1、例说如何运用函数思想求解数列问题一、知识概要数列可以看成是以正整数集N N*（或它的有限子集1,2，,n）为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.一、知识概要1、数列特殊的函数.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,) 有意义，那么我们就可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，一、知识概要1、数列特殊的函数.数列的表示法：解析式法，列表法和图象法.数列的图象是一系列孤立的点.如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.数列的通项公式可以看成数列的函数解析式.有些
2、数列还可以用递推公式进行表示. 数列中的研究对象：单调性、最值和周期性 数学思想方法：函数思想、方程思想、转化与化归以及数形结合等.一、知识概要1、数列特殊的函数.等差数列通项公式与函数的关系.2、等差数列中的函数关系.一、知识概要等差数列通项公式与函数的关系.an=dn+(a1-d) f(x)=kx+b（xN*，k，b为常数）2、等差数列中的函数关系.一、知识概要等差数列通项公式与函数的关系.当d0时， 是一个单调递增数列；当d0，d0，d0，则Sn存在最大值；123456 78nanO123456 78nSnOOnan123456 78 等差数列 的前n项和的最值： 若a10，则Sn存在最
3、小值；Onan 等差数列 的前n项和的最值： 若a10，则Sn存在最小值；123456 7810123456 78nSnO9一、知识概要3、等比数列中的函数关系.等比数列通项公式与函数的关系.一、知识概要3、等比数列中的函数关系.等比数列通项公式与函数的关系.(其中k,q均为非0常数，xN*)等比数列 的单调性： 当 ，或 时， 是递增数列； 等比数列 的单调性： 当 ，或 时， 是递增数列； 当 ，或 时， 是递减数列； 等比数列 的单调性： 当 ，或 时， 是递增数列； 当 ，或 时， 是递减数列； 当 时， 是常数列； 等比数列 的单调性： 当 ，或 时， 是递增数列； 当 ，或 时，
4、是递减数列； 当 时， 是常数列； 当 时， 是摆动数列. 一、知识概要3、等比数列中的函数关系.等比数列的前n项和公式与函数的关系.二、典型题目二、典型题目（一）数列中的最值问题.在等差数列 中，若 ， . 设数列 的前n项和为 ，n为何值时，有最大值？二、典型题目方法一：因为 ， ，所以令 ，解得当n=15或n=16时， 取得最大值.即 . 二、典型题目方法二：因为 ，所以当n=15或n=16时， 取得最大值.为二、典型题目（一）数列中的最值问题.变式1：在等差数列 中，若 ，且 那么当n= 时， 取得最大值.二、典型题目设该等差数列的公差为d由 可得：.，把 代入解得：.二、典型题目方法
5、一：令 ，解得 .当n=7时， 取得最大值.二、典型题目方法二：因为，所以当n=7时， 取得最大值.二、典型题目（一）数列中的最值问题.变式1：在等差数列 中，若 ，且 那么当n= 时， 取得最大值.变式1：在等差数列 中，若 ，且 那么当n= 时， 取得最大值.公差为d是未知的，那么它可以是0吗？如果d=0，该数列就是各项均为13的一个常数列，则前n项和 一定单调递增，与 矛盾.二、典型题目公差为d是未知的，那么它可以是正数吗？当首项为正数时，如果公差大于0， 仍然是单调递增，不可能满足 ，因此d0.二、典型题目方法三：因为，所以.为开口向下的二次函数，由二次函数图象的对称性可知，当 时，
6、取得最大值. 二、典型题目二、典型题目二、典型题目二、典型题目在等差数列 中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.特别地：当m=n时，2am=ap+aq.二、典型题目方程：二、典型题目方法四： 因为，所以即由等差数列的性质可得：由已知 可知：，故当n=7时， 取得最大值.二、典型题目（一）数列中的最值问题.变式2：若等差数列 满足 ，当n= 时，数列 ，的前n项和最大.二、典型题目因为，由等差数列的性质可得：，所以，二、典型题目当n=8时， 取得最大值. 即前8项均为正数，从第9项开始，后面各项均为负数.二、典型题目变式3：设 为等差数列 的前n项和，若 ，则（ ）（A） 的最大值为
7、.（C） 的最大值为 .（B） 的最小值为 .（D） 的最小值为 .，因为，所以解得所以数列 是递增数列. 又， 即， 所以，选项为D.二、典型题目（二）数列中的单调性问题.（A）充分而不必要条件 .（B）必要而不充分条件 .（C）充分必要条件 .（D）既不充分也不必要条件 .设 为等差数列,其前n项和为 ,且公差d不为0,则“ ”是“ 为递增数列的（ ） N*, 检验充分性：检验充分性：因为所以.，由，得所以等差数列 是递增数列.充分性成立.检验必要性：检验必要性：当 为递增数列时，.可取-6，-4，-2，发现，故不能得到.故本题选A.N*, 必要性不成立.（A）充分而不必要条件 .（B）必
8、要而不充分条件 .（C）充分必要条件 .（D）既不充分也不必要条件 .设 为等差数列，其前n项和为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）N*, 若，则，当 时，为各项均为正数的常数列.显然，充分性不成立.选D.N*, （A）充分而不必要条件 .（B）必要而不充分条件 .（C）充分必要条件 .（D）既不充分也不必要条件 .已知数列 是等比数列，则“ ”是 “数列 是递增数列”的（ ） 检验充分性：若数列 是等比数列，且 ，则 可能是递增数列或摆动数列.充分性不成立.检验必要性：若数列 为递增数列，则后一项必然比前一项大.必要性成立.选B.二、典型题目（三）数列中的周期性问题.已知数列 的首项为2，且数列 满足 ，且数列 前n项和为 ，则的值为 . 发现：发现：所以猜想数列 的最小正周期为4.发现：所以猜想数列 的最小正周期为4.因为，且，所以因为所以最小正周期为4.， 同学们，今天我们从特殊函数的视角对数列中的单调性、最值以及周期性三个问题再次进行了审视，希望对同学们有所帮助。在高三复习备考过程中，同学们要不断地夯实基础知识，强化通性通法，总结思维过程，提高解决问题的能力！祝同学们在2020年的高考中取得优异成绩。 .
