1、长沙市名校长沙市名校 2022 届高三上学期第一次月考届高三上学期第一次月考 数学数学 本试卷共本试卷共 8 页时量页时量 120 分钟满分分钟满分 150 分分 一、一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1设集合1,0,1,2A ，集合 128| x Bx，则AB （） A1,1B1,2C0,1,2D1,2,3 2设复数 z 满足 2 1 i z i 则z （） A1B2C 1 2 D 2 2 3对具有线性相关关系的变量 x，
2、y，测得一组数据如下： x24568 y2040607080 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10 5yxa，据此模型预测当20 x 时，y 的 估计值为（） A210.5B211C211.5D212 4过抛物线， 2 2(0)ypx p的焦点 F 作斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点（A 在 B 的上 方） ，且 l 与准线交于点 C，若4CBBF ，则 | | AF BF （） A2B3C 5 3 D 5 2 5公元前 3 世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出： “球的体积（V）与它的直径（D）的立方 成正比” ，此即 3 VkD，欧几里得未给出 k 的值17
3、 世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他 们将体积公式 3 VkD中的常数 k 称为“立圆率”或“玉积率” 类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方 形的圆柱） ，正方体也可利用公式 3 VkD求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长） 假设运用此体积公式求得球奖（直径为 a） ，等边圆柱（底面圆的直径为 a） ，正方体（棱长为 a）的“玉积率”分别为 123 kkk、 、，那么 123 :kk k :（） A:2 32 B:2 64 C:1 32 D:1 64 6已知(0,) 2 a 且 2 12cos7sin240，若tan3，则tan（） A 1 13 或7B
4、 7 11 或 1C1D 1 13 7某电视台的夏日水上闯关节目一共有三天，第一关与第二关的过关率分别为 2 3 , 3 4 只有通过前一关 才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立一选手参加该节目，则该选手能进人 第三关的概率为（） A 1 2 B 5 6 C 8 9 D15 16 8已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F、 2 F，过点 2 F作倾斜角为的 直线 l 交双曲线 C 的右支于 A，B 两点， 其中点 A 在第一象限， 若 1 ABAF， 且双曲线 C 的离心率为 2 则 cos（） A 1 4 B 1 3 C
5、2 3 D 1 2 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9已知函数( )3cos(2)1 3 f xx ，则下列关于( )f x的说法正确的是（） A最大值为 4B在 5 (,) 4 12 上单调递减 C(,1) 6 是它的一个对称中心D 6 x 是它的一条对称轴 10已知不等式 2 0(0)xaxba的解集是|x xd，则下列四个结论中正确的是（）
6、 A 2 4abB 2 1 4a b C若不等式 2 0 xaxb的解集为 12 ,x x，则 12 0 x x D若不等式 2 xaxbc的解集为 12 ,x x，且 12 4xx，则4c 11如图已知 P 是半径为 2，圆心角为 3 的一段圆弧AB上的一点，若2ABBC ，则PC PA 的值 可以是 （参考数据1336.60） （） A2B1C0D1 12如图所示，在矩形ABCD中，2,1ABBC，E 为CD上一动点，现将BEC沿BE折起至 BEF，在平面FBA内作FGAB，G 为垂足设,CEs BGt，则下列说法正确的是（） A若BF 平面AEF，则 1 2 t B若AF 平面BEF，则
7、 2 3 s C若平面BEF 平面ABED，且1s ，则 1 2 t D若平面AFB 平面ABED，且 3 2 s ， 则 3 4 t 三三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若 ln1 x fxekx是偶函数，则k _ 14，已知直线:30l mxy与圆 22 (1)(2)4xy交于 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线 与 x 轴交于 C，D 两点，若4AB ，则CD _ 15设函数 ln ( ) x f xax x ，若曲线 yf x在1x 处的切线经过点2, 1则实数 a 的值为 ； f x在 1 ,e e （e 为自
