1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学数学 第第 I 卷卷 注意事项：注意事项： 1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号， 2，本卷共，本卷共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分分 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件 A、B 互斥，那么互斥，那么 ()( )( )P ABP AP B 如果事件如果事件 A、B 相互独立，那么相互独立，那么 ()( )( )P ABP A P B 球
2、的体积公式球的体积公式 3 1 3 VR，其中，其中 R 表示球的半径表示球的半径 圆锥的体积公式圆锥的体积公式 1 3 VSh，其中，其中 S 表示圆锥的底面面积，表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高表示圆锥的高 一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合 1,0,11,3,5 ,0,2,4ABC ，则()ABC（） A. 0B.0,1,3,5C.0,1,2,4D. 0,2,3,4 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】 1,0,11,3,5 ,0,2,4ABC ，
3、， 1AB，()0,1,2,4ABC. 故选：C. 2. 已知aR，则“ 6a ”是“ 2 36a ”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若6a ，则 2 36a ，故充分性成立； 若 2 36a ，则6a 或6a ，推不出6a ，故必要性不成立； 所以“6a ”是“ 2 36a ”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数 2 ln | 2 x y x 的图像大致为（） A.B. C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除 AC，再
4、由当0,1x时， 0f x ，排除 D，即可得解. 【详解】设 2 ln | 2 x yf x x ，则函数 fx的定义域为0 x x ，关于原点对称， 又 2 ln | 2 x fxf x x ，所以函数 fx为偶函数，排除 AC； 当0,1x时， 2 ln | 0,10 xx ，所以 0f x ，排除 D. 故选：B. 4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评 分数据分为8组：66,70、70,74、94,98，并整理得到如下的费率分布直 方图，则评分在区间82,86内的影视作品数量是（） A.20B.40C.64D.80 【答案】D 【解析】 【
5、分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间82,86内的影视作品数量. 【 详 解 】 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 ， 评 分 在 区 间82,86内 的 影 视 作 品 数 量 为 400 0.05 480. 故选：D. 5. 设 0.3 21 2 log 0.3,log 0.4,0.4abc ，则 a，b，c 的大小关系为（） A.abcB.cabC.bcaD. acb 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出, ,a b c的范围即可求解. 【详解】 22 log 0.3log 10，0a， 1222 2 5 log 0.4log 0.4loglog 2
6、1 2 ，1b ， 0.30 00.40.41 ，01c ， acb. 故选：D. 6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 32 3 ，两个 圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（） A.3B.4C.9D.12 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥 的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D， 设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD， 设球的半径为R，则 3 432 33 R ，可得2R ，所以，44ABADBDBD， 所以，
7、1BD ，3AD ， CDAB，则90CADACDBCDACD ，所以， CADBCD， 又因为ADCBDC，所以，ACDCBD， 所以， ADCD CDBD ， 3CDAD BD ， 因此，这两个圆锥的体积之和为 2 11 3 44 33 CDADBD . 故选：B. 7. 若2 510 ab ，则 11 ab （） A.1B.lg7C. 1D. 7 log 10 【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出, a b，再由换底公式可求. 【详解】2510 ab ， 25 log 10,log 10ab， 25 1111 lg2lg5lg101 log 10log 10ab . 故选：C. 8
