1、江淮十校江淮十校 2022 届高三第一次联考届高三第一次联考 数学（理科）数学（理科）2021.8 注意事项：注意事项： 1本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个选
2、项是只有一个选项是 符合题目要求的符合题目要求的 1设集合02Axx， 1 3 2 Bxx ，则AB（） A02xxB 1 3 2 xx C 1 2 2 xx D 1 2 2 xx 2已知 2 1 i23iz，则z （） A 3 i 2 B 3 i 2 C 3 1i 2 D 3 1i 2 3设函数 12 12 x f x x ，则下列函数中为奇函数的是（） A 1 1 2 yfx B 1 1 2 yfx C 1 1 2 yfx D 1 1 2 yfx 4已知0,1a，则函数 sinf xx a， 5 , 4 6 x 有两个零点的概率为（） A 2 1 2 B 1 2 C 3 1 2 D 3 2
3、 5已知函数 x f xe， sing xx，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（） A yf xg xB yf xg x C yf x g xD g x y fx 6已知 2 6 log 2 a， 3 14 log 2 b， 3 2 2c，则a，b，c的大小关系为（） AabcBbacCcabDbca 7 九章数学中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题 “今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日 一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙 的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，老鼠第一天也进一尺，以后每天减半” 如果墙 厚 20 尺
4、，则这两只老鼠相逢所需天数至少为（） A4 天B5 天C6 天D7 天 8 2 6x yxy y 的展开式中 25 x y的系数为（ ） A12B16C20D24 9已知圆锥的母线长为 2，侧面积为23，则过定点的截面面积的最大值等于（） A3B2C3D2 10已知 0, 2 ，且sin2 cos2，则tan（） A2 2B2C 2 2 D 2 4 11已知抛物线 2 2ypx （0p ） ，F为焦点，直线过焦点F与抛物线交于A，B两点，O为 原点，AOB的面积为S，且 3 4 3 ABBFS，则p （） A2B4C6D8 12已知不等式 1 2ln0 kx k xxe 恒成立，则k的最小值为
5、（） A1 eB2eC 1 1 e D 1 2 e 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若x，y满足约束条件 20 50 1 0 xy xy y ，则5zxy的最大值为_ 14已知向量2, 1a ，5,3b ，若 /akbab ，则k _ 15已知双曲线C： 2 2 1 4 x y 的一条渐近线与圆E： 22 20 xyx 相交于A，B两点，则 AB _ 16已知正方体 1111 ABCDA B C D 的棱长为 1，点P为底面 1111 A B C D的四条棱上的动点，则 PBPD的取值范围为_ 三三、解答题解答题：共共 70 分
6、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinsinsinb cB cCaA （1）求角A； （2）求 22 sinsinBC的最小值 18 （12 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，学生甲参加校团委举办的“学党史，迎七一”党史知 识竞赛，比赛共十道题，答对一题得 10 分，答错一题扣 5 分，假设每道题甲能答对的概率为 4 5 ，且每道 题答对与否相互独立 （1）求甲答题开始后，直到第 4 道题才答对的概率； （2）求甲得分的期望是多少？ 19（12 分） 如图， 四棱锥PABCD
7、中，PA底面ABCD， 底面ABCD为矩形，2AB，3BC ， 4PA，M为AD的中点，N为PC的中点 （1）证明：/MN平面PAB； （2）求平面PBC与平面PCD所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S ，首项为 1 a ，且 1 2 n n S aa n （1）证明： n a为等差数列； （2）若 n a的首项和公差均为 1，求数列 1 2 2121 n nn a aa 的前n项和 n T 21 （12 分）已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab ）长轴长为 4，P在C上运动， 1 F， 2 F为C的 两个焦点，且 12 cosF PF 的