8、然对数的底数，271828e ）上的最小值为_ 16 在 数 列 n a中 ， 对 任 意 *, n nNak， 当 且 仅 当 1 22, kk nkN ， 若 满 足 24816 +52 mmmmm aaaaa，则 m 的最小值为_ 四四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 在ABC中内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知2,7ab，面积 3 cos 2 SacB，求 cosC的值 18 （本小题满分 12 分） 比知数列 n a满足： 13 2
9、0,8 nn aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n n n b a 数列 n b的前 n 项和为 n T若22021 n Tm对 * nN恒成立求正整数 m 的最大 值 19 （本小题满分 12 分） 设甲、乙两位同学在高中年级上学期间，甲同学每天 6：30 之前到校的概 率均为 2 3 ，乙同学每天 6：30 之前到校的概率均为 3 4 ，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同 学每天到校情况相互独立 （1）设 A 为事件“上学期间的五天中，甲同学在 6：30 之前到校的天数为 3 天” ，B 为事件“上学期 间的五天中，甲同学有且只有一次连续两天在 6：30 之前到
10、校”，求在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生 的概率， （2）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在 6：30 之后到校，则之后的一天 甲，乙同学必然同时在 6：30 之前到校，在上学期间的五天，随机变量 Y 表示甲、乙同学同时在 6：30 之 前到校的天数，求 Y 的分布列与数学期望 20 （本小题满分 12 分） 如图，在ABC中，2,120ACBCACBO 为ABC的外心，PO 平面ABC，且 6PO （1）求证：/ /BO平面PAC； （2） 设平面PAO平面PBCl； 若点 M 在线段PC上运动， 且PMPC ， 当直线 l 与平面ABM 所成角取最大值时，求的值
11、 21 （本小题满分 12 分） 设椭圆 22 :1 95 xy C长轴的左，右顶点分别为 A，B （1） 若 P、Q 是椭圆上关于 x 轴对称的两点， 直线,AP BQ的斜率分别为 121 2 ,0k kk k ， 求 12 kk 的最小值； （2）已知过点0, 3D的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两个不同的点，直线,AM AN分别交 y 轴于点 S、 T，记,DSDO DTDO （O 为坐标原点） ，当直线 1 的倾斜角为锐角时，求的取值范围 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 2 1 ( )2 2 x x f xxx e （271.828e 是自然对数的底数） （1）设0,
12、4x，求 f x的最小值； （2）讨论关于 x 的方程 2 11 ( )2|()l 2 n x f xxxaaR e x x 的根的个数， 长沙市名校长沙市名校 2022 届高三上学期第一次月考届高三上学期第一次月考 数学参考答案数学参考答案 一、一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 题号12345678 答案CBCCDDBA 1 C 【解析】 由函数2xy 单调递增， 不等式 03 222 x 解得03x， 即集合03|Bxx，
13、则0,1,2AB 故选 C 2B【解析】因为 2i2i(i 1) 1 i 1 i(i 1)(i 1) z ，所|2z 故选 B 3C【解析】 245682040607080 5,54 55 xy ，将5,54xy代入 10 5yxa 得5452515a ，则10515yx，当20 x 时，10 520152115y ，应选答案 C 4C【解析】分别过 A，B 作准线的垂线，垂足分别为 11 ,A B，设,BFx AFy， 则 11 | | BBAABF BCBCAC ， 1 44 y yxx ， | | 5 3| AFy BFx 故选 C 5D【解析】由题意得球的体积为 333 11 44 (
