1、高中数学必修 1 知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1 】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集， N 或N表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a与集合 M 的关系是 aM ，或者 a M ，两者必居其 一 . （4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 . x|x 具有的性质，其中 x 为集合的代表元素 描述法： . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合 . （5）集
2、合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集 . 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合 叫做空集 (). 【1.1.2 】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质 示意图 AB (1)AA 子 集B （或 A) A 中 的 任 一 元 素 都 属 于 B (2) (3) 若 (4) 若 A A B 且 B A B 且 B C ， 则 A A ， 则 A C B A(B) BA 或 真子 集 （ ） 1 AB A （为非空子集） （或 B A） A AB ，且 B中至 少有一元素不属于AB 且B C ，则 AC A (2)若 B A 集合 相等 A 中的任一
3、元素都属 AB于 B， B 中的任一元素 都属于 A (1)A (2)B B A A(B) （7）已知集 合 A 有n(n 1)个元素，则它有2n 个子集，它有 2n1 个真子集，它有 2n1 个非空 子集， 它有2 2 非空真子 集 n . 【1.1.3 】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质 示意图 AB 交集 x |xA, 且 （1） （2） A A A A ABA AB （3） xB ABB AB 并集 x |xA, 或 （1） （2） A A A A A ABA AB （3） xB ABB 补集e U A 1A (e U x| xU,且 xA 痧 (A U A)
4、B) (A) U 2A (? U B) (e U A) U 痧 (A U B) (A) U (? U B) 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 | x|a(a0) x |axa | x|a(a0)x | xa 或x a 把ax b 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 | x | a ， |axb | c,| axb |c(c0) | x | a(a0)型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 000b 2 4ac 二次函数 yax2bxc(a0) O的图象 ax2 一元二次方程 bxc0(a 0) x 1,2 bb24ac 2
5、a x 1 x 2 b 2a 无实 根 的根 （其中 x 1 x 2 ) ax2bxc0(a 0) 的解集 x| x x 1 或x x x | x 2 b 2a R ax2bxc0(a 0) 的解集 x | x 1 x x 2 1.2 函数及其表示 【1.2.1 】函数的概念 （1）函数的概念 设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数f (x)和它对应， 那么这样的对应 （包括集合A，B以及A到B的对应法 则f ） 叫做集合A到B的一个函数，记作f : AB 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应
6、法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法 设 a,b 是两个实数，且 ab ，满足 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，记 做 a,b ； 满足 axb 的实数 x 的集合叫做开区间，记做 (a,b) ；满足 axb ，或 axb 的实数 x 的 集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b) ，(a,b；满足 xa,xa, xb, xb 的实数 x 的 集 合分别记做 a,),( a,b) ),(,b,( 注意： 对于集合 x | axb(a,b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必须 与区间 ab （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： f ( x) 是整式时，定义
7、域是全体实数 f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集 合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 ytanx 中， xk(kZ ) 2 零（负）指数幂的底数不能为零 若 f (x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数 的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 若已知f (x)的定义域为a,b，其复合函数f g(x) 的定义域应由不等式ag(x)b 解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数
8、进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个 最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是 提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值 yf ( x)可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程 判别式法：若 函数 a( y)xb(y)x
9、 c( y) 2 0 ，则在 a(y) 0 时，由于 x, y 为实数，故必须 有 b2(y)4a( y) c( y)0 ，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【1.2.2 】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的
10、对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之 间 的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （6）映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B 中都 有唯一的元素和它对应，A，B以及A到B的对应法则f）叫做集 合A 那么这样的对应 （包括集合 到B的映射，记作 f : AB 给定一个集合A 到集合 B 的映射，且 a A,bB 如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元 素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 1.3 函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 定义及判定方法 函数的