8、. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点与抛物线 2 2(0)ypx p的焦点重合， 抛物线的准线交双曲线于 A，B 两点，交双曲线的渐近线于 C、D 两点，若 2 |CDAB则双曲线的离心率为（） A. 2 B. 3 C. 2D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设公共焦点为,0c，进而可得准线为xc ，代入双曲线及渐近线方程，结合线 段长度比值可得 22 1 2 ac，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 与抛物线 2 2(0)ypx p的公共焦点为,0c， 则抛物线 2 2(0)ypx p的准线为x c
9、 ， 令xc ，则 22 22 1 cy ab ，解得 2 b y a ，所以 2 2b AB a , 又因为双曲线的渐近线方程为 b yx a ，所以 2bc CD a ， 所以 2 22 2bcb aa ，即 2cb ，所以 2222 1 2 acbc， 所以双曲线的离心率2 c e a . 故选：A. 9. 设aR，函数 22 cos(22). ( ) 2(1)5, xaxa f x xaxaxa ，若 ( )f x在区间(0,)内 恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是（） A. 95 11 2, 42 4 B. 5711 ,2, 42 4 C. 911 2,3 44 D. 11 ,2
10、,3 44 7 【答案】A 【解析】 【分析】由 22 2150 xaxa最多有 2 个根，可得cos 220 xa至少有 4 个根，分别讨论当xa和xa时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】 22 2150 xaxa最多有 2 个根，所以cos 220 xa至少有 4 个根， 由22, 2 xakkZ 可得 1 , 24 k xa kZ， 由 1 0 24 k aa可得 11 2 22 ak ， （1）xa时，当 1 524 2 a 时， fx有 4 个零点，即 79 44 a； 当 1 625 2 a ， fx有 5 个零点，即 911 44 a； 当 1 726 2 a
11、， fx有 6 个零点，即 1113 44 a； （2）当xa时， 22 ( )2(1)5f xxaxa， 22 4(1)4582aaa， 当2a 时， ， fx无零点； 当2a 时，0 ， fx有 1 个零点； 当2a 时，令 22 ( )2 (1)5250f aaa aaa ，则 5 2 2 a，此时 fx有 2 个零点； 所以若 5 2 a 时， fx有 1 个零点. 综上，要使 ( )f x在区间(0,)内恰有 6 个零点，则应满足 79 44 5 2 2 a a 或 911 44 5 2 2 a aa 或 或 1113 44 2 a a ， 则可解得 a 的取值范围是 95 11 2
12、, 42 4 . 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成xa和xa两种情况分别讨论两个函数的零 点个数情况. 第第 II 卷卷 注意事项注意事项 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 2本卷共本卷共 11 小题，共小题，共 105 分分 二、填空题，本大题共二、填空题，本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分，试题中包含两个空分，试题中包含两个空 的，答对的，答对 1 个的给个的给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 10.i是虚数单位，复数 92i 2i _ 【答案】4i 【解析】 【分析】利用复数的除法
13、化简可得结果. 【详解】 92i2i92i205i 4i 2i2i2i5 . 故答案为：4i. 11. 在 6 3 1 2x x 的展开式中， 6 x的系数是_ 【答案】160 【解析】 【分析】求出二项式的展开式通项，令x的指数为 6 即可求出. 【详解】 6 3 1 2x x 的展开式的通项为 6 3618 4 166 1 22 r r rrrr r TCxCx x ， 令1846r，解得3r ， 所以 6 x的系数是 33 6 2160C . 故答案为：160. 12. 若斜率为 3的直线与y轴交于点A，与圆 2 2 11xy相切于点B，则 AB _ 【答案】 3 【解析】 【分析】 设
14、直线AB的方程为3yxb， 则点0,Ab， 利用直线AB与圆 2 2 11xy 相切求出b的值，求出AC，利用勾股定理可求得AB. 【详解】设直线AB的方程为3yxb，则点0,Ab， 由于直线AB与圆 2 2 11xy相切，且圆心为0,1C，半径为1， 则 1 1 2 b ，解得1b 或3b ，所以 2AC ， 因为1BC ，故 22 3ABACBC . 故答案为： 3. 13. 若0,0ab，则 2 1 a b a b 的最小值为_ 【答案】2 2 【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0,0ab， 22 1122 222 2 aa bb aba b b b bb ， 当且
15、仅当 2 1a ab 且 2 b b ，即 2ab 时等号成立， 所以 2 1 a b a b 的最小值为2 2. 故答案为：2 2. 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的 一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 5 6 和 1 5 ，且每 次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概 率为_，3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为_ 【答案】. 2 3 . 20 27 【解析】 【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在 3 次活动中，甲至少 获胜 2 次分为甲获胜 2
