1、第 1页（共 26页） 2021 年甘肃省酒泉市、白银市、武威市、庆阳市、平凉市、年甘肃省酒泉市、白银市、武威市、庆阳市、平凉市、 定西市中考数学试卷定西市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确选项。分，每小题只有一个正确选项。 1 （3 分）3 的倒数是（） A3B3C? ? ? D? ? 2 （3 分）2021 年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民 服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年 剪纸展” ，下面的剪纸作品是轴对称图形的
2、是（） ABCD 3 （3 分）下列运算正确的是（） A ? ? ?3B4 ? ? ?4C ? ? ?D ? ? ?4 4 （3 分）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止 2021 年 3 月底， 我国已无偿向 80 个国家和 3 个国际组织提供疫苗援助预计 2022 年中国新冠疫苗产能 有望达到 50 亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献数据“50 亿” 用科学记数法表示为（） A5108B5109C51010D50108 5 （3 分）将直线 y5x 向下平移 2 个单位长度，所得直线的表达式为（） Ay5x2By5x+2Cy5（x+2）Dy5（x2）
3、6 （3 分）如图，直线 DEBF，RtABC 的顶点 B 在 BF 上，若CBF20，则ADE （） A70B60C75D80 7 （3 分）如图，点 A，B，C，D，E 在O 上，ABCD，AOB42，则CED（） 第 2页（共 26页） A48B24C22D21 8 （3 分）我国古代数学著作孙子算经有“多人共车”问题： “今有三人共车，二车空； 二人共车，九人步问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每 3 人 坐一辆车，那么有 2 辆空车；如果每 2 人坐一辆车，那么有 9 人需要步行，问人与车各 多少？设共有 x 人，y 辆车，则可列方程组为（） A ? ?晦 ? 有
4、? ? ? 有 B ? ?晦 ? 有 ? ? ? 有 C ? ?晦 ? 有 ? ? ? 有 D ? ?晦 ? 有 ? ? ? 有 9 （3 分）对于任意的有理数 a，b，如果满足? ? ? ? ? ? ? ?，那么我们称这一对数 a，b 为 “相随数对” ，记为（a，b） 若（m，n）是“相随数对” ，则 3m+23m+（2n1） （） A2B1C2D3 10 （3 分）如图 1，在ABC 中，ABBC，BDAC 于点 D（ADBD） 动点 M 从 A 点 出发，沿折线 ABBC 方向运动，运动到点 C 停止设点 M 的运动路程为 x，AMD 的 面积为 y，y 与 x 的函数图象如图 2，则
5、 AC 的长为（） A3B6C8D9 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。分。 11 （3 分）因式分解：4m2m2 12 （3 分）关于 x 的不等式? ?x1 ? ?的解集是 13 （3 分）关于 x 的方程 x22x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是。 第 3页（共 26页） 14 （3 分）开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续 14 天进行了体温测量，结果统计如 表： 体温（）36.336.436.536.636.736.8 天数（天）233411 这 14 天中，小芸体温的众数是。 15 （3 分）如图，在矩形
6、 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，AED90，EAD30，F 是 AD 边的中点，EF4cm，则 BEcm 16（3 分） 若点 A （3， y1） ， B （4， y2） 在反比例函数 y? ? 有 的图象上， 则 y1y2 （填 “”或“”或“” ） 17 （3 分）如图，从一块直径为 4dm 的圆形铁皮上剪出一圆心角为 90的扇形，则此扇形 的面积为dm2 18 （3 分）一组按规律排列的代数式：a+2b，a22b3，a3+2b5，a42b7，则第 n 个式 子是 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 5 小题小题，共共 26 分分。解答时解答时，应写出必要的文字说明应写出必要的文
7、字说明、证明过程或演证明过程或演 算步骤。算步骤。 19 （4 分）计算： （2021）0+（? ?） 12cos45 20 （4 分）先化简，再求值： （2? ?有 有?） 有? 有?有?，其中 x4 21 （6 分）在阿基米德全集中的引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有 关圆的一个引理如图，已知?t ?，C 是弦 AB 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理 的作图过程 第 4页（共 26页） （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ； 作线段 AC 的垂直平分线 DE，分别交?t ?于点 D，AC 于点 E，连接 AD，CD； 以点 D 为圆心，DA 长为半径作弧，交?t ?于点