8、最小值为 1 2 （1）求C的方程； （2）已知过点0,Mm（bmb ）的动直线l交C于两点A，B，线段AB的中点为N，若 OA OBOMON 为定值，试求m的值 22 （12 分）已知函数 1 x f xxe （1）求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； （2）设函数 2 3 1 4 2 axax a e g xf x ，讨论 g x零点的个数 江淮十校江淮十校 2022 届高三第一次联考届高三第一次联考 数学数学（理科）试题参考答案与评分细则（理科）试题参考答案与评分细则 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项
9、中在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是只有一个选项是 符合题目要求的符合题目要求的 题 号 1234567891 0 1 1 1 2 选 项 CABACABBDADC 1C 2A解析： 23i3 2i23ii 2i2 zz ，故选 A 3B解析： 1 1 2 12212 111 122 12 2 x x yfx xx x 为奇函数，故选 B 4 A解析：sinax， 5 , 4 6 x 有 2 个零点， 借助图像得 2 ,1 2 a ， 2 1 2 2 1 12 P ， 故选 A 5C解析：对于 A， sin x yf xg xex为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 A；对 于 B， ，
10、 sin x yf xg xex为非奇非偶函数， 与函数图象不符， 排除 B； 对于 D， sin x g xx y fxe ， 当2x 时，01y，与图象不符，排除 D，故选 C 6A解析： 3 0 2 221c ， 22 61 0loglog2 22 a， 33 114 log3log1 22 b， abc，故选 A 7B解析：大老鼠每天打洞的距离成首项为 1，公比为 2 的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首 项为 1，公比为 1 2 的等比数列 距离之和为 1 1 1 1 212 21 1 1 22 1 2 n n n n n S 4 7 1620 8 S ， 5 15 3220 16
11、S 这两只老鼠相逢所需天数至少为 5 天，故选 B 8B解析：因为 22 666xx yxyxyyxy yy ，所以 25 x y的系数为 6 xy展开 式中 6 y， 24 x y的系数之和，由于 6 16 Cr rr r Tx y ， （ 0,1,2,6r ） ，所以 25 x y的系数为 64 66 CC16， 故选 B 9D解析：因为轴截面为顶角是 2 3 的等腰三角形，故当截面为顶角是 2 的等腰三角形时面积最大， 此时 1 2 2 sin2 22 S ，故选 D 10A解析： sin2 cos2两边平方可得 22 sin2 cos22 sincos， 所以 2 cos22 sinc
12、os1，所以 222 cos22 sincos1sincos， 所以 2 22 sincossin，因为sin0，所以22 cossin a，tan22，故选 A 11D解析：抛物线的准线方程l： 2 p x ，如图所示， 作AGl于G，作BHl于H，作BEAG于E， 设BEl，因为BHl，3AGl，所以2AEl， 故3 AB k，所以直线AB的方程3 2 p yx ， 因为 33 1 332 ABSAB d，所以 23d ，解得8p ，故选 D 12C解析： 11 1ln0ln1 kxkx k xxxexxkxe 构造函数 lnf xxx ，易知 f x在0,上单增 11kxkx fxfex
13、e ， 两边取对数得 ln ln11 x xkxk x 在0,上恒成立， 令 ln x g x x ，易求出 max 1 g x e 11 11kk ee ，故选 C 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 1319 解析：根据不等式组表示的平面区域，将初始直线 0 l：50 xy 向上平移经过点 3 7 , 2 2 时，z取得 最大值 19 141 解析：25 , 1 3akbkk ，7,2ab ，于是2 2 57 1 30kk，解得1k 15 4 5 5 解析：不妨设双曲线C： 2 2 1 4 x y的一条渐近线方程为 1 2 yx，圆
14、E： 22 20 xyx 的标准 方程为 2 2 11xy，故 2 22 14 5 22 1 55 rdAB 1642 2,2 2 解析：不妨设点P在棱 11 A B上，设 1 P Ax ，则 1 1P Bx ，由勾股定理可得 2 2222 2 211002101PDPBxxxx， 其几何意义为x轴上一动点,0M x（01x）到两定点 0,2S与 1,1T的距离之和易知其 最小值即为 0,2 S 到 1,1T的距离， 即 min 422PBPD S T 又有平面几何知识知，PBPD的最大值在0 x 或1x 处取得， 当0 x 时，2 2PBPD；当1x ，= 3 12 2PBPD 故PBPD的
15、取值范围为42 2,2 2 三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解： （1）由正弦定理得 22 b c b ca，即 222 bcabc ， 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc ，因为0,A， 所以 2 3 A （2）因为 3 BC，所以 22 2 1 cos2 1 cos23 sinsin 32 2 B B BB 1 131 1cos2sin21sin 2 2 2226 BBB ， 因为 0, 3 B ，所以 11 1sin 2 262 B ，当且仅当 6 B 时等号成立， 所以 22 s