14、 ) 33266 a VaRk ； 等边圆柱的体积为 223 22 ( ) 244 a VaaRka ； 正方体的体积 3 33 1Vak，所以 123 :1 64 kkk ，故选 D 6D【解析】由 2 12cos7sin240，得 22 4cos7sincos2sin0， 所以 2 2tan7tan40，求得tan 1 2 （舍） ，tan4 又 tan()tan3tan tantan() 1 tan()tan1 3tana ， 将tan4的值代入上式可得： 1 tan 13 故选 D 7 B 【解析】 该选手闯过第一关的概率为 1 2128 3339 P ， 闯过第二关的概率为 2 31
15、315 44416 P ， 所以该选手能进入第三关的概率为 8155 9166 P 故选 B 8A【解析】由双曲线的定义知， 12 2AFAFa， 1 ABAF， 121 AFBFAF，即 122 2AFAFBFa， 12 24BFBFaa， 在 12 BFF中，由余弦定理知， 222 2121 212 | cos 2| | BFFFBF BFFF ， 22222 44163 cos 2 222 acaca acac 431 2,cos 44 c e a ，故选 A 二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的选项中在每小题给出
16、的选项中，有多有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 题号9101112 答案ADABDABCAC 9AD【解析】由( )3cos(2)1 3 f xx ，( )f x的最大值为 4，所以 A 正确； 因为当 5 (,) 4 12 x 时， 57 2(,) 366 x ，( )f x不是单调函数，所以 B 错误； 因为(,1) 6 不在 yf x图象上，所以不是其对称中心，所以 C 错误； 因为()4 6 f 为函数的最大值，所以 6 x 对称轴，所以 D 正确，故选 AD 10ABD【解析】
17、由题意 2 40ab， 2 4 a b ，所以 A 正确； 对于 B： 222 22 144 24aaa baa 等号当且仅当 2 2 4 a a ，即2a 时成立， 所以 B 正确； 对于 C：由韦达定理，知 2 12 0 4 a x xb ，所以 C 错误； 对于 D：由韦达定理，知 2 1212 , 4 a xxa x xbcc ， 则 2 22 121212 |()44()24 4 a xxxxx xacc，解得4c ，所以 D 正确； 故选 ABD 11ABC【解析】以圆心为原点，平行AB的直线为 x 轴，AB的垂直平分线为 y 轴，建立平面直 角坐标系， 则( 1, 3),(2,
18、3)AC设 2 (2cos2sin ), 33 ,P ， 则(22cos , 32sin ) ( 1 2cos , 32sin )PC PA 52cos4 3sin52 13sin()，且 33 0tan,0 636 ， 5 36 ， sin()y在(, 3 2 递增，在 5 ,) 26 递减， 当 2 时，PC PA 最小值为52 13， 当 2 3 时，PC PA 的最大值为 22 52cos4 3sin0 33 ， 则52 13,0PC PA 所以 ABC 正确，D 错误，故选 ABC 12AC【解析】对于 A，若BF 平面AEF，则BFAF， 在Rt BGF中，2,1ABBFBC，则,
19、 360AFABF ， FG是三角形的高，则 1 cos60 2 tBGBF 所以 A 正确； 对于 B，若AF 平面BEF，则有,AFBF AFEF， 则3AF ，在Rt AEF中， 22222 AFEFAEADDE， 即 2222 ( 3)(2)1ss，解得 1 2 s ，所以 B 错误； 对于 C，若平面BEF 平面ABED，作FHBE，垂足为 H， 因为平面BEF 平面ABEDBE，所以FH 平面ABED，从而FHAB， 又ABFG，所以AB 平面FHG，从而ABHG， 因为1s ，所以在等腰直角三角形FEB中， 2 2 BH ， 所以在等腰直角三角形BGH中， 1 2 tBG，所以
20、C 正确； 对于 D，若平面AFB 平面ABED，平面AFB平面ABEDAB， 又ABFG，故FG 平面ABED， 所以FGBE，作FHBE，垂足为 H， 从而有BE 平面FGH，从而BEHG，从而有 C，H，G 三点共线， 则90CGBGCB，又90EBCGCB， 故CGBEBC，又90GBCBCE ， 所以Rt CBGRt ECB，故 BGCB CBEC ， 因为 3 1, 2 CBsEC，所以 2 3 tBG，所以 D 错误；故选 AC 三三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 1 2 【解析】 f x是偶函数， 1 ( 1)(
