1、二项式定理（第二项式定理（第 1 1 课时）课时） 广东省深圳中学黄文辉 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明 内容解析：本节是高中数学人教 A 版选修 23 第一章第 3 节的内容二项式定理是多 项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变 量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备 由于二项式定理的发现， 可以通过从特殊到一般进行归纳概括， 在归纳概括过程中还可 以用到组合计数模型， 因此， 这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽 略的价值教学中应当引起充分重视 二、目标和目标解析二
2、、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项 式定理 （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式 定理的简单应用 （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模 型培养学生数学建模素养 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二 项式定理符合学生的认知规律 但归纳概括的结论， 如果不加以严格的证明不符合数学的基 本要求因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证 明二项式定理提供方法 （2）由于二项展
3、开式是一个复杂的多项式如果不把其看成一个数列的和，引进数列 的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识因此，通过一些特例，建立 二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径 （3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机 会去落实 在二项式定理的教学中， 从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开 式的规律是进行数学抽象教学的很好机会； 同时利用组合计数模型证明二项式定理， 以及利 用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会 基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理 三、教学问题诊断分析三、教学问
4、题诊断分析 1教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又 较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是 本节课的第一个教学问题解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得 到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上 2教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题这不仅是 本节课的重点，也是教学难点解决方案：通过比较多项式 112233 ()()()ababab展开 式中项与项的异同点，得出()nab的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容 3教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题学
5、生很容易把发现二项式展 开式的过程就当成二项式定理的证明过程 二项式定理的证明可以用数学归纳法， 但难度较 大较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明解决方案：通 过对 3 ()ab的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行 刻画 基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律 四、教学策略分析四、教学策略分析 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示为了让学生通过观察、 归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台因此，在教学过程中使用 TI-图形 计算器 既可以解决多项式乘法的复杂计算问题， 也可以让学
