1、平面向量数量积的物理背景及其含义教案平面向量数量积的物理背景及其含义教案 授课教师：宁夏银川唐徕回民中学马海军 课题：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教 A 版）数学必修 4 一、教学目标一、教学目标 1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律， 并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算； 3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 二、教学重、难点二、教学重、难点 教学重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义 2、性质与运算
2、律及其应用 教学难点：1、平面向量数量积的概念 2、 平面向量数量积的运算律（2） 、 （3）的证明 三、教学过程三、教学过程 活动一：活动一：创设问题情景，引出新课 1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的 结果是什么？ 期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题 2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是 按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 期望学生回答：物理模型概念性质运算律应用 3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算： 平面向量数量积的物理背景及其含义 活动二：活动二：探究数量积的概念 1
3、、给出有关材料并提出问题 3： （1）如图所示，一物体在力 F F 的作用下产生位移 S S， 那么力 F F 所做的功：W=|F F| |S S| cos。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： S F W（功）是量， F F（力）是量， S S（位移）是量， 是。 （3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 （1） 数量积的定义： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量 abb bcoscos叫 做a与b的数量积（或内积） ，记作：ab，即：ab= abcoscos （2）定义说明： 记法“ab”
4、中间的“ ”不可以省略，也不可以用“”代替。 “规定” ：零向量与任何向量的数量积为零。 3、提出问题 4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小 的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大 小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。 4、学生讨论，并完成下表： 的范围090=9000 的情况,为了帮助学生完善证明， 提出以下问题： 当0 时，向量a与a，b与b的方向的关系如何？此时，向量a与b及a与b 的夹角与向量a与b的夹角相等吗？ 5、师生活动：证明运算律（3） 活动五活动五：应用与提高 1、学生独立完成：已知a=5,
5、b=4,a与b的夹角=120，求ab 2、师生共同完成：已知a=6，b=4,a与b的夹角为 60，求 （a+2 2b） （a-3 3b） ，并思考此运算过程类似于哪种实数运算？ 3、学生独立完成：对任意向量a，b b是否有以下结论： （1 1）( (a+b) ) 2 2= a 2 2+2 2 ab+ +b 2 2 （2 2）( (a+b) )( (a-b) )=a 2 2 b 2 2 4、师生共同完成：已知a=3，b=4, 且a与与b不共线，k为何值时，向量 a+kb与与a-kb互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？ 5、反馈练习 1、判断下列各题正确与否： 、若a0 0，则对任一非零向量
6、b，有ab0 已知向量a、b、c和实数，则： （1）ab= =ba（2 2） （a） b=（ab)= =a （b） （3） （a+b） c= =ac+ +bc 、若a0 0，abac，则bc 2、已知ABC 中，AB=a, ,AC= =b，当ab 0 或ab0 时，试判断ABC 的形状。 活动六活动六：小结 1、本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、平面向量的数量积有哪些应用？ 3、本节课主要采用了什么研究方法？ 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？ 布置作业： 1、课本 P121习题 2.4A 组 1、2、3。 2、拓展与提高： 已知a与b都是非零向量， 且a+3+3b与与 7
7、 7a-5-5b垂直，a-4-4b与 7 7a-2-2b垂直， 求a与b的夹角。 （本题供学有余力的同学选做） 教学设计说明教学设计说明 平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的 数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数 学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中， 我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本 身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线 性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先 安排让学生讨论影响数量积结果的因
8、素并完成表格，其次将数量积的几何意义提 前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的 认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量 积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。 数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以 探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一 定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比 如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和 实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊 到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个 例题，我重点讲解例 2 和例 4，例 1 和例 3 则由学生独立完成，这样既加强了学生 的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。 在小结这个环节中，我主要是让学生从知识技能、思想方法两个方面对本节课的 内容进行全面回顾总结，达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的 内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。 以上就是我对本节课设计的简单说明。