16、次和 3 次都获胜求解. 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为 5 6 42 53 ； 则在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 23 2 3 21220 33327 C . 故答案为： 2 3 ； 20 27 . 15. 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D 为线段 BC 上的动点，DEAB且交 AB 于点 E/DF AB且交 AC 于点 F,则|2|BEDF 的值为_；()DEDFDA 的最 小值为_ 【答案】. 1. 11 20 【解析】 【分析】 设BEx， 由 22 2 (2)44BEDFBEBE DFDF 可求出； 将()DEDFDA 化为关于x的关系式即可求出
17、最值. 【详解】设BEx， 1 0, 2 x ，ABC为边长为 1 的等边三角形，DEAB， 30 ,2 ,3 ,12BDEBDx DEx DCx ， /DF AB，DFC为边长为1 2x的等边三角形，DE DF ， 22 222 (2)4444 (1 2 ) cos0(1 2 )1BEDFBEBE DFDFxxxx ， |2| 1BEDF ， 2 ()() ()DEDFDADEDFDEEADEDF EA 2 22 311 ( 3 )(1 2 ) (1)5315 1020 xxxxxx ， 所以当 3 10 x 时，()DEDFDA 的最小值为 11 20 . 故答案为：1； 11 20 .
18、三、解答题，本大题共三、解答题，本大题共 5 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程分，解答应写出文字说明，证明过程 成演算步骤成演算步骤 16. 在ABC，角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，已知 sin:sin:sin2:1:2ABC ， 2b （I）求 a 的值； （II）求cosC的值； （III）求sin 2 6 C 的值 【答案】 （I）2 2； （II） （III） 3 21 1 16 【解析】 【分析】 （I）由正弦定理可得 : :2:1:2a b c ，即可求出； （II）由余弦定理即可计算； （III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦
19、值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】 （I）因为sin :sin:sin2:1:2ABC ，由正弦定理可得 : :2:1:2a b c ， 2b ，2 2,2ac； （II）由余弦定理可得 222 8243 cos 242 2 22 abc C ab ； （III） 3 cos 4 C ， 2 7 sin1 cos 4 CC ， 733 7 sin22sincos2 448 CCC ， 2 91 cos22cos121 168 CC ， 所以sin 2sin2coscos2sin 666 CCC 3 73113 21 1 828216 . 17. 如图，在棱长为 2 的正方体 1111
20、 ABCDABC D中，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点 （I）求证： 1 / /D F平面 11 AEC； （II）求直线 1 AC与平面 11 AEC所成角的正弦值 （III）求二面角 11 AACE的正弦值 【答案】 （I）证明见解析； （II） 3 9 ； （III） 1 3. 【解析】 【分析】（I） 建立空间直角坐标系， 求出 1 D F 及平面 11 AEC的一个法向量m ， 证明 1 mD F ， 即可得证； （II）求出 1 AC ，由 1 sincos, AmC 运算即可得解； （III）求得平面 11 AAC的一个法向量DB ，由cos , DB m DB
21、m DBm 结合同角三角函数的 平方关系即可得解. 【详解】 （I）以A为原点， 1 ,AB AD AA分别为 , ,x y z轴，建立如图空间直角坐标系， 则0,0,0A, 1 0,0,2A,2,0,0B,2,2,0C,0,2,0D, 1 2,2,2C, 1 0,2,2D， 因为 E 为棱 BC 的中点，F 为棱 CD 的中点，所以2,1,0E，1,2,0F， 所以 1 1,0, 2D F , 11 2,2,0AC , 1 2,1, 2AE , 设平面 11 AEC的一个法向量为 111 ,mx y z ， 则 11 1111 11 2 0 2 2 0 2 mxy mxy A AEz C ，
22、令 1 2x ，则 2, 2,1m ， 因为 1 220mD F ，所以 1 mD F ， 因为 1 D F 平面 11 AEC，所以 1 / /D F平面 11 AEC； （II）由（1）得， 1 2,2,2AC ， 设直线 1 AC与平面 11 AEC所成角为， 则 1 1 1 23 sincos, 93 2 3 m A C AC m m C A ； （III）由正方体的特征可得，平面 11 AAC的一个法向量为 2, 2,0DB ， 则 82 2 cos, 33 2 2 DB m DB m DBm ， 所以二面角 11 AACE的正弦值为 2 1 1 cos, 3 DB m . 18.