16、insinBC的最小值为 1 2 18解： （1）记甲答题时第i道题答对为事件 i A（1,2,3,10i ） ， 则事件 1 A， 2 A， 3 A， 4 A是相互独立事件， 记甲答题开始后，直到第 4 道题才答对为事件A，则 1234 AAAAA ， 所以 2 3 134 144 55625 P AP AP AP AP A ； （2）记甲答对的题数为随机变量X，总得分为随机变量Y，则 4 10, 5 XB ， 所以 4 108 5 E X， 105 101550YXXX， 于是 1550155070E YEXE X， 所以甲得分的期望是 70 分 19解： （1）取PB中点H，则/HN B
17、C， 1 2 HNBC， 又/AMBC， 1 2 AMBC ，/HN AM，HNAM于是HNMA为平行四边形 则/MN AH，又MN 平面PAB，AH 平面PAB，/MN平面PAB （注：其它方法酌情给分！ ） （2）以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则 2,0, 4PB ，2,3, 4PC ，0,3, 4PD 设平面PBC的法向量为 1 , ,nx y z ，从而 240 2340 xz xyz ，取 1 2,0,1n ， 同理平面PCD的法向量为 2 0,4,3n ， 设平面PBC与平面PCD所成锐角二面角大小为， 则 12 33 coscos,5 255 5 n n
18、20解： （1）由题意得 1 111 2 211 nn nn Snana Snana （2n ） 两式相减得 11 21 nn naana 从而 11 11 21 1 nn nn naana naana 再两式相减得 11 1122 nnn nanana 又10n 11 2 nnn aaa ，于是 n a为等差数列 （注：其它方法酌情给非！ ） （2）由（1）可得 n a为等差数列，又 1 1ad， n an 于是 1 1 1 2211 212121 2121 21 nn nn nn nnaa 则 22311 111111 11 212121212121 n nnn T 21解： （1）由题意
19、得2a ， 设 1 PF， 2 PF长分别为p，q则 2 2 2222222 22 4242222 cos111 22 2 pqcpqpqcbpqbbb pqpqpqpqa pq ， （当且仅当pq时取等号） 从而 2 2 21 1 2 b a ，得 2 2 3 4 b a ， 2 4a， 2 3b ， 则椭圆的标准方程为 22 1 43 xy （注：其它方法酌情给分！ ） （2）若直线l的斜率不存在，易得3OA OBOMON ； 若直线l的斜率存在，设其方程为ykxm，联立 22 1 43 ykxm xy 得 222 4384120kxkmxm，易知0 恒成立， 设 11 ,A x y， 2
20、2 ,B x y，则 1212 , 22 xxyy N ， 且 12 2 8 43 km xx k ， 2 1 2 2 412 43 m x x k ， 12 1212 2 yy OA OBOM ONx xy ym 121212 2 m x xkxmkxmkxmkxm 2 22 1 212 22 4128 11 243243 kmmkmkm kx xxxk kk 22 222 222 3 4343 1241243 3 434343 km kmm kkk 要使上式为常数，必须且只需 2 430m ，即 3 3, 3 2 m 。 此时3OA OBOMON 为定值，符合题意 综上可知，当 3 2 m
21、 时，能使得 3OA OBOMON 22解： （1） 2 x fxxe，所以 13kfe， 12fe， 所以切线方程为30exye； （2） 2 14 x g xxeaxax 所以 22422 xx gxxeaxaxea 当0a 时，20 x ea，当, 2x 时， 0gx ， g x递减， 当2,x 时， 0g x， g x递增， 因为 2 240gea， 01 0g ， 又因为当2x 时，10 x ，1 x e ， 所以11 x xex， 所以 22 14411 x xeaxaxaxax， 令 2 4110axax ，解得 2 41164 2 aaa x a ， 故取 2 41164 2
22、2 aa a b a ，则 0g b ， 所以存在 1 , 2xb， 2 2,0 x 使得 12 0g xg x，有两个零点； 当0a 时， 1 x g xxe，有一个零点1x ； 当 3 1 0 2 a e 时， ln23a，令 0g x，解得2x 或ln2a， 所以当,ln2xa 时， 0g x ， g x递增， 当ln2, 2a时， 0gx， g x递减， 当2,x 时， 0g x ， g x递增， 因为 2 ln222ln2ln2gaaaa ，令ln23at 又因为当3t 时 2 220tt， 所以ln20ga， 又 01 0g ，存在 0 2,0 x 使 0 0g x有一个零点 综上：当 3 1 0 2 a e 时，有一个零点；当0a ，有两个零点
