1、利用导数研究存在性问题北京市陈经纶中学知 识 回 顾如何利用导数确定函数的最值？知 识 回 顾如何利用导数确定函数的最值？明确函数及其定义域确定极值确定最值求导函数( )fx判断 的符号( )fx确定 单调性( )f x( )fx 恒正(负)令( )0fx列表 1.已知函数 .2( )2f xxx 思 考 探 究是否存在 ，使得 成立？ 00,3x 0()0f x 1.已知函数 .2( )2f xxx 思 考 探 究是否存在 ，使得 成立？ 00,3x 0()0f x是否存在 ，使得 成立？ 00,3x 0()2f x“存在性”问题函数的最值问题【思路1】( )222(1)fxxx 思 考 探
2、 究 关键：确定函数 在 的最值.2( )2f xxx 0,3，定义域 ， 0,3令 ，可解得 ， ( )0fx1x x( )fx( )f x(0,1)1(1,3)0极大值 当 x 变化时， 、 的变化情况如下表：( )fx( )f x03思 考 探 究所以 ， .max( )(1)1f xf因为 ， ， (0)0f(3)3f min( )(3)3f xf 【思路2】 的对称轴是 ，开口向下， 2( )2f xxx 1x 所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减， 0,1( )f x1,3因为 ， ， (0)0f(3)3f 所以 ， .max( )(1)1f xfmin( )(3)3f xf
3、1.已知函数 .2( )2f xxx 思 考 探 究是否存在 ，使得 成立? 00,3x 0()0f x是否存在 ，使得 成立? 00,3x 0()2f x0y 0y 2y 2y 2.已知函数 ，判断下列说法是否正确.3( )3f xxx思 考 探 究对于任意的 ，都有 成立.0,2x( )0f x 存在 ，使得 成立.00,2x 0()0f x存在 ，使得 成立.00,2x 0()2f x【分析】 能否做出正确判断，关键是什么? 2.已知函数 ，判断下列说法是否正确.3( )3f xxx思 考 探 究对于任意的 ，都有 成立.0,2x( )0f x 存在 ，使得 成立.00,2x 0()0f
4、 x存在 ，使得 成立?00,2x 0()2f x确定函数 在0,2上的最值.3( )3f xxx【解析】令 ，解得 ， .( )0fx11x 21x 2( )33fxx，定义域0,2，x( )fx( )f x(0,1)1(1,2)0极小值 当 x 变化时， ， 的变化情况如下表：( )fx( )f x02所以 ， .min( )(1)2f xf max( )(2)2f xf因为 ， ，(0)0f(2)2f【判断】0y 对于任意的 ，都有 成立.0,2x( )0f x 存在 ，使得 成立.00,2x 0()0f x是否存在 ，使得 成立?00,2x 0()2f x2y 2.已知函数 .3( )
5、3f xxx思 考 探 究若存在 ，使得 成立， 你能确定实数c的取值范围吗? 00,2x 0()f xc【思路1】 实数c 小于 在 上的最大值即可.( )f x 有一个 ， 即可，00,2x 0()f xc0,2 所以，实数c的取值范围是 .(,2) 2.已知函数 .3( )3f xxx思 考 探 究若存在 ，使得 成立， 你能确定实数c的取值范围吗? 00,2x 0()f xc【思路1】 实数c 小于 在 上的最大值即可.( )f x 有一个 ， 即可，00,2x 0()f xc0,2 所以，实数c的取值范围是 .(,2) 2.已知函数 .3( )3f xxx思 考 探 究若存在 ，使得
6、 成立， 你能确定实数c的取值范围吗? 00,2x 0()f xcyc【思路2】 所以，实数c的取值范围是 .(,2) 将 ，看成函数 与 常数函数 之间的关系，yc( )yf x( )f xc 2.已知函数 .3( )3f xxx思 考 探 究若存在 ，使得 成立， 你能确定实数c的取值范围吗? 00,2x 0()f xc【思考】 若对任意的 ，都有 恒成立， 实数c的取值范围又是什么? 0,2x( )f xcyc 实数c的取值范围是 .(, 2) min( )cf x思 考 探 究 2.已知函数 .3( )3f xxx若存在 ，使得 成立， 你能确定实数m 的取值范围吗? 00,2x 0(