23、已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点为F，上顶点为B，离心率为 2 5 5 ，且 5BF （1）求椭圆的方程； （2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直 的直线交x轴于点P若/MP BF，求直线l的方程 【答案】 （1） 2 2 1 5 x y； （2）60 xy. 【解析】 【分析】 （1）求出a的值，结合c的值可得出b的值，进而可得出椭圆的方程； （2） 设点 00 ,M xy， 分析出直线l的方程为 0 0 1 5 x x y y， 求出点P的坐标， 根据/MP BF 可得出 MPBF kk，求出 0 x、 0 y的值，即可得出直线l的
24、方程. 【详解】 （1）易知点,0F c、0,Bb，故 22 5BFcba， 因为椭圆的离心率为 2 5 5 c e a ，故2c ， 22 1bac ， 因此，椭圆的方程为 2 2 1 5 x y； （2）设点 00 ,M xy为椭圆 2 2 1 5 x y上一点， 先证明直线MN的方程为 0 0 1 5 x x y y， 联立 0 0 2 2 1 5 1 5 x x y y x y ，消去y并整理得 22 00 20 xx xx， 22 00 440 xx ， 因此，椭圆 2 2 1 5 x y在点 00 ,M xy处的切线方程为 0 0 1 5 x x y y. 在直线MN的方程中，令0
25、 x ，可得 0 1 y y ，由题意可知 0 0y ，即点 0 1 0,N y ， 直线BF的斜率为 1 2 BF b k c ，所以，直线PN的方程为 0 1 2yx y ， 在直线PN的方程中，令 0y ，可得 0 1 2 x y ，即点 0 1 ,0 2 P y ， 因为/MP BF，则 MPBF kk，即 2 00 00 0 0 21 1 212 2 yy x y x y ，整理可得 2 00 50 xy， 所以， 00 5xy ，因为 2 22 0 00 61 5 x yy， 0 0y，故 0 6 6 y ， 0 5 6 6 x ， 所以，直线l的方程为 66 1 66 xy ，即
26、60 xy. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kxm 与椭圆方程联立，由0 进行求解； （2）椭圆 22 22 1 xy ab 在其上一点 00 ,xy的切线方程为 00 22 1 x xy y ab ，再应用此方程时， 首先应证明直线 00 22 1 x xy y ab 与椭圆 22 22 1 xy ab 相切. 19. 已知 n a是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 n b是公比大于 0 的等比数 列， 132 4,48bbb （I）求 n a和 n b的通项公式； （II）记2 * 1 , nn n c b bnN
27、 ， （i）证明 2 2nn cc是等比数列； （ii）证明 *1 1 2 2 2 2 n k k k k k a nN c a c 【答案】 （I）21, n annN ，4 , n n Nbn ； （II） （i）证明见解析； （ii）证明见解析. 【解析】 【分析】 （I）由等差数列的求和公式运算可得 n a的通项，由等比数列的通项公式运算可 得 n b的通项公式； （II） （i）运算可得 2 2 2 4 nn n cc，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得 2 1 2 2 2 4 2 2 nn n n n an c a c ，进而可得 1 1 11 2 2 1 22 n k
28、k n k k kk k ak cc a ，结合错位相减法即可得 证. 【详解】 （I）因为 n a是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 所以 1281 8 7 8264 2 aaaa ，所以 1 1a ， 所以 1 2121, n nnnNaa ； 设等比数列 n b的公比为,0q q ， 所以 22 1321 484qbbbqqbq，解得4q （负值舍去） ， 所以 1 1 4 , nn n bqnNb ； （II） （i）由题意，2 2 1 4 4 1 nn n n n b cb ， 所以 2 2 2 24 2 11 442 4 44 nnn nn nn cc ， 所以 2
