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1、高一年级数学向量数量积的坐标运算北京师范大学良乡附属中学复习回顾：向量数量积的定义及相关性质？开公开课备亮点找素材尽在高中数学公开课优质课信息融合课资源QQ群865257936 期待你的加入与分享|cos，a ba bab即：|aa acos|，a baba b（是非零向量）a,b0aba b复习回顾：必修第二册学习过的平面向量坐标表示的定义？在平面直角坐标系中，分别给定与轴、轴正方向相同的单位向量之后，根据平面向量基本定理可知，对平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得 .axy12xyaeexy12，eexyae1e2123132O( , )x yax,y()a =12e

2、,e这时我们称有序实数对是向量的坐标，记作 .而且，是一组单位正交基底.根据向量数量积的定义，可得 xyae1e2123132O( , )x yax,y()a =12e ,e这时我们称有序实数对是向量的坐标，记作 .而且，是一组单位正交基底.根据向量数量积的定义，可得 11221 1 cos01 e eee12211 1 cos900. e eeexyae1e2123132O向量可以用坐标表示，我们又学习了向量数量积的定义，那么向量的数量积可以用坐标表示吗？思考1：设你能用的坐标表示吗？ 1122,xyxy()()，a =b =，aba b由平面向量坐标表示的定义可知，如果那

3、么存在单位正交基底使得12,e e11,x y()a =22xy(),b =由平面向量坐标表示的定义可知，如果那么存在单位正交基底使得12,e e11,x y()a =22xy(),b =1 11 22 122+xyxy,a =ee b =ee于是1 11 22 122(+) (+)xyxya b =eeee于是1 11 22 122(+) (+)xyxya b =eeee1 2 111 2 121 2 211 2 22+xxxyyxyy=e ee ee ee e于是1 11 22 122(+) (+)xyxya b =eeee1 2 111 2 121 2 211 2 22+xxxyy

4、xyy=e ee ee ee e1 21 2+xx yy=从而1 21 2+xx yy a b=前面学习了向量数量积的性质，得出了向量模、以及两个向量夹角的余弦公式，这些公式可以用坐标表示吗？思考2：设且它们都不是零向量时，你能用的坐标表示出和1122x yxy()(),a =b =,|a | |b|cos,a b,a b吗？由向量数量积的性质及向量数量积的坐标表示得：由向量数量积的性质及向量数量积的坐标表示得：222111111() () =x yx yxy,|a | = a a =即2211xy|a |=a a由向量数量积的性质及向量数量积的坐标表示得：222111111() ()

6、 xy,2121(,),ABxx yy AB222121| |()()ABABxxyy 这是平面直角坐标系中两点间距离公式.小结：利用向量的数量积可以方便地得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式.例1：已知求 (31)(12)，，ab| | | ，，a b ab.,a b例1：已知求 (31)(12)，，ab| | | ，，a b ab解：直接代入向量数量积的坐标运算公式可知.,a b例1：已知求 (31)(12)，，ab| | | ，，a b ab解：直接代入向量数量积的坐标运算公式可知(31) (12) = 3 1+( 1) ( 2) = 5 ，a b =22|3( 1)

8、0)ABC, , , ,BAC分析：你能将这个角度问题转化为向量夹角的问题，进而用向量夹角的坐标运算来解决吗？例2：已知求的余弦值. (1 2)(3 4)(5 0)ABC, , , ,BAC分析：在中，是向量和向量的夹角，可利用公式ABCBACcos,cos|AB ACAB ACBACABAC .求解.AB ACxyA124351324OBC例2：已知求的余弦值. (1 2)(3 4)(5 0)ABC, , , ,BAC解：因为(3 1,42)(2,2),(5 1,02)(4, 2),ABAC 例2：已知求的余弦值. (1 2)(3 4)(5 0)ABC, , , ,BAC

9、解：因为(3 1,42)(2,2),(5 1,02)(4, 2),ABAC 所以22222 42 ( 2)4,|228,|4( 2)20,AB ACABAC 例2：已知求的余弦值. (1 2)(3 4)(5 0)ABC, , , ,BAC.解：因为(3 1,42)(2,2),(5 1,02)(4, 2),ABAC 所以22222 42 ( 2)4,|228,|4( 2)20,AB ACABAC 因此410cos.10|820AB ACBACABAC 前面学习了两个向量垂直的充要条件，你能用向量的坐标表示出两个向量垂直的充要条件吗？思考4：设你能用1122x yxy()(),a =b =,