8、F（F，A 两点不重合） ，连接 DF，BD， BF （2）直接写出引理的结论：线段 BC，BF 的数量关系 22 （6 分）如图 1 是平凉市地标建筑“大明宝塔” ，始建于明嘉靖十四年（1535 年） ，是明 代平凉韩王府延恩寺的主体建筑宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被 誉为平凉古塔“双璧” 某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具 体过程如下： 方案设计：如图 2，宝塔 CD 垂直于地面，在地面上选取 A，B 两处分别测得CAD 和 CBD 的度数（A，D，B 在同一条直线上） 数据收集： 通过实地测量： 地面上 A， B 两点的距离为 58m， CAD42，
9、 CBD58 问题解决：求宝塔 CD 的高度（结果保留一位小数） 参考数据： sin420.67， cos420.74， tan420.90， sin580.85， cos580.53， tan581.60 根据上述方案及数据，请你完成求解过程 23 （6 分）一个不透明的箱子里装有 3 个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外 其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子 里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于 0.75 左右 （1）请你估计箱子里白色小球的个数； 第 5页（共 26页） （2）现从该箱子里摸出 1 个小球，记下颜色后放回箱子
10、里，摇匀后，再摸出 1 个小球， 求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法） 四四、解答题解答题：本大题共本大题共 5 小题小题，共共 40 分分。解答时解答时，应写出必要的文字说明应写出必要的文字说明、证明过程或演证明过程或演 算步骤。算步骤。 24 （7 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟 力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 A， B，C，D，E 五个等级，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题： 等级成绩 x A50 x60 B60 x70 C70 x80 D80 x90
11、E90 x100 （1）本次调查一共随机抽取了名学生的成绩，频数分布直方图中 m ； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）所抽取学生成绩的中位数落在等级； （4）若成绩在 80 分及以上为优秀，全校共有 2000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少 人？ 25 （7 分）如图 1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图 第 6页（共 26页） 书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计） 小 刚离家的距离 y（m）与他所用的时间 x（min）的函数关系如图 2 所示 （1）小刚家与学校的距离为m，小刚骑自行车的速度为m/min； （2
12、）求小刚从图书馆返回家的过程中，y 与 x 的函数表达式； （3）小刚出发 35 分钟时，他离家有多远？ 26（8 分） 如图， ABC 内接于O， D 是O 的直径 AB 的延长线上一点， DCBOAC 过 圆心 O 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 CD4，CE6，求O 的半径及 tanOCB 的值 27 （8 分）问题解决：如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DEAF， DEAF 于点 G （1）求证：四边形 ABCD 是正方形； （2）延长 CB 到点 H，使得 BHAE，判断AHF 的形状，并说
13、明理由 类比迁移：如图 2，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DE 与 AF 相交于 第 7页（共 26页） 点 G，DEAF，AED60，AE6，BF2，求 DE 的长 28 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y? ? ?x 2+bx+c 与坐标轴交于 A（0，2） ， B（4，0）两点，直线 BC：y2x+8 交 y 轴于点 C点 D 为直线 AB 下方抛物线上一动 点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 G，DG 分别交直线 BC，AB 于点 E，F （1）求抛物线 y? ? ?x 2+bx+c 的表达式； （2）当 GF? ? ?时，连接 BD，求
14、BDF 的面积； （3）H 是 y 轴上一点，当四边形 BEHF 是矩形时，求点 H 的坐标； 在的条件下，第一象限有一动点 P，满足 PHPC+2，求PHB 周长的最小值 第 8页（共 26页） 2021 年甘肃省酒泉市、白银市、武威市、庆阳市、平凉市、定年甘肃省酒泉市、白银市、武威市、庆阳市、平凉市、定 西市中考数学试卷西市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确选项。分，每小题只有一个正确选项。 1 （3 分）3 的倒数是（） A3B3C? ? ? D? ?