29、2 0 nn cc，且 2 122 2 2 1 2 4 4 2 4 nn n n n n cc cc ， 所以数列 2 2nn cc是等比数列； （ii）由题意知， 22 1 22 2 2 2121414 2 42 22 2 n n nn n nn nnann cc a ， 所以 2 1 221 2 421 2 222 22 n n n nn n n annan cc ， 所以 1 1 11 2 2 1 22 n k k n k k kk k ak cc a ， 设 10121 1 123 22222 n n kn k kn T ， 则 123 1123 22222 n n n T ， 两式相
30、减得 21 1 11 111122 12 1 2222222 1 2 n n nnnn nnn T ， 所以 1 2 4 2 n n n T ， 所以 1 11 11 2 2 112 42 2 2222 nn k kn kk k k k akn cc a . 【点睛】关键点点睛： 最后一问考查数列不等式的证明，因为 2 1 1 2 n k k k k k a cc a 无法直接求解，应先放缩去除根号，再 由错位相减法即可得证. 20. 已知0a ，函数( ) x f xaxxe （I）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程： （II）证明 ( )f x存在唯一的极值点 （III）若
31、存在 a，使得 ( )f xab 对任意xR成立，求实数 b 的取值范围 【答案】 （I）(1) ,(0)yax a； （II）证明见解析； （III）, e 【解析】 【分析】 （I）求出 fx在0 x 处的导数，即切线斜率，求出 0f，即可求出切线方程； （II）令 0fx ，可得(1) x axe，则可化为证明y a 与 yg x仅有一个交点， 利用导数求出 g x的变化情况，数形结合即可求解； （III）令 2 ( )1,(1) x h xxxex ，题目等价于存在( 1,)x ，使得( )h xb， 即 min ( )bh x，利用导数即可求出 h x的最小值. 【详解】 （I）(
32、)(1) x fxaxe，则(0)1fa ， 又(0)0f，则切线方程为(1) ,(0)yax a； （II）令( )(1)0 x fxaxe，则(1) x axe， 令( )(1) x g xxe，则( )(2) x g xxe， 当(, 2)x 时，( )0g x ， g x单调递减；当( 2,)x 时，( )0g x ， g x单 调递增， 当x 时， 0g x ，10g ，当x 时， 0g x ，画出 g x大致图像如 下： 所以当0a 时，y a 与 yg x仅有一个交点，令 g ma，则1m ，且 ( )( )0f mag m， 当(,)xm 时，( )ag x，则( )0fx ，
33、 fx单调递增， 当,xm时，( )ag x，则( )0fx ， fx单调递减， xm 为 fx的极大值点，故 ( )f x存在唯一的极值点； （III）由（II）知 max ( )( )f xf m，此时)1(1, m am em ， 所以 2 max ( )( )1(1), m f xaf mammem ， 令 2 ( )1,(1) x h xxxex ， 若存在 a，使得 ( )f xab 对任意xR成立，等价于存在( 1,)x ，使得( )h xb， 即 min ( )bh x， 2 ( )2(1)(2) xx h xxxexxe，1x ， 当( 1,1)x 时，( )0h x ， h x单调递减，当(1,)x时，( )0h x ， h x单调递 增， 所以 min ( )(1)h xhe ，故be ， 所以实数 b 的取值范围, e. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a 与 yg x仅有一个交点；第 三问解题的关键是转化为存在( 1,)x ，使得( )h xb，即 min ( )bh x.