10、a b的坐标表示出的充要条件吗？ab因为的充要条件是，因此 ab0a b =因为的充要条件是，因此 ab0a b =12120 x xy yab小结：利用向量的坐标和向量的数量积，可以方便的表达出向量垂直的条件.例3：已知点求证： (1 2)(2 3)( 2 5)ABC , , , ,.ABAC 例3：已知点求证： (1 2)(2 3)( 2 5)ABC , , , ,.ABAC 分析:本题考查向量与向量的垂直问题，你能将这个垂直问题转化为如何用向量与向量垂直的坐标运算来解决吗？例3：已知点求证： (1 2)(2 3)( 2 5)ABC , , , ,.ABAC 证明：因为(2

11、,3)(1,2)(1,1),( 2,5)(1,2)( 3,3),ABAC 例3：已知点求证： (1 2)(2 3)( 2 5)ABC , , , ,.ABAC 证明：因为(2,3)(1,2)(1,1),( 2,5)(1,2)( 3,3),ABAC 所以(1,1) ( 3,3)1 ( 3) 1 30,AB AC 例3：已知点求证： (1 2)(2 3)( 2 5)ABC , , , ,.ABAC 证明：因为(2,3)(1,2)(1,1),( 2,5)(1,2)( 3,3),ABAC 所以(1,1) ( 3,3)1 ( 3) 1 30,AB AC 因此 .ABAC 例4：如图，已知点将向量

12、绕原点逆时针旋转得到求点的坐标. (2 1)A, ,OA O2OB ,BxyA123132OB-1例4：如图，已知点将向量绕原点逆时针旋转得到求点的坐标. (2 1)A, ,OA O2OB ,分析：你能将这个题目的已知条件转化成关于向量的模或者角度的语言，从而利用向量数量积的坐标运算加以解决吗？BxyA123132OB-1例4：如图，已知点将向量绕原点逆时针旋转得到求点的坐标. (2 1)A, ,OA O2OB ,B解：由已知可得：| |OBOA ,OBOA ,所以0.OB OA xyA123132OB-1例4：解：设 ( , )B x y ,则 ( , ),

13、OBx y 又因为，则 (2,1)OA xyA123132OB-1例4：解：设 ( , )B x y ,则 ( , ),OBx y 又因为，则 (2,1)OA 由可得| |OBOA ,222221 .xy由可得0OB OA ,20.xyxyA123132OB-1例4：解：设 ( , )B x y ,则 ( , ),OBx y 又因为，则 (2,1)OA 由可得| |OBOA ,222221 .xy由可得0OB OA ,20.xy联立这两个方程，解得或1,2xy 1,2.xy xyA123132OB-1例4：解：设 ( , )B x y ,则 ( , ),OBx y 又因

14、为，则 (2,1)OA 由可得| |OBOA ,222221 .xy由可得0OB OA ,20.xy联立这两个方程，解得或1,2xy 1,2.xy 又由图可知，所以 .0 x ( 1,2)B xyA123132OB-1小结：利用向量的坐标求向量的数量积是一种常用的方法，同样，向量的长度、距离以及向量之间的夹角也都可以利用向量数量积的坐标运算得解.那么，何时采用向量的矢量运算，何时采用向量的坐标法是一个难点，要依据题目的条件而定.例5：已知正方形中，为对角线不在端点上的任意一点，，，连接 ABCDPACPEABPFBC.DPEF，DPEF求证： . ABCDPEF例5：分析

15、： DPEFDPEF 0DP EF 例5：分析：同学们可以考虑是否可以采取代数法证明？将垂直问题转化为利用向量数量积的坐标运算来解决呢？ ABCDPEF向量数量积的坐标运算需要坐标需要平面直角坐标系例5：如图，以为原点，所在直线为轴，正方形的边长为 AABx单位长，建立平面直角坐标系， ABCDPEFxyO例5：如图，以为原点，所在直线为轴，正方形的边长为 AABx单位长，建立平面直角坐标系， (0 0)(1 0)(0 1)ABD, ,(1 0)(0 1).ABAD , ,则从而ABCDPEFxyO例5：如图，以为原点，所在直线为轴，正方形的边长为 AABx单位长，建立平

