1、教教 案案教学基本信息课题导数的概念学科数学学段：高中年级高二教材书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2 （A 版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007年 1 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者王小平北京市陈经纶中学实施者王小平北京市陈经纶中学指导者王文英北京市朝阳区教育研究中心课件制作者王小平北京市陈经纶中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.通过对不同背景的分析，与学生共同体验由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数概念的形成过程.2.领会瞬时变化率的实质，形成导数概念，给出导数的严格数学定义，了解导数内涵.3.通过导数概念的形成过程， 学习归纳、 类
2、比的推理方式； 体验有限与无限、特殊与一般、化归与转化的数学思想；提高广泛联系、抽象概括能力；培养正确认识量变与质变、运动与静止等对立统一观点，形成正确的数学观.教学重点、难点：描述导数的概念及其形成过程.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入创设情景创设情景，探究探究高台跳水运动的平均速度与高台跳水运动的平均速度与瞬时速度之间的关系瞬时速度之间的关系问题问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系2( )4.96.510h ttt ，如何求运动员在2ts时的瞬时速度呢？提出问题，引发思考.新课（一）设计方案，解决问题（一）
3、设计方案，解决问题由前面物理学科的学习我们会这样思考：物理上分析运动员运动状态，当运动员到达最高点，速度为零，所以运动员从起跳到达最高点所用时间是6.59.8t ，此时0v ，所以当2ts时，运动员在下落，利用公式6.509.8(2)13.19.8tvgt ，2ts时，瞬时速度为13.1 /m s.操作研究程、提炼研究结果还有同学会有这样的想法：极短的一段时间内的平均速度可以近似认为是瞬时速度. 也就是说：当时间变化量t越来越小时， 平均速度ht的值越来越接近瞬时速度.师：首先选取2ts附近的一段时间2,2 (0)tt或2,2 (0)tt，然后求运动员在2ts附近的平均速度.（二（二）多角度探
4、究多角度探究、观察分析观察分析、发现发现平均速平均速度与瞬时速度之间的关系度与瞬时速度之间的关系规律规律我们可计算在2,2 (0)tt及计算2,2 (0)tt的平均速度.(2)(2)13.14.9hhtvtt ，(2)(2)13.14.9hthvtt 1 1. .借助借助 E EXCELXCEL 进行进行“数据运算数据运算”为了实现快为了实现快速、准确计算速、准确计算. .组织学生讨论运动员在2ts附近的平均速度和瞬时速度之间的关系， 教师引导学生以已知探求未知.(1)学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，以便观察、比较、归纳、提炼实质.(2) 让 学 生 经 历 观察、分析、比较、归我们的
5、学习活动不仅是获取知识的过程，更应主动发现新问题，引发新思考.请同学们观察我们在2ts前这段时间内的平均速度在数值上有什么规律吗？运动员在2ts左侧平均速度趋近于常数13.1/m s.在2ts后一段时间内的平均速度有同样的规律出现吗？我们可以用同样的方式进行研究，观察数据，也可得到运动员在2ts右侧平均速度趋近于常数13.1/m s.小结：已知在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m） 与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系2( )4.96.510h ttt ，若求运动员在2ts时的瞬时速度，我们借助EXCEL 进行“数据运算” ，计算了在2ts附近的平均速度，观察所得数据，发现
6、规律：平均速度趋近于常数13.1/m s，我们初步认为运动员在2ts时的瞬时速度为13.1/m s.2 2. .使用图形计算器使用图形计算器，直观的建立平均速度与直观的建立平均速度与瞬时速度的关系瞬时速度的关系. .画出函数2( )4.96.510h ttt 图象，追踪函数图象上一些点的横坐标及在这点处的切线的斜率，形成二维表格，利用表格中的数据，观察数据呈现的规律.可以得到相同的结论：运动员在2ts时的瞬时速度为13.1/m s.3.3.代数式化简，体会极限思想代数式化简，体会极限思想. .计算在2,2 (0)tt这段时间内的平均速度:22(2)(2)4.9 26.5 2 104.9(2)6