11、定义图象判定方法 性 质 如果对于属于定义域I内某（1）利用定义 个区间上的任意两个自变量 的值 x 、x 1 2 , 当 x x 时， 都 12 yy=f(X)（2）利用已知函 数的 f(x ) 2单调性 有 f(x)f(x) ， 那 么 就 说 12 f(x)在这个区间上是 增 函 数 o f(x ) 1 x 1 x 2 （3）利用函数图象 （在 某个区间图 x象上升为增） （4）利用复合函数 函数的 单调性（1）利用定义 如果对于属于定义域I 内某 yy=f(X)（2）利 用已知函数的 个区间上的任意两个自变量 的值 x 、x ，当 x f(x f(x)在这个区间上是 减 函 数 o f
12、(x ) 1 x 1 f(x ) 2 x 2 单调性 （3）利用函数图象 （在 某个区间图 x象下降为减） （ ）利用复合函 数4 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数 yf g( x) ， 令 ug (x) ， 若 yf (u) 为 增 ， ug(x) 为 增 ， 则 yf g(x) 为增；若 yf (u ) 为减， ug( x) 为减，则 yf g (x) 为 增；若 yf (u ) 为 增 ，u g (x) 为 减，则 y f g( x) yf (u) 为 减 ；若 为 减，
13、ug( x) 为 增，则 y yf g(x) 为减 （2）打“” 函数 f ( x) x a x (a0) 的图 象与性质 f (x) 分别在 (,a 、 a,) 上为增函数，分别在 o x a ,0) 、(0, a 上为减函数 （3）最大（小）值定义 一般地，设函数yf (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：（1） 对于任意的 x I ，都 有 f ( x) M ； （2）存在xI ，使得 f (x0)M 那么，我们称 M 是函数 f (x)的最大值， 记作 0 fmax(x) M 一般地，设函数yf (x) 的定义域为 I，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的 xI ，都有
14、f (x) m； （ 2）存在xI，使得 f (x 0 0 )m 那么，我们称 m 是函数 f (x) 的最小 值，记作 f(x)m max 【1.3.2 】奇偶性 （4）函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 定义图象判定方法 性 质 如果对于函数f(x) 定义域内（1）利用定义（要 先 任意一个x，都有f( x )= 判断定义域是否 关于 f(x) ,那么函数f(x) 叫做 奇函 原点对 称） 数 （2）利用图象 （图象 关于原点对称） 函数的 奇偶性如果对于函数f(x) 定义域内（1）利用定义 （要先 任意一个 x，都有 f( x )= f(x ) , 判断定义域是否 关于 那么函数 f(
15、x) 叫做 偶 函 数 原点对 称） （2）利用图象（图象 关于 y 轴对称） 若函数f (x) 为奇函数，且在 x0 处有定义，则 f (0)0 yy轴两侧相对称的区间增减性相反 奇函 数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数 （或 奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补充知识函数的图象 （1）作图 利用描点法作图： 确定函数的定义域；化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例
16、函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象 平移变换 yf (x) h 0,左移 h 个单 位 h 0,右移 | h|个单 位 yf (x h) yf (x) k 0,上移 k 个单 位 k 0,下移 | k|个单 位 yf (x) k 伸缩变换 yf ( x) 01,伸 1,缩 yf (x) yf ( x) 0A1,缩 A1,伸 yAf ( x) 对称变换 x 轴yf (x) y 轴yf (x) yf (x)f (x)y yf (x) 原点直线 y x(x) yf (x)yf ( x) yf 1 yf (x) 去掉 y 轴左边图象 保留y 轴右边图象，并作其关于y
17、轴 对称图象 yf (| x|) yf ( x) 保留x 轴上方图象 将 x 轴下方图象翻折上 去 y| f ( x) | （2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系 （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 第二章基本初等函数 () 2.1 指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 如果 xna, a R, xR,n1，且nN ，那么 x 叫做
18、a的n次方根当 n 是奇数时， a 的n次方根用符号 a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号n a 表示，负 的 n 次方 n 根用符号a 表示；0的n次方根是 a 没有n次方根 n 0；负数 式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a0 根 式 的 性 质 ： ( n a )na ； 当 n 为 奇 数 时 ，n ana ； 当 n 为 偶 数 时 ， n an|a | a (a a (a 0) 0) （2）分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义 是： m a nn am(a0, m,
19、 nN, 且n 1) 0的正分数指数 幂等于 0 m1 m 1 正数的负分数指数幂的意义是：an() nn ()m(a0, m, n N, 且n 1) 0 aa 的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数 （3）分数指数幂的运算性质 arasar s(a 0,r ,sR) (ar)s a (a rs 0,r ,s R) (ab)a b (a rrr 0,b0,r R) ar a (a rs as 0) r a s r as ar 1 ar (a 0) 【2.1.2 】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数 yax(a0 且a 1) 叫做指数函数 定义 函数 a10a
20、1 yya y ya x x 图象 y1y1 (0,1) (0,1) OOx x 定义域R (0,)值域 (0,1) ，即当 x0 时， y1 过定点 图象过定点 奇偶性非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数在R上是减函数 a x 1 (x0)a x 1 (x0) 函数值的 a x 1 (x0)a x 1 (x0)变化情况 a1 (x0)a1 (x0) xx a 变化对 图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低 2.2 对数函数 【2.2.1 】对数与对数运算 （1）对数的定义 若axN(a0,且 a1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlo
21、g N ，其中 a 叫做底数， a N 叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：xlog NaxN(a0,a1,N0) a （2）几个重要的对数恒等式 log 10 ，log a 1，logabb aaa （3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N，即log ；自然对数： ln NN （其中 e2.71828） N，即log 10e （4）对数的运算性质如果a0,a1,M0, N0，那么 加法： log MlogNlog (MN ) log Mlog N log 减法： aaaa aa M N 数乘：nlog Mlog M(nR)a nN log N a aa loga bMnn
22、blogaM (b 换底公式： log 0,n R) aN log log b b N a(b0, 且 b 1) 【2.2.2 】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 对数函数 名称 定义 函数 ylog x(a0 且 a1)叫做 对数函数 a a10a1 y x1 ylog a x y x1 ylog a x 图象 (1,0) O(1,0)xOx 定义域(0,) 值域R (1,0) ，即当 x1 时， y0过定点 图象过定点 奇偶性非奇非偶 单调性 在(0, ) 上是增函数在(0, ) 上是减函数 log x0 (x1)log x0 (x1) aa 函数值的 变化情况 log x0 (x1
23、) log x a a 0 (x 1) log x0 (0 x1)log x0 (0 x1) aa a 变化对 图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高 (6) 反函数的概念 设函数yf (x)的定义域为A ，值域为 C ，从式子 yf (x) 中解出 x ，得式子 x(y)如 果对于y 在C中的任何一个值，通过式子 x(y) ， x 在A 中都有唯一确定的值和它 对应，那么式 子x( y) 表示 x 是 yx( y)叫做函数yf (x)的反函数，记作xf 1 的函数，函数 ( y)， 习惯上改写成yf 1(x) （7）反函数的求法 yf (x)中反解
24、出xf 1(y) ； 确定反函数的 定义域，即原函数的值域；从原函数式 将xf( y) 改写成 yf(x) ，并注明反函数的定义域 11 （8）反函数的性质 原函数yf (x)与反函数yf 1(x) 的图象关于直线 yx 对称 函数yf (x)的定义域、值域分别是其反函数yf(x) 的值域、定义域 1 若P(a,b)在原函数yf (x)的图象上，则P (b,a) 在反函数 yf 1(x) 的图象上 一般地，函数yf (x)要有反函数则它必须为单调函数 2.3 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函 数 yx 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是 常数 （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 图
25、象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布 在第 y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 一、二象限 (图象关于(图象关 于原点对称)；是非奇非偶 函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1) 单调性：如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且 在 0,) 上为增函数如果 0 ，则幂函数 的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y轴 奇偶性： 当为奇数时， 幂函数为奇函数， 当为偶数时， 幂函数 为偶函数 当 q p （其中 p,q 互 qq 质，p和qZ），若p为奇数q为奇
26、数时， 则yx p是奇函数， 若p 为奇数q 为偶数时， 则 yx p q 是偶函数，若p 为偶数 q 为奇数时，则 y x 是非奇非偶函数 p 图象特征：幂函数) ，当 1 时，若 0 x1，其图象在直线yx 下方，若 yx ,x(0, x1，其图象在直线y x上方，当1 时，若 0 x1，其图象在直线yx 上方，若 x1， yx下方 其图象在直线 补充知识二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x)ax2bxc(a0) 顶点式： f (x)a(xh)2k(a0)两根 式： f (x) a( xx 1 )(xx )(a0) （2）求二次函数解 析式的方法 2 已知三个点坐标时
27、，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f ( x)更方便 若已知抛物线与 （3）二次函数图象的性质 二次函 数 f ( x)ax2bxc(a0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x b 2a, 顶点坐标是 ( b 2a , 4ac 4a b2 ) 当a 0 时，抛物线开口向上， 函数 在 (, b 2a b 上递减，在 , 2a b ) 上递增， 当x 时， 2a f min 4acb2 (x)a0 4a bb (,上递增，在 ,)上 2a2a b 递减，当x 时， f 2a max(x) 4a
28、c b 4a 2 二次函数ax20) 当 b 2 4ac0 时，图象与 x 轴有两个交点 f ( x)bxc(a M (x,0),M (x ,0),|MM 1122 12 | |x1 x 2 | | a| ax2bxc0(a0) 根的分布 （4）一元二次方程 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不 够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用， 下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方 程 ax2bxc0(a0) 的两 实根为 x 1 ,x 2 ，且 x 1 x 2 令
29、f (x)axbxc ，从以下四个方面来分析此类问题： a 对称轴位 置： x 2 开口方向： b 2a 判别式：端点函数值符号 kx x 12 yy f (k)0a0 x b 2a O k x 1x 2 x k x 1 O x 2x f (k)0 b x a0 2a x xk 12 a0 y y f (k)0 xb 2a Ox2O x 1kxx1 x2 k x x ba0 f (k )0 2a x kx 12 af( k) 0 yy a0 f (k)0 kO x1x1Okx 2xx 2x f (k)0 a0 k xx k 1122 ya0 y f (k 1 )0f (k 2) 0 x b 2