6、生从被动学习状态转到主动学 习状态中来 在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学问题的设置给学生留有充分的思 考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点 在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽 象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范因 此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试 五、教学过程与设计五、教学过程与设计 教教 学学 环环 节节 问题或任务问题或任务师生活动师生活动设计意图设计意图 回回 顾顾 前前 知知 引引 出出 猜猜 想想 问题问题 1有人说有人说
7、 70 (1)x的展开式的展开式中中 有有 47 x项项，你认为你认为对对 吗吗？若有若有， 它的系数是它的系数是 多少多少？ 问题问题 2为了解决问为了解决问题题 1， 需要用到需要用到() n ab的的 展开展开， 你认为这个展开你认为这个展开 式式式会怎样呢？式会怎样呢？ 教师教师 1： 提出问题提出问题 1 学生学生 1：学生思考 教师教师 2：提出问题：提出问题 2 学生学生 2：学生思考 教师教师 3：观察观察 1 ()ab、 2 ()ab、 3 ()ab、 4 ()ab、 5 ()ab的展开式，的展开式，你能得到哪些你能得到哪些规规 律？律？ 学学生生 3： 利用图形计算器 CA
8、S 的 expand()函数， 得出 3 ()ab、 4 ()ab、 5 ()ab的展开式 教师教师 4：根据你所计算的结果，填对应表格根据你所计算的结果，填对应表格 学生学生 4：发现项数、项的次数、项的系数并猜 想： 1 01 ()n nnn kkn kn abaababb 问题引入 提出问题 引导学生通 过对特殊情 形的观察， 归纳猜想一 般情形的基 本特征 教师引导， 学生根据所 得具体的展 开式，从展 开式中的项 数、项的次 数、项的系 数等角度进 行归纳，并 根据归纳所 得猜想一般 的展开式的 结果 学生体会由 特殊到一般 的归纳猜想 的过程 探探 寻寻 规规 律律 获获 得得 结
9、结 论论 问题问题 3猜想一：猜想一： 1 01 ()n nn n kkn kn abaab abb 中的中的 k ？ ？ 教师教师 5：提出问题：提出问题 3 学生学生 5：引起思考，并提出想法 教师教师 6：提出问题：提出问题： 在在 33223 0123 ()abaa babb 中，为什么中，为什么“ 0 1 ， 1 3 ， 2 3 ， 3 1 ”？ 学生学生 6：展开式计算，寻找答案 教师教师 7：提出问题：提出问题： 3 ()ab与与 112233 ()()()ababab是什么是什么 关系关系？ 学生学生 6：当 123 aaaa , 123 bbbb 时， 3 112233 ()
10、()()()abababab 教师教师 7：提出问题：提出问题： 探 究探 究 112233 ()()()ababab展 开 式展 开 式 的 特的 特 点点 学生学生 7：利用图形计算器的 CAS 功能中 expand()函数，得出 112233 ()()()ababab的 展开式 教师教师 8：引导学生分析引导学生分析 112233 ()()()ababab 展开式展开式的各项的各项，并提出问题在展开式中为什么并提出问题在展开式中为什么 没有没有 1 12 a ba项，项， 12 a a等项？等项？ 学生学生 8： 学生根据所得的计算结果，观察得到 展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每
11、 个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的 一般问题回 到特殊情形 进行研究 把问题回到 已知的结构 进行处理 学生通过计 算器得到计 算结果 教师通过引 导学生对展 开式各项构 成的观察， 得到项的构 成 教师教师 9：通过表格呈现特殊通过表格呈现特殊 3 ()ab与与 112233 ()()()ababab的展开式的的展开式的 并提出问题：并提出问题： 33223 0123 ()abaa babb中中， 为什么为什么 1 3 ？ 学生学生 9： 3 ()ab展开式中的项 2 3a b是由 112233 ()()()ababab展开式中的项a a b 123， a b a 1 23，b a a
12、123去掉足码得到 aab，aba，baa 后合并同类项得到从三个括号中的一个括号 选择“b”剩余两个括号选择“a”构成的， 因为从三个括号中的一个括号选择 “b” ， 一旦 确定哪个括号选 “b” ， 剩余两个括号选择也就 确定了，因为“b”有三种选择，所以对应同 类项的个数就为3，即“ 2 a b”的系数为3 教师教师 10：能否用计数模型进行解释？能否用计数模型进行解释？ 学生学生 10： “ 2 a b”可以看成是从三个括号中选 择一个括号选 “b”， 剩余两个括号选择 “a” ， 完成这件事的所有可能，要做这件是，我们可 分成两步来完成：第一、从三个括号中选择一 个括号选“b” ，有
