1、利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第步，由不等式恒成立来 求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 一洛必达法则 法则 1 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1)及； (2) 在点 a 的去心 邻域 内， f(x) 与 g(x) 可导且 g(x) 0 ； (3)， 那么=。 法则 2 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1)及； (2)， f(x) 和 g(x) 在与上可导，且 g(x) 0 ； (3)， 那么=。 法则 3 若函数 f(x) 和 g(x
2、) 满足下列条件： (1)及； (2) 在点 a 的去心 邻域 内， f(x) 与 g(x) 可导且 g(x) 0 ； (3)， 那么=。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的 x a ， x 换成 x + ， x - ，洛必达法则也 成立。 洛必达法则可处理，型。 在着手求极限以前，首先要检查是否满足， 型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这 时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二高考题处理 1.(2010 年全国新课标理 ) 设函数。 （
3、1） 若，求的单调区间； （2） 若当时，求的取值范围 原解： （ 1 ）时，. 当时，；当时，. 故在单调减少， 在单调增加 （ II ） 由（ I ）知，当且仅当时等号成立 . 故 ， 从而当，即时，而， 于是当时，. 由可得. 从而当时， ， 故当时，而，于是当时，. 综合得的取值范围为 原解在处理第（ II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解 : （ II ）当时，对任意实数 a, 均在； 当时，等价于 令(x0), 则，令 ，则， 知在上为增函数，；知在上为增函数， ；， g(x) 在上为增函数。 由洛必达法则知，故 综上，知 a 的取值范围为。 2 （ 2011 年全国
4、 新课标理 ）已知函数，曲线在点处的切线方程为 。 （ ）求、的值； （ ）如果当，且时，求的取值范围。 原解： （ ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。 （ ）由（ ）知，所以 。 考虑函数，则。 （ i ） 设，由知，当时， h （ x ） 递 减。而故当时，可得； 当 x（ 1 ， +）时， h （ x ） 0 从而当 x0, 且 x1 时， f （ x ） - （+） 0 ，即 f （ x ） +. （ ii ）设 0k0, 故（ x ） 0, 而 h （ 1 ） =0 ，故当 x（ 1 ，）时， h （ x ） 0 ， 可得h （ x ） 0, 而 h （ 1 ） =0 ，故
5、当 x（ 1 ， +）时， h （ x ） 0 ，可得h （ x ） 0, 与题设矛盾。 综合得， k 的取值范围为（ -， 0 原解在处理第（ II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解： （ II ）由题设可得，当时， k=0 在上为增函数 =0 当时，当 x（ 1 ， +）时， 当时，当 x（ 1 ， +）时， 在上为减函数，在上为增函数 由洛必达法则知 ，即 k 的取值范围为（ -， 0 规律总结： 对恒成立问题中的求参数 取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题 中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用 洛必达法则可以较好的处理它的最值，是 一种值得借鉴的方法。 从高
6、考题看含参不等式恒成立问题的解题策略 海口一中 操冬生 已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题是中学数学的重要内容之一，是函数、方 程、不等式交汇处一个较为活跃的知识点。这类问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函 数、方程、不等式等内容，综合性强，思想方法深刻，能力要求较高，因而成为近几年高考 试题中的热点。为了对含参不等式恒成立问题的解题方法有较全面的认识，本文以 2010 年 高考试题的解法为例，对此类问题的解题策略作归纳和提炼，供大家参考。 一 分离参数，转化为求函数的最值 对于变量和参数可分离的不等式，可将参数分离出来，先求出含变量一边的式子的最 值，再由此推出参数的取值范围。 例
7、1 （ 2010 年全国卷 1 理）已知函数 （）若，求的取值范围 （）证明 : 解析：（），由 得，令，于是，问题化为求函数的最大 值。，当时，；当时，。当时， 有最大值， （）略。 评析：含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问 题需把握住下述结论：（ 1 ）恒成立；（ 2 ）恒 成立；（ 3 ）恒成立。（ 4 ） 恒成立。 二 分离参数，转化为求函数的确界 如果分离参数后相应的函数不存在最值，为了能够利用分离参数思想解决含参不等式恒 成立问题，我们利用如下的函数确界的概念： 函数的上确界为，记作；函数 的下确界为，记作。于是，有如下结论： （ 1 ）若无最大
8、值，而有上确界，这时要使恒成立，只需。 （ 2 ）若无最小值，而有下确界，这时要使恒成立，只需 。 例 2 （ 2010 年湖南卷理）已知函数，对任意的，恒有 （）证明：当时， （）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求 的最小值。 解析：（）略。 （）由即恒成立，得 从而，等号当且仅当，即时成立 （ 1 ）当时，令，则，则 因为函数（）的最大值不存在，但易知其上确界为 （ 2 ）当时，或 0 ，从而 恒成立 综合（ 1 ）（ 2 ）得的最小值为 例 3 （ 2010 年全国卷理）设函数 （）若，求的单调区间。 （）若时，求的取值范围。 解析：（）由对所有的成立，可得 （ 1 ）当时，； （
9、 2 ）当时，设，问题转化为求的最小值或 下确界。，令，因为 ，又的二阶导数，的 三阶导数，所以是增函数，故，所以增函 数，故，所以是增函数，故，从而，于是 在上单调递增，故无最小值，此时，由于无意义，但运用极限知识可得 。由洛必达法则可得：故 时，。因而，综合（ 1 ）（ 2 ）知取值范围为。 评析：用分离参数法求解本题，最大的难点在于求分离参数后所得函数的下确界，应用 洛必达法则求超出了中学所学知识范围。显然，这不是命题者的意图。因此，我们 应该探求这类问题的另一种更为一般地思考途径。 三 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值 对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的