7、)f xm【思考】 若对任意的 ，都有 恒成立， 实数m 的取值范围又是什么? 0,2x( )f xmymym 在利用导数研究函数的性质时，常会遇到一些判断、证明不等式存在性的问题，或者是已知不等式存在（有）解，确定参数取值范围的问题.小 结 解决这类问题的基本思路是：小 结“存在性”问题函数的最值问题数形结合解决函数问题. 注意区别“存在性”问题还是“恒成立”问题.小 结“存在性”问题函数的最值问题“恒成立”问题函数的最值问题 取最大值还是最小值，需要细心辨别、准确判断.例 题 一确定a 确定 min( )f x存在 使 成立( )0f x xmin( )0f x【分析】 已知函数 ，若存在
8、实数 使得 成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxaa0 x0()0f x例 题 一【解】，定义域 ， (,) ( )e2xfx，( )e2xf xxa令 ，可解得 ， ( )e20 xfxln2x 已知函数 ，若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa0()0f xa0 x 当 变化时， ， 的变化情况如下表：x( )fx( )f xx( )fx( )f x(,ln2)ln2(ln2,)0极小值ln2min( )(ln2)e2ln222ln2.f xfaa 所以2ln22a ，即 ， 22ln20a 所以由题意： 存在 使 成立，等价于 ， ( )0f x
9、 min( )0f x所以实数 的取值范围是 . a(,2ln22)x反 思 提 炼确定a 确定 min( )f x存在 使 成立( )0f x xmin( )0f x【分析】 已知函数 ，若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxaa0 x0()0f x例 题 一 同学们换一个角度想一想，还有其它的解法吗？【分析】 已知函数 ，若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa0()0f xa0 x例 题 一存在 使 成立( )0f x x存在 使 成立2exaxxmax( )ah x( )2exh xx 已知函数 ，若存在实数 使得 成立，求实数
10、的取值范围. ( )e2xf xxa0()0f xa0 xe20 xxa【分析】【解】( )2exh x ，令 ，解得 .( )0h x ln2x 令 ，则上式等价于 .max( )ah x( )=2exh xx由题意存在 使 成立，( )0f x x2exax即存在 使 成立，x【解】 当 变化时， ， 的变化情况如下表：x( )h x( )h x所以实数 的取值范围是 . a(,2ln22)x(,ln2)ln2(ln2,)0极大值( )h x( )h xmax( )(ln2)2ln22h xh 所以 因为max( )ah x回 顾 反 思【思考】这是一个什么类型的题目？解决这类问题我们采用
11、了怎样的方法？ 已知函数 ，若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围. ( )e2xf xxa0()0f xa0 x解决问题的方法： 小 结题型：已知含有参数的不等式成立（有解），确定 参数取值范围的问题.（存在性问题）方法1. 直接转化为确定函数的最值.min( )0f xmax( )0f x存在 使 成立( )0f x x存在 使 成立( )0f x x 小 结方法2. 分离参数-将要求的参变量分离出来单独 放在不等式一侧，另一侧看成一个新函数， 将问题转化为新函数的最值问题.方法2. 分离参数-将要求的参变量分离出来单独 放在不等式一侧，另一侧看成一个新函数， 将问题转化为新函数的最值