30、a xk 1k x 22 1 1k2xOxx Ok2x 1 x f (k 1) 0 f (k b a 0 2a 2) 0 有且仅有一个根x（或 x ）满足 k x（或 x ） k 121122 f( k ) f( k )0，并 同时考虑 12 f(k )=0 1 或 f( k2)=0 这两种情况是否也符合 y a0 y f (k 1) 0f (k1)0 Ok 1 x 1 k 2 2xOx x 1k 1 k 2 x 2 x f (k 2) 0 a0f (k2)0 k xk p 112 1 x p 2 2 此结论可直接由推出 （ 5）二次函数f (x)ax2bxc(a0) 在闭区间 p,q 上的最
31、值 设 f (x) 在区间 p, q 上的最大值为 M ，最小值为 m ，令 x1 0 2 （）当 a0 时（开口向上） ( pq) 若 b 2a p ，则 m f (p) 若 p b 2aq ， 则 m f ( b 2a ) 若 b 2a q ，则 mf (q) fff f (q)(p) (q)(p) 若 Ox Ox O f b (p) f (f b ) f ( bf)b x ，则2aM f (q) x 2a ，则 Mf ( p) (q) 2a02a0 b 2a ) x f ()当a 0 时(开口向下 f ) (p) x b bb p ，则 M x(q) 0f ( p) 若 pq 0 ，则
32、M f ( 若 2a2a 2a O Ox Mf (q)f f f ( b ) 2a f (p)b ) (q) 2a ) 若 x b 2a q ，则 f ( b f b )f ( ) f( 2a2a b 2a ) (q) f f (p) (p) OxOx O fff (q)(q)(p) x 若 b b x ，则 mf (q) 2a 2a 0 x 0 ，则 mf ( p) (p) f f ( b )f ( f 2a (q) x 0 x 0 b ) 2a OxOx f f (q) 第三章 函数的应(p用 ) 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数yf (x)(xD) ，把使 f (
33、x)0 成立的实数 x 叫做函数 yf (x)(xD) 的零点。 2、函数零点的意义： 函数 yf (x)的零点就是方程f (x)0 实数根，亦即函数 yf (x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标。即： 方程 f (x)0 有实数根函数 yf (x) 的图象与 x 轴有交点函数 yf (x) 有零点 3、函数零点的求法： yf (x)的零点：求函数 1（代数法）求方 程 f (x)0 的实 数根； 2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将 它与函数 yf (x) 的图象联系起来， 并利 用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 二次函数 yax2bxc(a 0) ），方 程 函数有两个零
34、 点 axbxc 2 0 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次 ），方程 axbxc0 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与 2 点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 x 轴有一个交 ）， 方程 ax2bxc0 无实根，二次函数的图象与 x 轴无交点，二次函数无零 点 高中数学 必修 2 知识点 第一章空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图：斜二测画法 4 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行
35、于坐标轴； （2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积S2 rl 2 r 23圆锥的表面积 S rl r 2 4 圆台的表面积r 2 RlR Srl 2 5 球的表面 积 S4 R2 （二）空间几何体的体积 1 柱体的体积VS 底h2 锥体的体 积V 1 3 S 底 h 3 台体的体积 V 1 （S 3 上 S 上S下 S 下) h4 球体的体
36、 积V 4 3 R3 （三）补充：正方体中，A 到截面 A 1BD 的距离等于 AC1 的 1/3 第二章直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 D C 1平面含义：平面是无限 延展的 AB2平面的画法及表 示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画 成邻边的 2 倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的 四 个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 A C、平面 ABCD 等。 3三个公理： （1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直
37、线在此平面内 符号表示为 AL BL= L A L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内 （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为： A、B、C 三点不共线=有且只有一个平面 ， 使 A、 B 、C 。 A B C 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。 符号表示为： P = =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 P L 1空间的两条直线有如下三种关系： 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一 个公
38、共点； 平行直线：同一平面内，没有公共 点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c 是三条直线 ab =accb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点： a与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般 取在两直 线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0 ， )； 2 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两
39、条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a来表示 aa=Aa 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平
40、行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a b= a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： a b ab = P a b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a aab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：
