1、2021 考研数学一大题昌鸽解答及有关注解 17、求极限 解: 数值计算: 18、设求级数的收敛域以及和 函数. 解:设的收敛域分别为 .则的收敛域为.易知 即为所求收敛域.和函数为 19、已知曲线求上的点到坐标面距离的最大值. 解:方法 1,拉格朗日乘子法 问题即为,构造拉格朗日函数 ,既有如下式子: 方法 2:柯西不等式 20、设是有界单连通闭区域,取得最大值 的积分区域记为 解:(1)易知积分区域为,这是因为一旦积分区域溢 出了,那么积分结果等于上的积分减去一个正数了,从而积分值变小了;同 理,如果积分区域包含于,那么由于被积函数的非负性可知:积分值没有上 的积分值大,故可知:,从而有如
2、下: 注释:类似第一问的题目还有 2013 年第五届全国大学生数学竞赛非数类的第五 大题: 解题思路为:先利用高斯公式化为三重积分 若想使得此积分值最小,根据上面的推理想法易知: 由于区域内部有奇点,故采取挖洞法(挖个小椭圆, 充分小), 所以所求积分结果即为. 21、已知 (1)求正交矩阵,使得为对角矩阵; (2)求正定矩阵,使得 解:(1) 注释:一下:都 2020 年了,不会还有人用施密特正交化求 3 阶正交阵吧,不 会吧？不会吧？(滑稽 XD.注意一下,以上求解时采用的叉积方法(数学专业靳 红老师的技巧)仅针对于 3 维空间有效！但还是很方便的,省的去施密特正交 化 算一堆分数还容易错
3、,这方法简单易操作、还不易错，总之，肥肠好用 qwq,极力 推荐考研人掌握. (2)注意,此问题在高等代数里非常常见且重要,即正定矩阵的平方根分解问题！ ！ ！ 由于矩阵是实对称矩阵,且其特征值(谱)为高等代数小结 论:而对一个矩阵作用一个多项式,则的谱变为,但是对应的特征 向量不变.,的特征值为 对应特征向量仍为 注释:通常的高等代数教材上都会有这样一道题:已知为正定矩阵,试证明:存 在正定矩阵,使得这个题的证明思路就是上面那个题的构造过程. 证明:标准型方法先考虑标准型,由于为正定矩阵,所以有正交相似标准型 ,其中 再考虑一般型: 由于为正定矩阵,所以有 通过上述证明我们可知;显然任意一个
4、正定矩阵都存在次根式的矩阵分解: 已知为正定矩阵,试证明:存在正定矩阵,使得证明留给读者 作为练习.(yysy,非常简单的,自己试一试 那么我们就会思考,对于实正交矩阵,是否会存在相应的平方根分解呢？答案是 肯定的.故我们给出如下的命题: 设是行列式为+1 的阶实正交矩阵,证明存在行列式为+1 的阶实正交矩阵, 满足(PS:此为 2020 年高等代数 2 的期末考题，出的非常刁钻，哼 证明:先叙述并证明一个“正交阵的正交相似标准型”定理： Th:设为阶实正交矩阵,则存在阶实正交矩阵,有如下正交相似标准型: ,其中为正交阵 的特征值为 1 的个数, 为特征值-1 的个数, 是的复特征值的个数.
5、证明方法:选基底(扩张)方法+数学归纳法(手段) 时命题显然成立,假设阶命题成立,先考虑阶的情况: Case:若有一个实谱,取其单位特征向量,扩充并作施密特正交单位化 可得到标准正交基底: 记 且易知为正交阵则有 且为正交矩阵,所以根据归纳假设可 知:存在正交阵,有 令,则有 Case:若没有实特征值,即的谱全为复数,由共轭转置法可知:设 为对应的特征向量,则有 故令 成立.故综合 case和可知,定理对任意正交矩阵均成立,证毕. 现在我们来证明题目本身:先考虑 A 的正交相似标准型: 其实,所 以可以再出一个命题:设 A 为正交阵,则存在正交阵 B,使得.其实立方根 分解还好思考一些，比二次根分解好思考的多！ 好的，关于矩阵的 n 次根式分解暂时讨论到这里。 22、在区间上随机取一点,将该区间分为两段,较短的一段的长度记为， 较长的一段的长度记为,令 (1)求的概率密度;(2)求的概率密度;(3)求 解:(1) 在区间上随机取一点,其坐标位置记为,所以 由题意可知:. (2) (3) 至此，2021 考研数学一所有大题及其注释已经全部完成！
