1、教教 案案教学基本信息课题复数的概念和几何意义学科数学学段：高中年级高二教材书名：数学-选修 2-2(B 版)出版社：人民教育出版社 出版日期：2007 年 4 月教学设计参与人员姓名单位设计者侯彬北京市第四中学实施者侯彬北京市第四中学指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点1.主要内容：数系的扩充，复数的定义、分类，复数的相等关系，复数的几何意义2.主要方法与能力：类比的数学方法3.教学重点是复数的概念以及实部和虚部的概念4.教学难点是确定复数的实部与虚部教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入回顾一下数系的扩充过程：自然数整数有理数实数.数系需要进行扩充， 既有实际需
2、要， 也有数学上的需要，也就是解决方程有解的问题，而在实数范围内，方程21x 无解，为此，需要将实数集进行扩充.新课为了使方程21x 有解， 规定i的平方等于1， 也就是说2i1 ，称i为虚数单位.虚数单位i可以与实数进行四则运算，并且保持原来的运算律成立.定义形如iab（a，bR）的数为复数，其中a称为复数z的实部，b称为复数z的虚部.所有复数的集合称为复数集，用符号C表示.根据复数的实部与虚部的不同情形，将复数izab（a，bR）作如下分类：1.0b 时，z为实数；2.0b 时，z为虚数；3.0a 且0b 时，z为纯虚数.实数集是复数集的真子集.定义： 复数1izab，2izcd（a，b，
3、c，dR） ，则12zzac且bd.注意：两个实数可以比较大小；两个复数，如果不全是实数，它们之间不能比较大小.每一个实数与数轴上的点一一对应，复数有没有类似的几何意义？izab（a，bR）有序实数对( , )a b点( , )Z a b向量( , )OZa b .建立了平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.复平面内，x轴上的点对应的复数都是实数，称x轴为实轴.y轴上的点除原点外对应的都是纯虚数.为了方便，称y轴为虚轴.借助向量来描述复数，向量( , )OZa b 的大小称为复数izab（a，bR）的模，记作|i|ab.根据向量的模的计算公式，22|i|abab.例题例 1 指出下列复数的
4、实部和虚部：（1）2i； （2）3 i ； （3）i；（4）2i； （5）； （6）0.解： （1）2i的实部是 2，虚部是1；（2）3i 的实部是3，虚部是1；（3）i的实部是 0，虚部是1；（4）2i的实部是 0，虚部是2；（5）的实部是 2，虚部是1；（6）0的实部是 0，虚部是 0.例 2 指出下列复数中的虚数与纯虚数：（1）2i； （2）3 i ； （3）i；（4）2i； （5）； （6）0.解：虚数有2i，3 i ，i，2i；纯虚数有i，2i.例 3 分别求实数x的取值，使得复数(2)(3)izxx（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.解： （1）当30 x，即3x 时，
5、z是实数；（2）当30 x，即3x 时，z是虚数；（3）当20 x且30 x，即2x 时，z是纯虚数.例 4 分别求满足下列关系的实数的x与y的值.（1）(2 )i6()ixyxxy ；（2）(1)(2)i0 xyy；（3）2()ixyxy.解： （1）根据复数相等的定义，26,1,xyxy 解得23x ，53y .（2）根据复数相等的定义，26,1,xyxy 解得3x ，2y .（3）根据复数相等的定义，20,0,xyxy解得1x ，1y .例 5 在复平面内， 作出表示下列复数的点和向量， 并求它们的模：（1）3i；（2）3i；（3）3 i；（4）2i；（5）2i；（6）4.解：22|3i
6、|(3)12 ；22|3i|3110 ；22|3i|3( 1)10 ；22|2i|022；22| 2i|0( 2)2 ；22|3i|(3)12 ；例 6 设复数z满足| 2z ， 那么复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形？解：以原点为圆心，2 为半径的圆.总结1. 希望同学们理解数系的扩充过程，从自然数到整数，到有理数，到实数，再到今天学习的复数.2. 掌握复数的定义，虚数单位i满足2i1 ，特别重要的是复数的实部和虚部的概念，根据复数的实部与虚部的不同情况，将复数划分为实数与虚数，特殊的虚数是纯虚数。此外，需要掌握复数相等关系的定义。3. 掌握复数的几何意义，在复数iab与点( , )
7、Z a b与向量( , )OZa b 之间存在一一对应关系，理解复平面、实轴、虚轴的概念，掌握复数的模与共轭复数的概念.作业1. 说出下列各数中， 哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？并写出下列各数的实部和虚部：（1）32i ； （2）i； （3）2i；落实本节课学习内容（4）(13)i； （5）8； （6）32i.2. 当实数x取何值时，复数22(2)(32)izxxxx是实数？是虚数？是纯虚数？3. 求适合下列等式的实数x和y的值：（1）(2 )(23 )i33ixyxy；（2）33(3)ixyxy.4. 写出下列复数的共轭复数：（1）25i；32i ； （3）4i； （4）2.5. 在复平面内画出表示下列复数的点和向量， 并求它们的模：（1）43i； （2）2i3； （3）13i22； （4）2.