21、1),ln(1)ln(1)ffkek e ， 1 2 k 经检验 1 2 k 符合题意，故答案为 1 2 144 2【解析】圆 22 (1)(2)4xy，圆心1,2，半径2r ， 4AB ，直线:30l mxy过圆心1,2， 230m ，1m ，直线:30l xy，倾斜角为135， 过 A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点， 4 4 2 sin452 2 AB CD 15 1 1 e e 【解析】 函数 ln ( ) x f xax x ， 则 f x定义域为0,， 2 2 ln1 ( ) xax fx x 由题设 (1)( 1) (1) 12 f f ，解得1a 从而 2
22、2 (1) ( ) lnx f x x x ；当01x时， 0,1fxx时， 0fx 可知 f x在 1 ,1 e 单调递增在1,e上单调递减又 111 ( )( )f eefe eee ， 所以 f x在 1 ,e e 上的最小值为 11 ( )fe ee 16512【解析】不妨设 1* 22, kk mkN mN ，由题意可得， m ak， 因为 12 222, kk mkN ，所以 2 1 m ak， 同理可得， 4816 2,3,4 mmm akakak， 所以 24816 1234510 mmmmm aaaaakkkkkk， 因为 24816 52 mmmmm aaaaa，所以510
23、52k ，解得 42 5 k ，又kN， 所以 k 的最小值整数解为 9，故 m 的最小值为 9 2512故答案为：512 四四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 【解析】由三角形面积公式 1 sincos 3 22 BBacac，则tan3B ， 0,B，60B 4 分 （法一）由正弦定理 sinsin ab AB 得， sin sin 3 2 21 2 77 a b B A 又由27ab得AB，所以 2 2 7 cos1 sin 7 AA，8 分 所以coscoscoscossi
24、nsinCABABAB 2 712137 727214 10 分 （法二）由余弦定理得 222222 222 2cos60( 7)cosBbacaccc ， 即 2 230cc，解得1c （舍）或3c ，8 分 由余弦定理得 4797 cos 142 27 C 10 分 18 【解析】 （1）因为数列 n a满足： 13 20,8 nn aaa ， 所以 1 2 nn aa ，设 n a的公比为 q，可得2q ，4 分 又 3 8a ，即 1 48a ，解得 1 2a ，4 分 所以2 n n a ；5 分 （2） 2 n n n nn b a ，6 分 23 123 2222 n n n T
25、 ， 2341 1123 22222 n n n T ，7 分 上面两式相减可得 231 1111 22222 n nn n T 1 11 (1) 22 1 2 1 2 n n n ，8 分 化简可 2 2 2 n n n T ，9 分 因为 1 11 321 220 222 xn nnn nnn TT ，10 分 所以 n T递增， 1 T最小，且为 1 2 所以 1 22021 2 m，11 分 解得2022m，则 m 的最大值为 202112 分 19 【解析】 （1）事件AB包含 6 种情况；甲同学第 1、2、4 天 6：30 之前到校； 甲同学第 1、2、5 天 6：30 之前到校；
26、甲同学第 2、3， 、5 天 6：30 之前到校； 甲同学第 1、3、4 天 6：30 之前到校；甲同学第 1、4、5 天 6：30 之前到校； 甲同学第 2、4、5 天 6：30 之前到校，故 32 2116 ()6( ) ( ) 3381 P AB ，又 332 5 2180 ( )( ) ( ) 33243 P AC， 所以 ()3 (|) ( )5 P AB P B A P A 5 分 （2）随机变量 Y 的所有可能取值为 2、3、4、5 则 334 11119 (2)( ),(3)3( )3( ) 282216 P YP Y， 455 11911 (4)4( )( ),(5)( )
27、2232232 P YY.10 分 则随机变量 Y 的分布列为： Y2345 P 1 8 9 16 9 32 1 32 11 分 则 1991103 ( )2345 816323232 E Y 12 分 20 【解析】 （1）如图，连接OC，交AB于点 D，O 为ABC的外心， 2,ACBCOAOBOC，所以OACOBC， 所以 1 60 2 ACOBCOACB 故OAC和OBC都为等边三角形，3 分 即四边形OACB为菱形，所以/ /OBAC 又AC 平面PAC，OB 平面PAC，所以/ /BO平面PAC5 分 （2）由（1）同理可知因为/ /BO平面POA，BC 平面PBC， 平面PAO平
28、面PBCl，所以/ /BCl6 分 如图所示：以点 D 为原点，,DA DC，垂直平面ABC的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则( 3,0,0), (3,0,0),(0,1,0), (0, 1, 6),( 3,1,0)ABCPBC 设PMPC 所以( 3,21, 6(1),(2 3,0,0)BMBPPMBA 设平面ABM的法向量为, , )(nx y z 2 30 3(21)6(1)0 BAx BMxyz n n ，得 0 (21)6(1)0 x yz 令6y 得 21 (0, 6,) 1 n 9 分 所以直线 l 与平面ABM所成角的正弦值为： 222 61 sincos, 2
