1、教 案教学基本信息课题弧度制及其与角度制的换算学科数学学段： 高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第三册 B 版出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 7 月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者邱冠男北京市师达中学实施者邱冠男北京市师达中学指导者李大永北京市海淀区教师进修学校课件制作者邱冠男北京市师达中学其他参与者教学目标及教学重点、难点本节课设置生活实例情境，回顾初中角的度量单位，引入弧度制，进行弧度与角度的互化，体会到引入弧度制的必要性；掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.培养数学抽象核心素养、数学运算核心素养.体会数形结合，类比的数学思想方法，培养发现、提出问题，分析问
2、题，解决问题的能力.共设计三道例题.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们，请观察这几幅动画，这些机械部件在做着旋转运动，上一节课，我们用运动变化的观点将角进行了推广，这节课，我们将继续学习用数学的眼光看旋转，用数学语言描述旋转.通过将生活、生产中的实例引入课题，使学生体会数学来源于生活，激发学生学习兴趣.新课观察这幅动画，回答问题问题 1.大齿轮旋转一周，旋转的角度是多少？大齿轮旋转三分之一周，旋转的角是多少？温故而知新，通过复习初中所学的角度制的概念，培养学生将实际问题抽象为数学问题，抽象概括的能力.360，3601203.问题 2.同学们对“角度制”有哪些认识呢？以度
3、，分，秒为单位的角的度量制叫作角度制.1：把圆周等分成 360 份，其中每一份所对应的圆心角为 1 度.问题 3.当大齿轮旋转一周时， 一个小齿轮旋转的角度是多少？这两条弧有什么关系？小齿轮旋转的角是与小齿轮旋转形成的弧长和小齿轮的周长有关的,也就是与22Rr有关.有怎么的关系呢？如果*=,()R kr kN，那么小齿轮旋转的角是*2()2Rk krN也就是整数k周；如果大圆的半径R不是小圆半径r的整数倍，*2()2Rml mrN，余出的这部分弧长l对应的圆心角是多少呢？初中学过弧长公式：如果圆心角记为n，则弧长2=360rl n，那么是不是可以用弧长（长度）来度量角呢？弧长与角是否满足一一对
4、应的关系呢？问题 4.两个不同的圆，同时旋转120，比较弧长的关系.大圆所对的弧长大，小圆所对的弧长小，即半径大，弧长大;半径小，弧长小.弧长，与圆心角、半径有怎样的数量关系？22=120=3603ABRRl，22=120=3603A Brrl，培养学生能够用数学点的眼光看旋转，用数学语言描述旋转.根据生产、生活中的实际问题抽象成了数学问题，根据实际需要，使学生理解弧度制产生的科学性.用数学的眼光观察，发现问题，进而分析问题，用数学的方法解决问题.培养学生发现问题，提出问题的能力.得到23ABlR，23ABlr.可以得到什么猜想？提出猜想：同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.
5、问题 5.思考还可以用什么来度量角呢？问题 6.120与23有什么关系？确定同一个角.问题 7.证明猜想：同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.设圆心角n，弧长为l，半径为r，由弧长公式可得2=360rl n，我们将等式的左右两边同时除以半径r，得到2=360lnr.问题 8.n与2360rn有什么关系？确定同一个角.回头看刚刚的问题 5.问题 5.请同学们根据这个猜想， 思考还可以用什么来度量角呢？这样我们就发明了一种新的制度来度量角弧度制.弧度数：称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.1 弧度:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1弧度的角.（如图，因为弧AB的长等于
6、半径r，所以AB所对的圆心角AOB就是 1 弧度的角.）单位:rad，读作弧度.这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.用弧度制表示角时， “弧度”二字（或rad）可以省略不写，只写这个角对应的弧度数.例如：2表示是 2rad的角；sin3的含义是什么？sin3表示的3rad的角的正弦.半径为r，弧长为l所对的圆心角为rad，则有特殊到一般，归纳得到猜想，进而证明猜想，培养分析问题，解决问题的能力.lr问题 9.如果圆心角是负角，如何表示？.lr问题 1.大齿轮旋转一周，旋转的角度是多少？用角度制来度量大齿轮旋转一周，旋转的角度是360.如何用弧度制表示呢?22RR.问题 10.弧度制与角度
7、制如何换算呢？360 =2rad，因此180 = rad得1 =180rad1rad180=问题 1 中大齿轮旋转三分之一周，产生的角是多少？角度制是120，弧度制下的角是多少呢？2120 =1201803.学生亲历研究弧度制的产生过程，体会其科学性、合理性.例题例 1.把30,60,45化成弧度（用表示） ，并在平面直角坐标系中作出他们的终边.分析：180 = ，1 =180,30 = 301806，45 = 451804，60 = 601803，将三个角的点与坐标原点重合，始边为x轴的正能够熟练的进行弧度制和角度制的换算，培养数学运算的核心素养.我们可以通过平面直角坐标系中角的终边的位置，
8、更加直观的了解 1弧度的角的大小.半轴，三个角都是正角，那么分别逆时针方向旋转6， 得到6对应的角的终边为图中的射线OA，逆时针方向旋转4，得到4对应的角的终边为图中的射线OB，逆时针方向旋转3，得到3对应的角的终边为图中的射线OC。练习.用弧度制写出与4终边相同的角的集合S.分析：2 ,4Sk k Z例 2.把85化成角度数，并指出它所在的现象.分 析 ：180 = ，1rad180=， 所 以88 180=28855.第四现象.例 3.利用弧度制推导扇形的面积公式S.lrlr当圆心角为rad时，所对的扇形面积就是221=22rSr，由lr代入上式，可以得到1=2Slr.这样我们就得到了扇形
9、的面积公式1=2Slr.总结首先我们在将生产、生活中的实际问题抽象成数学问题的过程中，通过不断的发现问题（可以用弧长度量角吗？）到提出问题（是否可以用弧长与半径的比值度量角）经过分析问题（将弧长和半径的比值和角的建立了一一对应关系）最后解决问题（发明了弧度制） ，我们在这个过程中进行发现和探究，体会弧度定义的科学性和合理性， 弧度制的本质是用长度来度量角.通过弧度制与角度制的换算体会数学运算的重要性.回顾研究弧度制的过程，使学生更好的理解弧度制产生的科学性与合理性.培养学生发现问题，提出问题，进而分析问题，解决问题的能力.作业1.把下列各角度化为弧度（用含有的代数式表示）.(1)240(2) 12(3) 22 302.把下列各弧度化成角度.5(1)3(2)83(3)23.在半径为5cm的扇形中，圆心角为2rad，求扇形的面积.能够熟练的进行弧度制和角度制的换算，培养数学运算的核心素养.