13、 1 3 C种选择；第二、剩余两 个括号选择“a”就 2 2 1C 种选法，故有 11 33 1CC 种选法，所以， 1 13 C依此可以 得到其它系数的组合数形式： 303122233 3333 ()abC aC a bC abC b 通过特殊与 一般的项的 关系对比， 得到对系数 意 义 的 理 解 根据展开式 系数即同类 项的个数这 一结论，引 导同学们通 过一般到特 殊，用组合 计数模型对 各项系数进 行研究 教师教师 11：根据：根据所得所得 3 ()ab展开式的规律，展开式的规律，你你 能 否 得 猜 想能 否 得 猜 想()nab的 展 开 式的 展 开 式 中中 01 , kn
14、 的值的值？ 学生学生 11： 011 ()n nnkn kk nnn nn n abC aC abC ab C b 得到展开式 系 数 的 猜 想 证证 明明 定定 理理 明明 晰晰 概概 念念 问题问题 3你能你能证明证明 011 ()n nn nn kn kknn nn ab C aC ab C abC b ()Nn 吗？吗？ 教师教师 12：提出问题：提出问题 3 学生学生 12：提出想法 教师教师 13：你认为证明问题：你认为证明问题 3，关键是几步？，关键是几步？ 学生学生 13： （1）项的结构； （2）项的系数 教师教师 14：证明：()nab是n个()ab相乘， 根据多项式的
15、乘法，展开式每一项都满足 n kk ab （0,1, kn） 对项 n kk ab （0,1, kn）看成问题： 从n个括号中选择k个括号选“b” ，剩余括 号选择 “a” ， 相乘而成 可这样设计计数模型， 要做这件事，可分成两步来完成： 第一、从n个括号中选择k个括号选“b” ，有 k n C种选择； 第二、剩余括号选择“a”就1 n k n k C 种选法， 根据分步计数原理有1 kk nn CC 种选法 所以，项 n kk ab 的同类项有 k n C，故 n kk ab 的 系数为 k n C（0,1, kn） 所以，()nab展开式每一项满足 kn kk n C ab （0,1,
16、kn） 由归纳猜想 到理论证 明 引导提炼学 生提炼证明 要点 强调规范表 达 问题问题 4从数列的角从数列的角 度看度看二项式展开式二项式展开式， 你你 能获得什么认识能获得什么认识？ 问题问题 5你能你能根据根据 () n ab的展开式的展开式得出得出 ()nab的展开式的展开式吗吗？ 课堂练习课堂练习 1 (1) 求求(1)nx的 展 开的 展 开 式；式； (2)求求 6 1 (2)x x 的展的展 开式开式 课堂练习课堂练习 2 求求 9 1 ()x x 展开式中展开式中 3 x 的系数的系数 教师教师 15：上述公式叫二项式定理上述公式叫二项式定理， 展开式共有展开式共有 1n项，
17、其中各项的系数项，其中各项的系数 k n C（ 0,1, kn ） 叫做二项式系数叫做二项式系数 教师教师 16：提出问题：提出问题 4 学生学生 14： 二项展开式可以看成是一个数列的 和，数列的通项公式是 kn kk n C ab ，表示数列第 1k 项 教师教师 17：二项式展开式的通项是展开式中第二项式展开式的通项是展开式中第 1k 项项： 1 kn kk kn TC ab 学生学生 15：根据二项式定理，把()nab化成 ()nab 的形式，把此式子中的“b”看成二 项式定理中的“b”即可得到结论（写出具体展 开式） 教师教师 18：布置课堂练习：布置课堂练习 1、2 学生学生 16
18、：完成课堂练习，并通过计算器核对答 案 明晰概念 学生从数列 的角度获得 对二项式展 开式的再认 识 让学生体会 利用二项式 定理模型进 行计算，感 受数学模型 的在数学应 用中的价 值 课堂练课堂练习习 1 熟悉二项式 定理模型 课堂练课堂练习习 2让学生体 会用通项公 式表示展开 式的简洁 性 问题问题 6你从二项式你从二项式 定理的发现定理的发现、 证明与应证明与应 用的过程中体会到一用的过程中体会到一 些什么？些什么？ 教师教师 19：提出问题：提出问题 6 学生学生 17：本节课获取二项式定理的过程：先由 特殊察 3 ()ab、 4 ()ab、 5 ()ab的展开式猜 想一般() n
19、 ab的展开式项的结构， 再通过对特 师生共同回 顾总结引 领学生感悟 数学认知的 过程，体会 数学核心素 养 课课 堂堂 小小 结结 升升 华华 认认 知知 课后课后练习练习 1写出写出 6 (1)x 的展开的展开 式式 2 写出写出 3 3 1 () 2 n x x 的的 展开式展开式的第的第1r 项项 课后思考课后思考 1 3 ()abc的展开式 为 2请同学们观察下表请同学们观察下表 （我国宋朝时期数学 家 杨 辉 所 做 的 一 个 表） ，你有什么发现？ 殊形式 3 ()ab展开式项的研究得到() n ab的 展开式项的规律，最后进行理论证明；课堂展 示了获取一个一般性结论的过程：首先要通过 特殊到一般进行猜想结论，体现了数学抽象过 程；其次，得到猜想后，要进行理论论证，体 现了数学逻辑推理；最后，得到结论后，要以 此为模型进行应用，体现了数学模型的应用 学生学生 18： 学生课后进行思考， 并完成课后练习 课后练习是 对定理巩 固，思考练 习是对本节 知识的一个 深化认识， 同时也为下 节内容做好 铺垫
