1、复数的加法与减法北京师范大学附属中学复 习对于复数 回答下列问题. 问题1.复数 的实部？虚部？ 满足什么条件时复数 是纯虚数？是实数？=+i (R),zaba b z,a bz实部是a虚部是b 时 纯虚数= 00abzz 时 是实数= 0b问题2.复数的几何意义是什么？复 习复数 点问题2.复数的几何意义是什么？=+i(R)zaba b ,(),Z a b一一对应 复 习复数 点问题2.复数的几何意义是什么？=+iR( ,)zaba b ( , )Z a b向量= ( , )OZa b 一一对应 一一对应 复 习探究1：已知复数 猜一猜 ， 的值等于多少？问题1.两个复数的和是什么数？它的值
2、唯一确定吗？123= 1 + i= 22i=2 + 3i，zzz12+zz123(+) +zzz新 课1.复数的加法法则设 则定义12=+i, =+i,Rzabzcda b c d , , ,12+= (+i) + (+i)zzabcd= (+) + (+)iacbd新 课问题3.实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？已知复数 123= 1 + i= 22i=2 + 3i，zzz12+= 3izz123(+) += 1 + 2izzz新 课21=+zz123=+ (+)zzz12=+i, =+i,Rzabzcda b c d , , ,12+= (+i) + (+i)zzab
3、cd= (+) + (+)iacbd新 课设复数证明：1221+=+zzzz证明：因为又因为21+= (+i) + (+i)zzcdab= (+) + (+)icadb所以1221+=+zzzz2.复数的加法的运算律对任意复数 满足123， ，zzz1221+=+ zzzz123123(+) +=+ (+) zzzzzz（交换律）（结合律）新 课探究2：已知复数 求出 ，并在复平面内作出 所对应的向量.问题1.猜想 所对应向量与 所对应向量有什么关系？问题2.你能归纳出复数加法的几何意义吗？12= 1 + i= 22i，zz12+zz12+zz12， ，zz12， ，zz12+zz新 课3.复
4、数加法的几何意义O12=+OZOZOZ 1(1 1),Z(31),Z2(22),Zxy新 课探究3：已知复数 求 .问题1.两个复数的差是什么数？它的值唯一确定吗？12= 1 + i= 22i，zz12zz新 课4.复数的减法法则设 则定义12=+i,=+i,Rzabzcda b c d , , ,12= (+i)(+i)zzabcd= () + ()iacbd新 课O1(1 1),Z( 1 3),Z 2(22),Zyx已知复数 .12= 1 + i= 22i，zz12=1 + 3izz新 课5.复数减法的几何意义O1221=OZOZOZZ Z 1(1,1)Z( 1, 3)Z 2(2,2)Zy
5、x新 课例1.计算解：原式(25i) + (3 + 7i)(5 + 4i)= (2 + 35) + ( 5 + 74)i=2i例 题例2.已知 求12= 3 + 2i= 14i，zz（1） ；11+zz（2） .21zz例 题例2.已知 求12= 3 + 2i= 14i，zz（1） .21zz解：2= 1 + 4iz所以21= (3 + 2i)(1 + 4i) = 22izz 例 题例2.已知 求12= 3 + 2i= 14i，zz（2） ；11+zz解：1= 32iz所以11+= (3 + 2i) + (32i) = 6zz例 题例3.已知 =+i(R).,zab a b 证明： 是纯虚数，
6、或是zz证明：= (+i)(i) = 2 izzababb当 时， 是实数；例 题0= 0bzz当 时， 是纯虚数.0b zz解： 由纯虚数定义有22=+ 21 + (1)i,zaaa21=+ 5 + (3)i，zaa例4.已知复数 若 是纯虚数，21zz求实数 的值.a2221= (+6) + (+ 2)izzaaaa22+6 = 0+ 20aaaa解得=3a例 题例5.已知复数 的模为 ，求 的最大值.解：设 ， 则 z122=(1)+ (1)|1i |xzy=+i(R),zxy x y 22+= 1xy|1 i|z 例 题即( )22+= 1xy22=+ 1 + 12(+)xyxy则例5
7、.已知复数 的模为 ，求 的最大值.z1|1 i|z 例 题=3|2(+)z1i |xy22+= 1xy( )取+=xym将 代入 式=ymx( )化简得2222+1 = 0 xmxm所以例5.已知复数 的模为 ，求 的最大值.z1|1 i|z 例 题化简得2222+1 = 0 xmxm由方程有解可得222 = 48(1) =4+ 80mmm22m解得当 时 有最大值=2m(+)xy2例5.已知复数 的模为 ，求 的最大值.z1|1 i|z 例 题32(+)xy所以 有最大值3 + 2 2所以 的最大值是|1 i|z 2 + 1方法一2=( 2 + 1)由22+=2+= 1xyxy可得复数22
8、=i22z例5.已知复数 的模为 ，求 的最大值.解：设 ， z1=+i(R),zxy x y 22+= 1xy|1 i|z 例 题即22+= 1xy则设= cos= sin(02 ),x y=32(+)3| z1i |2(cos+ sin )xy所以例5.已知复数 的模为 ，求 的最大值.z1|1 i|z 例 题| z1i |因为cos+ sin=2sin(+)4(02 )所以当 时，54 cos+ sin有最小值2所以 的最大值是2 + 1方法二O点 在圆 的图象上所以 的最大值是例5.已知复数 的模为 ，求 的最大值.z1yx(),xyA(1 1),(),xy22+= 1xy2 + 1例
9、 题|1 i|z |1 i|z 解： 几何意义为复平内点(),x y(1 1), 到点 的距离|1 i|z O所以 的最大值是例5.已知复数 的模为 ，求 的最大值.z1yx(),xyA(1 1),2 + 1例 题|1 i|z 方法三|1 i|z 由22= 0+= 1xyxy可得复数22=i22z知识方面：复数的加法、减法运算法则和运算律复数的加法、减法的几何意义思想方法：类比、化归转化、数形结合等数学思想方法小 结1.计算2.计算(1)(4 + 3i) + (5 + 7i) (2)( 5 + i) + (32i)；(3)(3 + 2i) + ( 32i) (4)3 + (4 + 2i).；(1)(4 + 5i)(3 + 2i) (2)( 3 + 2i)(45i)；(4)(1 + i)(1i)(54i) + ( 3 + 7i).-(3)( 3 + 2i)(5i) + (4 + 7i) ；作 业3.已知 通过几何作图求出 对应的向量，再用计算加123= 5 + 3i=1 + 4i=4 + i，zzz123+zzz作 业以验证.