15、 【解答】解：设 3 的倒数是 a，则 3a1， 解得，a? ? ? 故选：D 2 （3 分）2021 年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民 服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年 剪纸展” ，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（） AB CD 【解答】解：A不是轴对称图形，故此选项不合题意； B是轴对称图形，故此选项符合题意； C不是轴对称图形，故此选项不合题意； D不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 3 （3 分）下列运算正确的是（） A ? ? ?3B4 ? ? ?4C ? ? ?D ? ? ?4 【解答】解：A、
16、原式2 ?，所以 A 选项的计算错误； B、原式3 ?，所以 B 选项的计算错误； C、原式? ? ? ?，所以 C 选项的计算正确； D、原式? ? ? ? ?2，所以 D 选项的计算错误 第 9页（共 26页） 故选：C 4 （3 分）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止 2021 年 3 月底， 我国已无偿向 80 个国家和 3 个国际组织提供疫苗援助预计 2022 年中国新冠疫苗产能 有望达到 50 亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献数据“50 亿” 用科学记数法表示为（） A5108B5109C51010D50108 【解答】解：将 50 亿用科
17、学记数法表示为 5109 故选：B 5 （3 分）将直线 y5x 向下平移 2 个单位长度，所得直线的表达式为（） Ay5x2By5x+2Cy5（x+2）Dy5（x2） 【解答】解：将直线 y5x 向下平移 2 个单位长度，所得的函数解析式为 y5x2 故选：A 6 （3 分）如图，直线 DEBF，RtABC 的顶点 B 在 BF 上，若CBF20，则ADE （） A70B60C75D80 【解答】解：ABC90,CBF20， ABFABCCBF70, DEBF， ADEABF70, 故选：A 7 （3 分）如图，点 A，B，C，D，E 在O 上，ABCD，AOB42，则CED（） 第 10页
18、（共 26页） A48B24C22D21 【解答】解：连接 OC、OD， ABCD，AOB42， AOBCOD42， CED? ? ?COD21 故选：D 8 （3 分）我国古代数学著作孙子算经有“多人共车”问题： “今有三人共车，二车空； 二人共车，九人步问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每 3 人 坐一辆车，那么有 2 辆空车；如果每 2 人坐一辆车，那么有 9 人需要步行，问人与车各 多少？设共有 x 人，y 辆车，则可列方程组为（） A ? ?晦 ? 有 ? ? ? 有 B ? ?晦 ? 有 ? ? ? 有 C ? ?晦 ? 有 ? ? ? 有 D ? ?晦 ? 有
19、? ? ? 有 【解答】解：设共有 x 人，y 辆车， 依题意得： ? ?晦 ? 有 ? ? ? 有 故选：C 9 （3 分）对于任意的有理数 a，b，如果满足? ? ? ? ? ? ? ?，那么我们称这一对数 a，b 为 “相随数对” ，记为（a，b） 若（m，n）是“相随数对” ，则 3m+23m+（2n1） （） 第 11页（共 26页） A2B1C2D3 【解答】解：（m，n）是“相随数对” ， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ， 即 9m+4n0， 3m+23m+（2n1） 3m+23m+2n1 3m+6m+4n2 9m+4n2 02 2， 故选：A 10 （
20、3 分）如图 1，在ABC 中，ABBC，BDAC 于点 D（ADBD） 动点 M 从 A 点 出发，沿折线 ABBC 方向运动，运动到点 C 停止设点 M 的运动路程为 x，AMD 的 面积为 y，y 与 x 的函数图象如图 2，则 AC 的长为（） A3B6C8D9 【解答】解：由图 2 知，AB+BC2 ?， ABBC， AB?， ABBC，BDBC， AC2AD，ADB90， 在 RtABD 中，AD+BDAB13， 设点 M 到 AC 的距离为 h， SADM? ? ?ADh， 动点 M 从 A 点出发，沿折线 ABBC 方向运动， 第 12页（共 26页） 当点 M 运动到点 B
21、时，ADM 的面积最大，即 hBD， 由图 2 知，ADM 的面积最大为 3， ? ?ADBC3， ADBD6， +2得，AD+BD+2ADBD13+2625， (AD+BD)25， AD+BD5（负值舍去） ， BD5AD， 将代入得，AD(5AD)6， AD3 或 AD2， ADBD， AD3， AC2AD6， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分。分。 11 （3 分）因式分解：4m2m22m（2m） 【解答】解：4m2m22m(2m)， 故答案为：2m(2m) 12 （3 分）关于 x 的不等式? ?x1 ? ?的
