1、普通高中课程标准实验教科书数学必修（二） 人教 A 版 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 姓名：姓名：王晓旭王晓旭 单位：单位：河南省郑州市第十一中学河南省郑州市第十一中学 直线与平面垂直（第一课时） 教学设计 2 直线与平面垂直的判定（第一课时） 教学设计 郑州市第十一中学王晓旭 一、一、内容和内容解析内容和内容解析： 本节内容选自人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修（二） 第二章第三 节：2.3.1 直线与平面垂直的判定（第一课时） ，属于新授概念课. 本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是 直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂
2、直的研究做了准备；判定定理的教学，尽管 新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及 运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务. 线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的 特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和 研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角 和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用. 通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、 空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳
3、、猜想、化归等数学思想方法.因此学 习这部分知识有着非常重要的意义. 二、目标和目标解析：二、目标和目标解析： 数学课程标准中与本节课相关的要求是： 1在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直 位置关系的定义； 2通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理； 3能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 本节课的课程标准分解如下：本节课的课程标准分解如下： （1 1）从认知角度进行分解：）从认知角度进行分解： （1 1） 从能力角度进行分解从能力角度进行分解: : 知识分类知识分类： 直线与平面垂直的定义和判定定理. 认知水平与行
4、为动词认知水平与行为动词： 直观认 识、理解、认识、抽象出、直 观感知、 操作确认、 思辨论证、 运用、证明 学科内涵学科内涵： 在直观认识和理解空间点、 线、 面的位置关系的基础上， 抽象出空间直线 与平面垂直的定义； 通过直观感知、 操作 确认，归纳出直线与平面垂直的判定定 理； 能运用直线与平面垂直的定义和判定 定理证明一些空间位置关系的简单命题. 直线与平面垂直（第一课时） 教学设计 3 （2 2） 从能力角度进行分解：从能力角度进行分解： 根据课程标准根据课程标准 ，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为： （1） 在直观认识
5、和理解空间点、 线、 面的位置关系的基础上， 抽象出直线与平面垂直的定义； （2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理； （3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题. 针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务： 评价任务一：评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并将其抽象出直线与平 面垂直的概念； 评价任务二：评价任务二：学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成 探索. 评价任务三：评价任务三：能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并
6、用自己的语言描 述定义内容. 评价任务四评价任务四：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论， 并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能. 评价任务五：评价任务五：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务六：评价任务六：能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定 理内容并写出相应的符号语言. 直观认识和理解直观认识和理解 抽象出抽象出 直观感知生活中直线与平面直观感知生活中直线与平面 垂直的形象垂直的形象， 并从中抽象出直并从中抽象出直 线与平面垂直的概念线与平面垂直的概念. . 巩固练习巩固练习 影子实
7、验影子实验 直线与平面垂直直线与平面垂直 的定义的定义 认识和理解认识和理解 直观感直观感 知、操知、操 作确认、作确认、 归纳出归纳出 探究如何化无限为有限，探寻探究如何化无限为有限，探寻 判定直线与平面垂直的方法判定直线与平面垂直的方法 折纸活动、实际应用折纸活动、实际应用 直线与平面垂直直线与平面垂直 的判定定理的判定定理 空间位置关系的空间位置关系的 简单命题简单命题 证明证明 巩固练习巩固练习 运用运用 巩固练习巩固练习 直线与平面垂直（第一课时） 教学设计 4 评价任务七：评价任务七：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题. 三、教学问题诊断分析：三、教学问题诊断分析： 1
8、 1、学生已有基础：、学生已有基础： 学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质， 有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、 推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识. 2 2、学生面临的问题：、学生面临的问题： 高一学生仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶 段，但更注重形象思维.认识到这点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程.因此我确定 本节课的难点为：本节课的难点为： 直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定