10、问题，如例 3 ，我们可以把含参 不等式整理成或的形式，然后从研究函数的性质入手， 转化为讨论函 数的单调性和极值 。在 解题过程中常常要用到如下结论： （ 1 ）如果有最小值，则恒成立，恒成 立； （ 2 ）如果有最大值，则恒成立，恒成 立。 例 4 （ 2010 年天津文）已知函数其中 （）若，求曲线在点处的切线方程， （）若在区间上，恒成立，求的取值范围 解析：（）略。 （），令，解得或 （ 1 ）若，则，于是当时，；当时， 。所以当时，有极大值。于是时，等价于 解得 （ 2 ）若，则，于是当时，；当时， ， 当时，。所以，当时，有最大值，当时，有 最小值。于是时，等价于解得或，因 此，
11、 综合（ 1 ）（ 2 ）得 例 5 ：内容同例 3 解析：（）略 （），由方程不能求出极值点。显然，用例 4 的解法是行 不通的，但我们注意到，故问题转化为在时恒成立，即函数 在为不减函数，于是可通过求导判断的单调性，再求出使成 立的条件。 由（）有，当且仅当时成立，故 ，而当，即时 是上的不减函数， 当时，由可得 故当时，而，于是当时 综合得 评析：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。本题抓住 这一重要的解题信息，将问题转化为在时恒成立，通过研究函数在 上是不减函数应满足的条件，进而求出的范围。隐含条件对解题思路的获 得，起到了十分重要的导向作用。 从以上高考题的解法可知
12、：以函数的观点作指导，用导数知识作工具，从研究函数的单 调性、最值（极值）等问题入手，将 含参不等式恒成立问题转化为研究函数的性质问题， 是 确定恒不等式中参数取值 范围问题的重要思考方法。 对这类问题的处理， 需要考生具备 过硬的导数、不等式知识，并能灵活运用这些知识研究函数的性质等问题。在高三复习课教 学中，有意识地给学生这方面的训练，对培养他们的数学综合素质是大有好处的。 洛必达法则 一 . 微分学中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数在闭区间 a,b 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，那末在 (a,b) 内至少有 一点 c ， 使即成立。 这个定理的特殊情形，即：的情形，称为 罗尔定
13、理 。 罗尔定理 若在闭区间 a,b 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且，那末在 (a,b) 内 至少有一点 c ，使成立。 下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理 柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数，在闭区间 a ， b 上连续，在开区间 (a ， b) 内可导，且 0 ， 那末在 (a ， b) 内至少有一点 c ，使成立。 在求函数的极限时，常会遇到两个函数、都是无穷小或都是无穷大时，求它 们比值的极限，此时极限可能存在，也可能不存在通常把这种极限叫做未定式， 并分别简称为型或型。例如，就是型的未定式；而极限就是型 的未定式我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能
14、应用 商的极限等于极限的商 这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？ 计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式 进行计算 . 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法 . 本节将用导数作 为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则 . 本节的几个定理所给出的求极限 的方法统称为 洛必达法则 . 一、型未定式 定理 1设函数、满足下列条件： （ 1 ），； （ 2 ）与在的某一去心邻域内可导，且 ； （ 3 ）存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当存在时，也存在且等于；当 为无穷大 时，也是无穷大 这种在一定条件下通过分
15、子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为 洛必达（ospital ）法则 . 例 1 计算极限. 解 该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得 . 例 2 计算极限 解 该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则，得 注 若仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即 例 3 计算极限 解 由洛必达法则，得 例 4计算极限 解 二、型未定式 定理 2设函数、满足下列条件 ： （ 1 ），； （ 2 ）与在的某一去心邻域内可导，且； （ 3 ）存在（或为无穷大）， 则 注：上述关于时未定式型的洛必达法则，对于时未定式型同样适 用 例 5 计算极限 解 此极限满足洛必达法则，于是得
16、 例 6 计算极限 解所求问题是型未定式，连续次施行洛必达法则，有 例 7 计算极限 解（利用等价无穷小量代换） 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （ 1 ）洛必达法则只能适用于 “”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成 “”或“”型才能运用该法则； （ 2 ）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （ 3 ）洛必达法则的条件是充分的，但不必要因此，在该法则失效时并不能断定原极 限不存在 习题 4-6 1. 用洛必达法则求下列极限： （ 1 ）；（ 2 ）； （ 3 ）；（ 4 ）； （ 5 ）；（ 6 ）； （ 7 ）；（ 8 ） 4. 洛必达法则 在使用洛必塔法则时应注意以下几点： 洛必塔法则只适用于型或型的极限 . 如果仍是型或型 , 则可继续使用洛必塔法则 . 如果不存在且不是, 并不表明不存在 , 只表明洛必塔法则失效 , 这时应用其他方法求解 .