22、解集是 x ? ? 【解答】解：移项，得：? ?x1? ? ?， 合并同类项，得：? ?x ? ?， 系数化为 1，得：x ? ?， 故答案为：x ? ? 13 （3 分）关于 x 的方程 x22x+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是1。 【解答】解：关于 x 的方程 x22x+k0 有两个相等的实数根， (2)241k0， 解得：k1 故答案为：1 第 13页（共 26页） 14 （3 分）开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续 14 天进行了体温测量，结果统计如 表： 体温（）36.336.436.536.636.736.8 天数（天）233411 这 14 天中，小芸体温的众数是3
23、6.6。 【解答】解：36.6 出现的次数最多有 4 次，所以众数是 36.6 故答案为：36.6 15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，AED90，EAD30，F 是 AD 边的中点，EF4cm，则 BE6cm 【解答】解：AED90F 是 AD 边的中点，EF4， AD2EF8, EAD30, AEADcos308 ? ? ?4 ?, 又四边形 ABCD 是矩形， ADBC,B90, BEAAED30, 在 RtABE 中， BEAEcosBEA4 ? ?cos304 ? ? ? ? ?6(cm), 故答案为：6 16（3 分） 若点 A （3， y1） ，
24、B （4， y2） 在反比例函数 y? ? 有 的图象上， 则 y1y2 （填 “”或“”或“” ） 【解答】解：ka2+10， 反比例函数 y? ? 有 的图象在一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小， 点 A（3，y1） ，B（4，y2）同在第三象限，且34， 第 14页（共 26页） y1y2， 故答案为 17 （3 分）如图，从一块直径为 4dm 的圆形铁皮上剪出一圆心角为 90的扇形，则此扇形 的面积为2dm2 【解答】解：连接 AC, 从一块直径为 4dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形，即ABC90， AC 为直径，即 AC4dm，ABBC（扇形的半径相等
25、） ， AB2+BC222， ABBC2 ?dm， 阴影部分的面积是? ?晦 ? ? ?2（dm2） 故答案为：2 18 （3 分）一组按规律排列的代数式：a+2b，a22b3，a3+2b5，a42b7，则第 n 个式 子是an+（1）n+12b2n 1 【解答】解:观察代数式,得到第 n 个式子是:an+(1)n+12b2n 1 故答案为:an+(1)n+12b2n 1 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 5 小题小题，共共 26 分分。解答时解答时，应写出必要的文字说明应写出必要的文字说明、证明过程或演证明过程或演 算步骤。算步骤。 19 （4 分）计算： （2021）0+（? ?） 1
26、2cos45 【解答】解:原式1+22 ? ? 3? 第 15页（共 26页） 20 （4 分）先化简，再求值： （2? ?有 有?） 有? 有?有?，其中 x4 【解答】解：原式（?有? 有? ? ?有 有?） 有?晦? 有?晦有?晦 ? ? 有? 有? 有? ? ? 有?, 当 x4 时，原式? ? ? ? ? ? 21 （6 分）在阿基米德全集中的引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有 关圆的一个引理如图，已知?t ?，C 是弦 AB 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理 的作图过程 （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ； 作线段 AC 的垂直平分线 DE，分别交?t ?于点
27、D，AC 于点 E，连接 AD，CD； 以点 D 为圆心，DA 长为半径作弧，交?t ?于点 F（F，A 两点不重合） ，连接 DF，BD， BF （2）直接写出引理的结论：线段 BC，BF 的数量关系 【解答】解： （1）如图，直线 DE，线段 AD,线段 CD 即为所求 如图，点 F，线段 CD,BD,BF 即为所求作 (2)结论：BFBC 理由：DE 垂直平分线段 AC, DADC, DACDCA, ADDF, DFDC,? ? ? ? ?, DBCDBF, DFB+DAC180DCB+DCA180, 第 16页（共 26页） DFBDCB, 在DFB 和DCB 中， ?t ?tt ?t
28、? ? ?tt ? ? ?t , DFBDCB(AAS), BFBC 22 （6 分）如图 1 是平凉市地标建筑“大明宝塔” ，始建于明嘉靖十四年（1535 年） ，是明 代平凉韩王府延恩寺的主体建筑宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被 誉为平凉古塔“双璧” 某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具 体过程如下： 方案设计：如图 2，宝塔 CD 垂直于地面，在地面上选取 A，B 两处分别测得CAD 和 CBD 的度数（A，D，B 在同一条直线上） 数据收集： 通过实地测量： 地面上 A， B 两点的距离为 58m， CAD42， CBD58 问题解决：求宝塔 CD 的