9、理. . 因此，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生以小组为 单位进行合作，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平 面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位 置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义. 在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设 的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的 过程，在形成理解上的可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得. 四、教学策略分析：四、
10、教学策略分析： 新课程标准明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数 学思考，鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下，主要采 用的是引导发现教学法.教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象 出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着 让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法， 通过折纸活动， 让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生 进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深 刻
11、体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标. 五、课前准备：五、课前准备： 多媒体课件、三角形纸片（多种形状） 、三角板、手电筒、彩色手环、笔（表直线） 、纸 （表平面）等. 直线与平面垂直（第一课时） 教学设计 5 六、教学过程：六、教学过程： 学习环节学习环节学习目标学习目标学习评价学习评价学习活动学习活动设计意图设计意图 生活现象生活现象 引入新课引入新课 目标目标 1 1 观察学 生摆出的线 面关系是否 正确. 判断学 生是否积累 大量生活中 对直线与平 面垂直的形 象. 引入：引入： 让学生用笔和纸摆出直线与平面 的三种位置关系； 通过引导，让学生摆出直线与平面 相
12、交时最特殊的情况，带领学生进入直 线与平面垂直关系的学习. 请大家列举生活中常见的直线与 平面垂直的例子并展示图片. 引导学生 数学学习过程 中从一般到特 殊 的 研 究 规 律. 主动探索主动探索 抽象概念抽象概念 目标目标 1 1 观察学 生能否根据 老师引导， 正确进行实 验操作，并 在观察、分 析中达到预 设目标. 观察学 生的探究活 动能否在老 师指导中顺 利展开，是 否在活动中 有思考，有 获得. 思考：思考： 如何定义直线与平面垂直的概 念？ 1关于垂直你掌握了什么？ 2能否类比直线与直线垂直 的学习中，将异面直线转化为 相交直线的思路，将线面垂直 的问题转化为线线垂直的问题 分
13、组活动：分组活动： 1. 将纸平铺在桌面上，将笔直立 在纸面上； 2. 打开手电筒，观察笔所在的直 线与影子所在的直线的位置关 系； 3. 转动手电筒，观察更多影子所 在的直线与笔所在直线的位置 关系； 4. 归纳总结，当直线与平面垂直 时，直线与平面内怎样的直线 垂直？ 5. 反向思考，当直线与平面内的 直线具有上述特征关系时，能 否得到直线与平面是垂直关 系？ 6. 将笔倾斜放置，观察笔所在的 使学生从 已知推未知， 学习具有关联 性. 分组探究 增 加 学 生 兴 趣，在活动中 思考，在思考 中自然生成概 念. 直线与平面垂直（第一课时） 教学设计 6 听学生 的描述，能 否准确表达 出
14、直线与平 面垂直的定 义. 直线与影子所在的直线是怎样 的位置关系？ 7. 找出平面内与倾斜的笔垂直的 影子 8. 思考，此时平面内，与倾斜的 笔垂直的线有多少？在哪里？ 9. 思考，直线与平面内无数条直 线垂直时，直线与平面是怎样 的位置关系； 10.将笔倾斜放置， 使笔所在的 直线与平面不垂直，观察能否 找到与笔所在的直线不垂直的 影子？ 11.将笔直立放置， 此时是否还 能找到与笔所在直线不垂直才 线？ 12.上述发现说明什么？ 13.请你用自己的语言描述直 线与平面垂直的定义. 概念的生成：概念的生成： 如果直线l与平面内任意一条 直线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l.
15、注意： 1. 辨析任意、所有、每一条、无 数的区别； 2.定义体现了由线线垂直得到线 面垂直的转化. 图形语言：图形语言： 画直线与平面垂直时， 通常把直线 画成与表示平面的平行四边形的一边 垂直，如图 2.3-1 l P 图 2.3-1 判断学生 是否确实生成 定义. 直线与平面垂直（第一课时） 教学设计 7 根据学 生的回答判 定学生是否 准确掌握定 义的内涵. 直线l叫做平面的垂线，平面 叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时， 它们惟一的公共点P叫做垂足. 定义辨析：定义辨析： 1. 当直线l与平面垂直时， 直线 l与平面内任意一条直线 m是怎样的位置关系？ 2. 写书上述结论的符号语言
16、a am m 说明： 1. 定义又可以体现由线面垂直到 线线垂直的转化； 2.2. 定义体现了线线垂直与线面垂 直的相互转化. 使学生充 分掌握定义的 内涵与外延. 操作确认操作确认 判定定理判定定理 目标目标 2 2 根据学 生对假设命 题正确与否 的解释，判 断学生是否 掌握探究问 题的一般思 路. 思考：思考： 如何判定直线与平面是否垂直？ 1. 定义可以作为判定直线与平面 垂直的依据， 但在实际操作 中有困难； 2. 能否将要验证无限的转化为验 证有限的？ 3. 对一条、两条、无数条进行分 析， 从而发现需增加方向进 行判定， 使学生自然想到寻 找相交线. 假设 1, 如果一条直线与平