16、面直角坐标系， (0 0)(1 0)(0 1)ABD, ,(1 0)(0 1).ABAD , ,由已知，可设，其中()P a a,01a ,则从而ABCDPEFxyO例5：且因此(0)(1 )E aFa, , ,(1)(1).DPa aEFa a ,ABCDPEFxyO例5：且因此(0)(1 )E aFa, , ,(1)(1).DPa aEFa a ,又因为(1)(1)0DP EFaaaa ,ABCDPEFxyO例5：且因此(0)(1 )E aFa, , ,(1)(1).DPa aEFa a ,又因为(1)(1)0DP EFaaaa ,所以，因此DPEF .DPEFABCDP

17、EFxyO例5：同学们还有其它的想法吗？是否可以通过表示出向量和，将垂直问题转化为利用向量数量积的定义式来解决呢？大家可以课后自行尝试. DP EF ABCDPEF小结：选择用向量的坐标运算解决几何问题时，主要依据是看题目的已知条件是否适合建立平面直角坐标系，一般而言，通过建立坐标系可使题目变得简单、易操作.思考与练习已知点与点 , 求证：直线是线段 ()A a b,1()A b a,yx1AA的垂直平分线.xyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=x已知点与点 , 求证：直线是线段 ()A a b,1()A b a,yx1AA的垂直平分线.分析：y

18、x是线段1AA的垂直平分线yx通过线段1AA的中点直线yx与线段1AA垂直xyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=xyx通过线段1AA的中点线段的中点在直线yx上1AAxyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=xyx通过线段1AA的中点线段的中点在直线yx上1AA设线段的中点为，则根 1AA()M x y, 据中点公式得 MxyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=xyx通过线段1AA的中点线段的中点在直线yx上1AA设线段的中点为，则根 1AA( , )M x y 据中点公式得 .2ba

19、y,2abxMxyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=xyx通过线段1AA的中点线段的中点在直线yx上1AA设线段的中点为，则根 1AA( , )M x y 据中点公式得 .2bay所以xy ,点M在直线上.,2abxyxMxyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=x接下来：直线yx与线段1AA垂直是否可通过向量数量积的坐标运算解决？MxyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=x接下来：直线yx与线段1AA垂直是否可通过向量数量积的坐标运算解决？根据已知：1( , )( , )(,),AAb

20、 aa bba abMxyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=x接下来：直线yx与线段1AA垂直是否可通过向量数量积的坐标运算解决？根据已知：1( , )( , )(,),AAb aa bba ab在直线上，任取一点P, 则可设 yx( , ),P x x于是( , ).OPx x MxyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=x所以1( , ) ( - , - )( - )( - ) 0,OP AAx x b aa bxb axa b 所以1,OP AA MxyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)

21、y=x所以1( , ) ( - , - )( - )( - ) 0,OP AAx x b aa bxb axa b 所以1,OP AA 从而，直线与线段垂直.yx1AA因此，直线是线段的垂直平分线.yx1AAMxyA(a,b)OA1(b,a)y=xxyA(a,b)OA1(b,a)y=x总结回顾本节课学习了向量数量积的坐标运算公式，两向量垂直的坐标等式，向量的长度、距离、夹角的坐标公式，使得向量数量积的运算可以代数化.平面向量数量积的计算问题，往往有两种解法，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式.一般情况下，选择哪种方式，要根据题目的条件而定，如果选择定义式，需要有合适的基底，如果选择坐标运算公式，需要有合适的坐标系.利用向量的夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、长度问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.作业：1.已知向量的坐标,分别求,a b| | |. ，，cos ，a b abab(4,-3),(-4,3);a =b =(-11,2),(3,9).a =b=（1）（2）2.已知向量若与的夹角是锐角,求的取值范围.(12)(1)m，ababm3.在正方形中, 分别是ABCD,E FAB BC,的中点,求证： .AFDE再见

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