29、高度（结果保留一位小数） 参考数据： sin420.67， cos420.74， tan420.90， sin580.85， cos580.53， tan581.60 根据上述方案及数据，请你完成求解过程 【解答】解：设 CDxcm， 在 RtACD 中，AD? t? ?t? ? 有 ? ? 有 ?t?, 在 RtACD 中,BD? t? ?tt? ? 有 ? ? 有 ?t?, AD+BDAB, 第 17页（共 26页） 有 ?t? ? 有 ?t? ? ?, 解得，x33.4 答：宝塔的高度约为 33.4m 23 （6 分）一个不透明的箱子里装有 3 个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色
30、外 其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子 里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于 0.75 左右 （1）请你估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出 1 个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出 1 个小球， 求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法） 【解答】解： （1）通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.75 左右， 估计摸到红球的概率为 0.75， 设白球有 x 个， 根据题意，得： ? ?有 ?0.75， 解得 x1， 经检验 x1 是分式方程的解， 估计箱子里白色小球的个数为 1； （
31、2）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为 6， 两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为 ? ? ? ? ? 四四、解答题解答题：本大题共本大题共 5 小题小题，共共 40 分分。解答时解答时，应写出必要的文字说明应写出必要的文字说明、证明过程或演证明过程或演 算步骤。算步骤。 24 （7 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟 力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成 A， B，C，D，E 五个等级，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题： 第 18页（共 26页）
32、 等级成绩 x A50 x60 B60 x70 C70 x80 D80 x90 E90 x100 （1）本次调查一共随机抽取了200名学生的成绩，频数分布直方图中 m16； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）所抽取学生成绩的中位数落在C等级； （4）若成绩在 80 分及以上为优秀，全校共有 2000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少 人？ 【解答】解： （1）一共调查学生人数为 4020%200，A 等级人数 m2008%16， 故答案为：200，16； （2）C 等级人数为 20025%50， 补全频数分布直方图如下： 第 19页（共 26页） （3）由于一共有 200 个数据，其中
33、位数是第 100、101 个数据的平均数，而第 100、101 个数据都落在 C 等级， 所以所抽取学生成绩的中位数落在 C 等级； 故答案为：C （4）估计成绩优秀的学生有 2000 ? ? ?940（人） 25 （7 分）如图 1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图 书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计） 小 刚离家的距离 y（m）与他所用的时间 x（min）的函数关系如图 2 所示 （1）小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车的速度为200m/min； （2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y 与 x 的函数表达式；
34、（3）小刚出发 35 分钟时，他离家有多远？ 【解答】解： （1）由题意得，小刚家与学校的距离为 3000m， 小刚骑自行车的速度为： （50003000）10200（m/min） ， 故答案为：3000；200； （2）小刚从图书馆返回家的时间：500020025（min） ， 总时间：25+2045（min） ， 第 20页（共 26页） 设小刚从图书馆返回家的过程中，y 与 x 的函数表达式为 ykx+b， 把（20，5000） ， （45，0）代入得： ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 ? ? ? ? ? ? , y200 x+9000（20 x45） ； （3）小刚出发 35