12、问题. 小 结（1）分离参数后，存在 使 成立 ( )ah xmax( ).ah xx（2）分离参数后，存在 使 成立 ( )ah xmin( ).ah xx例 题 二 已知函数 ， ，若至少存在一个 ，使 ，求实数 的取值范围. 1( )()2lnf xa xxx( )ag xx a01,ex 00()()f xg x【分析】( )( )f xg x1()2lnaa xxxx 2ln0axx( )2lnh xaxx存在 使 成立( )( )f xg xx存在 使 成立( )0h x xmax( )0h x【解】令 ，( )( )( )2lnh xf xg xaxx等价于 .max( )0h
13、x至少存在一个 ，使 成立，01,ex 00()()f xg x2( )h xax判断符号判断符号【分析】先考虑导数恒正或恒负的情况，这与 有关2x 因为 ， ，所以考虑 ， ，1,ex22 ,2ex2ea 2a 再考虑 的情况，再令22ae2( )0.h xax【解】，因为 ， ，1,ex22 ,2ex当 时， ， 在 上单调递减， .( )0h x ( )h x1,e2ea 所以 ，max( )(1)h xha因为 ，max( )0h x所以，此时 ；20ea令 ，( )( )( )2lnh xf xg xaxx等价于 .max( )0h x至少存在一个 ，使 成立，01,ex 00()(
14、)f xg x2( )h xax【解】当 时， ， 在 上单调递增， .( )0h x ( )h x1,e2a 所以 ，max( )(e)e2h xha所以，此时 .2a 因为 ，即 ，max( )0h x2ea 令 ，可解得 ， ( )2ln0h xaxx2xa当 时，22ea【解】综上，实数 的取值范围是 . (0,)ax 当 变化时， ， 的变化情况如下表：x( )h x( )h x2(1,)a0极小值( )h x( )h x1a2a2(,e)ae此时 ，符合题意.(1)0ha(e)e20ha所以，此时 ，22eae2a 回 顾 反 思 关键：转化变形构建函数函数最值( )( )f xg
15、 x1()2lnaa xxxx 2ln0axx( )2lnh xaxx存在 使 成立( )( )f xg xx存在 使 成立( )0h x xmax( )0h x回 顾 反 思 关键：利用导数确定函数的最值明确函数及其定义域确定极值确定最值求导函数( )fx判断 的符号( )fx确定 单调性( )f x( )fx 恒正(负)令( )0fx列表 已知函数 ， ，若至少存在一个 ，使 ，求实数 的取值范围. 1( )()2lnf xa xxx( )ag xx a01,ex 00()()f xg x【分析】 思路2：将参数a分离，得到新的目标函数， 由新函数的最值确定实数a的取值范围.例 题 二【分
16、析】( )( )f xg x2ln0axx2ln( )xxx存在 使 成立( )axxmin( )ax2ln xax1,ex存在 使 成立( )( )f xg xx【分析】2ln( )xxx1,ex因为 ， ，2222ln2(1 ln )( )0 xxxxxxx 所以 在 上单调递增，( )x1,e注：详细解法希望同学们自行完成！min( )(1)0 x，.回 顾 反 思 （1）直接构造函数，确定函数最值. （2）分离参数，构造新函数，确定新函数最值. u 解决“存在性”问题的关键：“存在性”问题函数最值问题u 解决确定参数范围的问题，有两种常用的方法：课 堂 小 结1.本节课我们主要解决了什
17、么样的问题？2.解决此类问题的方法是什么？关键是什么？3.在解决问题过程中，运用了哪些数学的思想 和方法？课 堂 小 结存在性问 题 直接构造函数分离变量构造函数函数最值函数有关问题导数注意：“存在性”问题与“恒成立”问题的区别课 堂 小 结u在解决问题过程中：知识是基础，思想是灵魂， 方法是关键. 从特殊到一般，从一般到特殊，转化与化归， 数形结合、分类讨论课 堂 小 结u重视一题多解，体会解法特点，积累解题经验，提高方法识别与选择的能力.课 堂 作 业 1.已知函数 ，若至少在存在一个 ，使 得 成立，求实数 的取值范围. ( )exf xax0()0f xa0 x 2.已知函数 ， ， 当 时，函数 在区间 上的最大值为M，若 存在 使得 成立，求实数 的取值范围. 21( )(1)ln2f xaxaxx27( )28g xxbxa14a ( )f x(0,21,2x( )g xM