29、1 ( 3)16(2) 1 n BC ，11 分 即当 1 2 即点 M 是线段PC的中点时，直线 l 与平面ABM所成角取最大值12 分 21 【解析】 （1）设点 00 ,P xy，由椭圆的对称性知 00 ,Q xy，不妨令 0 0y ， 由已知3,0 ,3,0AB，则 00 12 00 , 33 yy kk xx ，显然有 0 33x-，2 分 则 000 12 2 000 6 339 yyy kk xxx ， 222 2 000 0 9 19 955 xyy x ，则 12 0 10 3 kk y ，4 分 因 0 05y，所以 12 0 102 5 33 kk y ， 当且仅当 0
30、5y 时等号成立，即 12 kk的最小值为 2 5 3 5 分 （2）当直线 l 的倾斜角为锐角时，设 1122 ,M x yN xy、，设直线:3,0l ykxk， 由 22 3 1 95 ykx xy 得 22 (59)54360kxkx， 从而 22 (54 )4 36 (59)0kk，又0k ，得 2 3 k ， 所以 1212 22 5436 , 9595 k xxx x kk ，6 分 又直线AM的方程是： 1 1 3 3 y yx x ，令0 x ，解得 1 1 3 3 y y x ，所以点 S 为 1 1 3 0, 3 y x ； 直线AN的方程是： 2 2 3 3 3 y y
31、x x ，同理点 T 为 2 2 3 0, 3 y x 所以 12 12 33 0,3 ,0,3 ,0,3 33 yy DSDTDO xx ， 因为,DSDO DTDO ，所以 12 12 33 33 ,33 33 yy xx ，8 分 所以 1212 1212 12121212 2311833 222 333339 kx xkxxyykxkx xxxxx xxx 22 2 22 3654 23118 1019595 22 3654921 39 9595 k kk kkk kkk kk 2 110101 22 991 1 k k k 11 分 2 3 k ， 4 ,2 3 ， 综上，所以，的范
32、围是 4 ,2 3 12 分 22 【解析】 （1）由题意可求得 2 2 2 2 x xx xex xx fxx ee ，1 分 因为1,0,4 x exx x ，当0,2x时， 0fx，所以 f x在0,2上单调递减， 当2,4x时， 0fx，所以 f x在2,4上单调递增，3 分 所以0,4x时， f x的最小值为 2 4 22f e 4 分 （2）设 2 2 1 ( ) |ln|( )2|ln|,(0, 1 ) 2 xx x h xxf xxxaxa x xee ， 令 2x x y e ，则 2 12 x x y e ， 所以 2x x y e 在 1 (0, ) 2 上递增，在 1
33、( ,) 2 递减5 分 （i）当1,x时，ln0 x ，则 2 ( )ln x x h xxa e ， 所以 2 2 ( )(21) x x e h xex x 因为 2 210,0 x e x x ，所以 0hx ， 因此 h x在1,上单调递增7 分 （）当0,1x时，ln0 x ，则 2 l(n) x x x h xa e ，则 2 2 ( )(21) x x e h xex x 因为 2 222 (1,),1,01,1 x xx e eeex x ，即 2 1 x e x ，又21 1x ， 所以 2 2 ( )(21)0 x x e h xex x ，因此 h x在0,1上单调递减
34、 综合（i） （）可知，当0,x时， 2 1 ( )(1)h xa e h ，5 分 当 2 (1)0hea ，即 2 1 a e 时，)(h x）没有零点，故关于 x 的方程根的个数为 0， 当 2 (1)0hea ，即 2 1 a e 时，)(h x只有一个零点， 故关于 x 的方程根个数为 1，7 分 当 2 (1)0hea ，即 2 1 a e 时，当1,x时， 22 lnln 1 ( )(n1l) x x h xaaa ee xxx ， 要使 0h x ，可令ln10 xa ，即 1 , a xe ；9 分 当0,1x时， 1 2 1 ( )lnln()ln1 2 x x h xxaxeaxa e ， 要使 0h x ，可令ln10 xa ，即 1 0, a xe ，所以当 2 1 a e 时， h x有两个零点，故关于 x 的方程根的个数为 2，11 分 综上所述：当 2 1 a e 时，关于 x 的方程根的个数为 0，当 2 1 a e 时，关于 x 的方程根的个数为 1， 当 2 1 a e 时，关于 x 的方程根的个数为 212 分