35、分钟时，即当 x35 时， y20035+90002000 答：此时他离家 2000m 26（8 分） 如图， ABC 内接于O， D 是O 的直径 AB 的延长线上一点， DCBOAC 过 圆心 O 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 E （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 CD4，CE6，求O 的半径及 tanOCB 的值 【解答】 （1）证明：OAOC, OACOCA, DCBOAC, OCADCB, AB 是O 的直径， ACB90, OCA+OCB90, DCB+OCB90, 即OCD90, OCDC, OC 是O 的半径， CD 是O 的切线； （2）解：OEAC，
36、第 21页（共 26页） t? ?t ? t? t?, CD4，CE6， t? ?t ? ? ? ? ? ?, 设 BD2x,则 OBOC3x,ODOB+BD5x, OCDC, OCD 是直角三角形， 在 RtOCD 中，OC2+CD2OD2, (3x)2+42(5x)2, 解得，x1, OC3x3,即O 的半径为 3， BCOE, OCBEOC, 在 RtOCE 中，tanEOC? ?t ?t ? ? ? ?2, tanOCBtanEOC2 27 （8 分）问题解决：如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DEAF， DEAF 于点 G （1）求证：四边形 AB
37、CD 是正方形； （2）延长 CB 到点 H，使得 BHAE，判断AHF 的形状，并说明理由 类比迁移：如图 2，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AB，BC 边上，DE 与 AF 相交于 点 G，DEAF，AED60，AE6，BF2，求 DE 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， DABB90， DEAF， 第 22页（共 26页） DABAGD90， BAF+DAF90，ADE+DAF90， ADEBAF， DEAF， ADEBAF（AAS） ， ADAB， 四边形 ABCD 是矩形， 四边形 ABCD 是正方形； （2）解：AHF 是等腰三角形， 理由：四边形
38、ABCD 是矩形， DABABH90，ABDA， BHAE， DABABH（SAS） ， AHDE， DEAF， AHAF， AHF 是等腰三角形； （3）解：延长 CB 到点 H，使 BHAE6，连接 AH， 四边形 ABCD 是菱形， 第 23页（共 26页） ADBC,ABAD, ABHBAD, BHAE, DAEABH（SAS） ， AHDE，AHBDEA60， DEAF, AHAF， AHF 是等边三角形， AHHFHB+BFAE+BF6+28， DEAH8 28 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y? ? ?x 2+bx+c 与坐标轴交于 A（0，2） ， B（4，0）
39、两点，直线 BC：y2x+8 交 y 轴于点 C点 D 为直线 AB 下方抛物线上一动 点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 G，DG 分别交直线 BC，AB 于点 E，F （1）求抛物线 y? ? ?x 2+bx+c 的表达式； （2）当 GF? ? ?时，连接 BD，求BDF 的面积； （3）H 是 y 轴上一点，当四边形 BEHF 是矩形时，求点 H 的坐标； 在的条件下，第一象限有一动点 P，满足 PHPC+2，求PHB 周长的最小值 【解答】解： （1）抛物线 y? ? ?x 2+bx+c 过 A（0，2） ，B（4，0）两点， ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 解得 ? ?
40、? ? ? ? ? , 第 24页（共 26页） y? ? ?x 2? ?x2 （2）B(4,0),A(0,2), OB4,OA2, GFx 轴，OAx 轴， 在 RtBOA 和 RtBGF 中，tanABO? ? ?t ? ? ?t, 即? ? ? ? ? ?t, GB1, OGOBGB413, 当 x3 时，yD? ? ? ?9? ? ? ?322, D(3,2),即 GD2, FDGDGF2? ? ? ? ? ?, SBDF? ? ?DFBG? ? ? ? ? ? ?1? ? ? (3)如图 1 中，过点 H 作 HMEF 于 M, 四边形 BEHF 是矩形， EHBF,EHBF, HE
41、FBFE, 第 25页（共 26页） EMHFGB90, EMHFGB(AAS), MHGB,EMFG, HMOG, OGGB? ? ?OB2, A(0,2),B(4,0), 直线 AB 的解析式为 y? ? ?x2, 设 E(a,2a+8),F(a,? ?a2), 由 MHBG 得到，a04a, a2, E(2,4),F(2,1), FG1, EMFG, 4yH1, yH1, H(0,3) 如图 2 中， BH? ?t? ?5, 第 26页（共 26页） PHPC+2, PHB 的周长PH+PB+HBPC+2+PB+5PC+PB+7, 要使得PHB 的周长最小，只要 PC+PB 的值最小， PC+PBBC, 当点 P 在 BC 上时，PC+PBBC 的值最小， BC?t? ?t? ?4 ?, PHB 的周长的最小值为 4 ? ?7
