9、线的距离d,显然d+ |AP| AT,分别将所求|AP| + |PF|,|PA| + 1 2 |PF|,|PA| + 5 4 |PF|的最小值转化为定点A到相应准线的距离AT. 答案 : ( 1)4(2) 5 2 (3) 17 4 注:本例中定点A在圆锥曲线的内部(或开口的内 部 ) , 若定点在曲线外部,也有类似结论. 类比练习: (1)椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1内一定点M, F1, F2为左右焦 点,在C上求点P,使|PF1| + |PM|取得最值. 【 解析 】 由例3,最值为2a- |F2M|,2a+ |F2M|,点P 分别在F2M与椭圆的交点上. (2) (1)定点
10、 P ( - 2,3 ) , F 是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1的左 焦点,点M在C上,若|PM| + 2 3 |PF|取最小值,则最小值 为. 答案 : ( 1) (- 2 3,3)(2) 8 3 (由例5) 例6:(1)已知 M ( 3, 10 3 ) , 抛物线C: y2=2x上的动点 P,若P到M的距离d1, P到抛物线准线l的距离为d2,求 d1+d2的最小值及此时P的坐标; (2 ) P 是抛物线C: y2= 4x上的动点, P到抛物线准线 的距离为d1, P到直线l: x+ 2y- 12 = 0的距离为d2,求d1 +d2的最小值及此时P的坐标. 【 解析 】(1)
11、注意到M在C开口的外部,如图7.且d2= |PM| + |PF|FM| = 25 6 (当F, P,M共线时最小值 ) , 此 时P的坐标是(2,2 ). 图7 (2)过焦点F作l的垂线,垂足为 M ( 16 5 , 22 5 )在C开口 的外部(非常关键) (如图8 ) , d 1- |PF|,则 d1+d2= |PF| + |PM|FM| = 11 5 5 ,此时P的坐标是( 3 + 5 2 ,1 + 5 ). 图8 类比练习:已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴 上的射影是M,点 A ( 7 2 ,4 ), 则|PA| + |P M|的最小值是() (A) 7 2 (B )4(C) 9 2 (D)5 【 解析 】 选C,设y2= 2x的焦点为F,点 A ( 7 2 ,4)在抛 物线“ 外侧 ”,则|PA| + |PM| = |PA| + |PF| - 1 2 ,因此 |PA| + |PF| - 1 2 |AF| - 1 2 = 9 2 . 841咸宁学院学报 第29卷