7、.5(2) 1013.1 4.9.hhtvttttt 纳、发现规律的过程， 体会瞬时速度的含义.(3)让学生在亲自计算的过程中感受和观察逼近的趋势， 这种计算非常美妙， 用静态的计算刻画了动态过程的瞬间， 就像高速摄影的定格一样.熟悉符号， 鼓励学生尝试用(2)(2)hthvt来计算高台跳水运动员在2ts前后运通过前面的探究，我们知道时间变化量无限接近0 时，平均速度近似认为是的瞬时速度，我们可以这样来描述：当0t 时，13.14.9 t的极限值就是运动员在2ts时的瞬时速度，引入极限符号，表示为：0(2)(2)lim13.1ththt .小结：探究高台跳水运动员在2ts时的瞬时速度的过程，我
8、们做了五项工作：设计方案、多角度探究、观察分析、发现规律、准确表达.在这里我们引入了“极限”符号，实现了准确表达.（三（三）准确表达准确表达，明确明确平均速度与瞬时速度平均速度与瞬时速度之间的关系之间的关系如果我们从2ts这一具体时刻抽象为一般时刻0t,如何表达运动员在时刻的瞬时速度呢?将0t代替 2，可类比得到运动员在某个时刻0t的瞬时速度：tthttht)()(lim000（四（四）抽象概括抽象概括，形成函数在某一点处的导形成函数在某一点处的导数概念数概念将不同情境下的函数值增量与自变量增量比值中的函数都用( )f x来表示，我们称00(+)()f xxf xyxx为函数( )yf x从0
9、 x到0+xx的平均变化率平均变化率， 当0 x 时，0limxyx 为函数的瞬时变化率瞬时变化率.将不同情境下的平均变化率问题中的函数都用( )f x来表示，得出函数)(xfy 在0 xx 处的瞬时变化率xxfxxfxyxx)()(limlim0000即)(xfy 在0 xx 处的导数，记作：动员的平均速度， 通过动手计算， 培养学生分析， 比较和推理能力.从特殊点2t上升到任意点0tt 瞬时速度的表示， 从数量与数量关系， 从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征， 发展学生的数学抽象素养.理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心， 让学生
10、动手操作，收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识， 培养学生的数据分析素养，突出重点，突破难点.00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx ，(也可记为0|xxy)（五（五）具体抽象到一般具体抽象到一般，形成函数的导数概形成函数的导数概念念当0 xx时，0fx是一个确定的数， 当0 x变化时，0fx随着变化吗？0fx随着0 x的变化而变化， 形成了函数)(xfy 的导函数 fx， 简称导数.将0 x代换为x得到：00()( )( )limlimxxyf xxf xfxxx ，即)(xfy 的导函数为( )fx.例题（一（一）理解概念理解概念，应用概念
11、求函数在某一点应用概念求函数在某一点处的导数处的导数例例 1 1 求函数xxy22在2x处的导数.解：00( 2)( 2)( 2)limlimxxyfxffxx 220200( 2) +22)( 2)4lim4()2limlim( 2)2xxxxxxxxxxx （小结：求函数)(xfy 在0 xx 处的导数的一般步骤：做差、做比、求极限，1. 求增量（函数值增量y与相应自变量的增量x） ，学生类比求函数)(xfy 在0 xx 处的导数的一般步骤：作差、 作比、 求极限，让学生动笔计算， 为推导常用函数导数公式做好铺垫.2. 求比值（yx） ，3. 求极限0limxyx .（二）理解概念，应用概
12、念求函数的导数（二）理解概念，应用概念求函数的导数例例 2 2 求函数2( )f xx的导数解:2200()( )()( )limlimxxf xxf xxxxfxxx 222002()limlim(2)2xxxx xxxxxxx 总结1.本节课你学到了什么？平均变化率、瞬时变化率、导数的概念；2.你是如何获得这些知识的？从特殊到一般，从具体到抽象；3.通过本节课的学习，谈谈你的体会.我们学到了研究问题的步骤：提出问题、提出想法、确定方法、实施操作、发现规律.在此过程中体会了无限逼近的数学思想.这是一个重组知识的过程， 是一个多维整合的过程， 是一个高层次的自我熟悉过程. 让学生通过小结，反思学习过程， 加深对导数的产生背景和形成过程的印象， 从而深刻理解导数概念及其内涵； 领会研究问题的方法； 明确研究问题的步骤.作业求函数( )f xc和( )f xx的导数解:因为()( )0yf xxf xccxxx，所以00liml m 00.ixxyyx . .因为()( )1yf xxf xxxxxxx ，所以00limlim1 1.xxyyx