17、面内的 一条直线垂直，则该直线与此平面垂 直？ 假设 2, 如果一条直线与平面内的 两条直线垂直，则该直线与此平面垂 直？ 假设 3, 如果一条直线与平面内的 两条相交直线垂直，则该直线与此平面 垂直？ 4. 通过折纸活动，使学生思考， 如何折叠与放置一张纸， 可 此处提问 引导学生思考 有没有除定义 以外的判断直 线与平面垂直 的方法 感受数学 学习过程中通 过验证假设， 修正假设，逐 步得到真理的 过程 直线与平面垂直（第一课时） 教学设计 8 观察学 生的折纸结 果是否满足 要求，能否 在分析折叠 步骤中，体 会出折痕的 特点，自然 发现直线与 平面的判定 方法. 根据学 生描述判断 学
18、生是否获 得直线与平 面垂直的判 定定理. 根据学 生回答判断 是否掌握直 线与平面垂 直的判定定 以使折痕与桌面垂直？从 而寻找到判定直线与平面 垂直的方法. 活动：活动： 引导学生进行折纸环节探究： （1）.折痕与平面垂直吗？ （2）.如何折，能够使折痕与桌面 垂直？ （3）.你找的折痕有什么特点？找 这样的折痕是为了实现什么目 的？ （4）.如何放置？ （5）.当直线与桌面垂直时，固定 折痕一侧的纸片，绕着折痕旋转另 一侧纸片，观察折痕与桌面垂直 吗？此时折痕与桌面内每一条直 线什么关系？ 5. 思考，如果直线不过两条相交 线的交点， 但仍然保持与两 条相交线垂直， 能否得到直 线与两条
19、相交线所在平面 垂直？ 6. 请你试着用自己的语言叙述直 线与平面垂直的判定定理. 直线与平面垂直的判定定理生成：直线与平面垂直的判定定理生成： 一条直线与平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直. 符号语言： , , am an a mnmnP 应用：应用： 验证跨栏的支架与地面是否垂直， 如何操作？ 通过动手 操作、展示、 分享，提高学 生学习兴趣， 同时为学生的 进一步探究提 供思考方向. 体会“转 化”思想在数 学研究过程中 的重要作用. 判断学生 是否确实发现 直线与平面垂 直 的 判 定 定 理. 通过应用 加强学生数学 在生活中有用 观念. 直线与平面垂直（第一课时）
20、教学设计 9 理的使用. 探究问题探究问题 巩固提高巩固提高 目标目标 1 1 目标目标 2 2 目标目标 3 3 关注学 生是否能用 规范的数学 语言、符号 来表述解答 过程； 巩固：巩固： 例例 1 1：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1. 判断： （1） 直线 AC 是否与平面 CC1D1D 垂 直？ （2） 直线 AC 是否与平面 BB1D1D 垂 直？ （3） 直线 AC 是否与直线 BD1垂直？ C C A AB B 图 2.3-2 例例 2 2：如图 2.3-3，已知,a b a 求证：b. a b 图 2.3-3 评价学生 对直线与平面 垂直的定义与 判定定理的掌 握程度.
21、 总结升华总结升华 提高素养提高素养 目标目标 1 1 目标目标 2 2 目标目标 3 3 评价学 生的分享内 容，把握学 生对所学知 识的学习程 度. 分享收获：分享收获： 通过同学分享，总结大家在本节课 中收获的知识与方法、数学思想等. 引 领学生感受数学学习的：从生活现象抽 象出数学概念，将数学概念推理完善成 系统数学知识，用数学知识建模在生活 中应用的一般过程. 数学学习 过程的梳理有 助于加深学生 对数学三大基 本思想： 抽象、 推理、建模的 理解，提高和 升华学生的数 学核心素养. 可以让学 生感受到数学 A A1 1B B1 1 C C1 1 D D1 1 D D 直线与平面垂直
22、（第一课时） 教学设计 10 来源于生活又 应用于生活的 重要性. 让学生在 轻松愉悦的状 态 下 结 束 课 程. 学习环节学习环节学习目标学习目标学习评价学习评价学习活动学习活动设计意图设计意图 作业布置作业布置 课题研究课题研究 目标目标 1 1 目标目标 2 2 目标目标 3 3 关注学 生能否独立 按时完成当 天作业,评 价作业的正 确率. 布置：布置： 1. （必做）课本 67 页第 1、2 题； 2. （选做）直线与平面垂直的性质探 究； 3. （校本）查阅资料，了解直线与平 面垂直的判定定理的证明 激发学生 继续探究的学 习兴趣，培养 学生善于联系 生活发现问题 的习惯. 七、
23、教学设计说明：七、教学设计说明： 兴趣是最好的老师，它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此，本节 课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下，以激发 学生的学习兴趣为出发点，设置了一系列的动手操作、自主探索的活动，引导学生通过感受、 思考、交流、总结，真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验 与动手操作活动，增加了学生学习的兴趣；加入了影子实验、折纸环节，使学生体会到了学 数学的乐趣，达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数 学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生
24、的创造性思 维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求. 此外，在整个教学过程中， “学生是学习的主体”这一理念， “让不同的人在数学上得到 不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之，本节课的设计使学生的情感和能力都得到了 一定的发展，成长过程和长期发展也得到了一定的关注，体现了新课程的要求. 八、教学反思：八、教学反思： 本节课的设计从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发，对高中数学课程结构体 系及本节课教学重点的知识进行了较为系统的分析；对学生学习本节课的难点进行了深入思 考，并精心设计了重点、难点知识的教学解释；评估了学生的知识理解水平等方面，以达到 教学设计的科学、完整和精细，具有一定的可操作性和调控性. 本节课树立理解数学、理解学生、理解教学的观念来设计课堂教学，本质与核心是“以 学生的发展为本” ，这是时代发展的要求.这就要求教师在教学设计中，不仅要看到所教的学 直线与平面垂直（第一课时） 教学设计 11 科知识，而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用；不仅要研究学生的发展规律，思 考学习与发展的关系，而且要研究学生是如何学习的；不仅要以适合学生认知特点的方式传 授数学知识，而且要在教学过程中时刻体现思想性，从而在提高学生在知识水平的同时，提 高他们的素质，丰富他们的精神世界.