41、如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： = aab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面 互相垂直，记作 L ，直 线 L 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P 叫做垂足。 L p 2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b) 定理体现了“直线与平面垂直”
42、与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或 -AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图 平面（公理1、公理 2、公理 3、公理 4） 空间直线、平面的位置关系 直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系 第三章直
43、线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 3.1 倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与 x 轴相交时 ,取 x 轴作为基准 , x轴正向与直线l向上方 向之间所成 的角 叫做直线 l的倾斜角 . 特别地 , 当直线 l与 x 轴平行或重合时 ,规定 = 0 . 2、 倾斜角 的取值范围：0 180.当直线 l与 x 轴垂直时 ,= 90 . 3、直线的斜率 : 一条直线的倾斜角( 90) 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母k表示 , 也就是 k = tan 当直线 l与 x 轴平行或重合时,=0, k = tan0=0; 当直线 l与 x 轴垂直时 ,= 90 , k不存在
44、 . 由此可知 ,一条直线 l的倾斜角 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 . 4、 直线的斜率公式 : 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2, 用两点的坐标来表示直线P1P2 的斜率： 斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那 么它们平行，即 注意 :上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即 如果 k1=k2,那么一定有L1L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；
45、反之，如果它们的斜率互为负倒 数，那么它们互相垂直，即 3.2.1直线的点斜式方程 方程：直线l 1、 直线的 点斜式 经过点 P 0 ( x 0 , y 0 )，且 斜 率为 kyy 0 k (x x 0 ) 2、直线的 斜截式 方程：已知直线 k l 的斜率为 ，且与 y 轴的交点为 (0,b) ykx b 3.2.2直线的两点式方程 1 、 直 线 的 两 点 式 方 P 1(x1 , x 2 ), P 2 (x 2 , y 2 )其 中 ( x 1 x 2, y 1 y 2) 程 ： 已 知 两 点 y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与 x 轴的
46、交点为A (a ,0) ，与 y 轴的交点为 B (0,b) ，其中 a0,b0 3.2.3直线的一般式方程 x, y 的二元一次方程 AxByC0（A，B 不同 时为 0） 1、直线的一般式方程：关于 2、各种直线方程之间的互化。 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直 1 、 给 出 例 PP 12 x 2 x 2 2y 2 y 1 2线的交点坐 标 题：两直线交点 坐标 L1：3x+4y-2=0L1：2x+y +2=0 3x4y20 解：解方程组得 x=-2 ，y=2 2x2y20 所以 L1 与 L2 的交点坐标为M（-2，2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式 3
47、.3.3 点到直线的距离公式 1点到直线距离公式： 点 P(x 0, y 0 ) 到直线 l : AxByC0 的 距离为： d Ax 0 A2 By 0 B 2 C 2、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线l 1和l2的一般式方程为 l1 ： AxBy C 1 0 ， l 2： Ax By C 20，则 l 与l 1 2的 距 离 为 d C 1 A2 C 2 B 2 第四章圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程：(xa)2( yb )2r 2 圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M (x 0 , y 0 ) 与圆 (xa)2( yb )2r 2 的关系
48、的判断方法： （1）(x a) (y 2 00 b)2r ，点在圆外 2 （2）(x 0 a)( yb)= r ，点在圆上 222 0 （3）(x 0 a)(y b) 2 2 0 r 2 ，点 在圆内 4.1.2圆的一般方程 1、圆的一般方程：x2y2DxEyF0 2、圆的一般方程的特点： (1) x2和 y2 的系数相同，不等于0没有 xy 这样的二次项 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了 (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指 出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆
49、的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 设直线 l ：ax byc0 ， 圆C：x2 y2DxEyF0 ， 圆的半径为 r ，圆心 ( D 2 , E 2 ) 到直线的距离 为 d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1） 当 dr 时，直线 l 与圆C相离；（2）当 dr 时，直线 l 与圆 C 相切； （3） 当 dr 时，直线 l 与圆C 相交； 4.2.2圆与圆的位置关系 两圆的位置关系 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当lr 1 r 2时，圆 C1 与圆 C2相离；（2）当lr 1 r2 时，圆 C1 与圆 C2
50、外切； （3）当|r 1 r 2 |lr1r2 时，圆 C1 与圆C2 相 交； （4）当l | r 1 r 2| 时，圆 C 1 与 圆 C 2内切；（5）当 l |r 1 r 2 |时，圆 C 1 与圆C 2 内含； 4.2.3直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系； 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论 R 4.3.1 空间直角坐标系 M 1、点 M 对应着唯一确定的有序实
