1、教教 案案教学基本信息课题10.2 事件的相互独立性学科数学学段：高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册（A 版）出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年年6月教学设计参与人员姓名单位联系方式设计者王志霞北京市第十中学实施者王志霞北京市第十中学指导者康舒真王翯北京市教育学院丰台分院北京市第十中学课件制作者王志霞北京市第十中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1.结合有限样本空间,了解两个随机事件相互独立的含义； 结合古典概型,利用事件的独立性计算概率；2.经历事件的相互独立性从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程,提高数学抽象能力、推理论证能力,提升数学抽象素养和逻辑推
2、理素养.3.在知识的探究过程中,体会概率思想,提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心.教学重点：两个事件相互独立的定义.教学难点：两个事件相互独立的定义.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入复习回顾：前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质,还研究过和事件的概率计算方法.我们先来回顾下面四个问题：1.一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球， 其中 2 个红色球（标号为 1 和 2） ，1 个绿色球（标号为 3） ，1 个黄色球（标号为 4） ，从袋中随机摸出 1 个球.设事件A=“摸到红球” ，B=“摸到绿球” ，C=“摸到绿球或黄球” ，事件A与事件B， 事件A与事件C之
3、间各有什么关系？复习互斥事件、对立事件概率性质、和事件概率计算的方法,为后面计算复杂事件的概率做铺垫,引出本节课课题.师师：试验的样本空间为= 1,2,3,4，1,2A， 3B ，3,4C 因为AB ,所以事件A与事件B互斥；因为,ACAC ,所以事件A与事件C对立.2.如果事件A与事件B互斥,和事件AB的概率与事件A,B的概率之间具有怎样的关系？()( )( )P ABP AP B3.设A,B是一个随机试验中的两个事件,和事件AB的概率与事件A,B的概率之间具有怎样的关系？()( )( )()P ABP AP BP AB4.设事件A与事件B互为对立事件,它们的概率有什么关系？( )1( )P
4、 BP A ,( )1( )P AP B 我们知道,积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此,积事件AB发生的概率一定与事件A,B发生的概率有关.本节课,我们来讨论与积事件的概率计算有关的问题.新课（一）事件A与事件B相互独立的定义试验试验 1： 甲、 乙两个袋子中各装有大小和质地相同的4 个球，甲袋中有 2 个红色球（标号 1 和 2） ，2 个绿色球（标号 3 和 4） ，乙袋中有 1 个红色球（标号 1） ，3 个绿色球（标号 2、3 和 4）.从甲乙两袋中各随机摸出一个球.设A=“甲袋摸到红色球”,B=“乙袋摸到红色球”.问题问题 1：你觉得事件A发生会影响事件B发生的概率吗？如果事
5、件A不发生,会影响事件B发生的概率吗？师师： 显然,对于试验 1,因为从两个袋子分别摸球,甲袋摸球的结果与乙袋摸球的结果互相不受影响,所以事件A发生与否都不会影响事件B发生的概率.对于试验 2:因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响,所以事件A发生与否都不会影响事件B发生的概率.问题问题 2：计算试验 1 中的( ), ( ), ()P A P B P AB,你有什么选择两个符合独立性直观意义的试验,促进学生感悟事件的独立性.让学生探索两个试验中事件A,B之间关系的共同数学本质属性()= ( )( )P ABP A P B在此基础上,给出两个事件相互独立的数学定义.发
6、现？师师：因为,样本空间= ( , ),1,2,3,4m n m n,()=16n(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)A,( )=8n A(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)B ,( )=4n B(1,1),(2,1)AB ,()=2n AB所以( )1( )=()2n AP An,( )1( )=()4n BP Bn,()1()=()8n ABP ABn,于是有()= ( )( )P ABP A P B积事件AB的概率()P AB等于( )P A,( )P B的乘积.试验试验 2：一个袋子中装有标号分别是 1,2,3,4 的
7、 4 个球,除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于 3”,B=“第二次摸到球的标号小于 3”.问题问题 1：你觉得事件A发生会影响事件B发生的概率吗？如果事件A不发生,会影响事件B发生的概率吗？师师：因为是有放回摸球,第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响,所以事件A发生与否都不会影响事件B发生的概率.问题问题 2：计算试验 2 中的( ), ( ), ()P A P B P AB,你有什么发现？师：因为样本空间= ( , ),1,2,3,4m n m n,()=16n(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,
8、2),(2,3),(2,4)A,( )=8n A(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)B ,( )=8n B(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)AB ,()=4n AB所以( )1( )=()2n AP An,( )1( )=()2n BP Bn,()1()=()4n ABP ABn,于是也有()= ( )( )P ABP A P B积事件AB的概率()P AB也等于( )P A,( )P B的乘积.小结小结：这两个随机试验都满足这两个随机试验都满足：事件事件A和和B同时发生的同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积概率是它们各自
9、发生概率的乘积.对上述两个试验的共对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括同属性进一步抽象概括,我们引入这种事件关系的一般我们引入这种事件关系的一般定义定义：对任意两个事件对任意两个事件A和和B,如果如果()= ( )( )P ABP A P B成立成立,则称事件则称事件A和事件和事件B相互独立相互独立,简称为独立简称为独立.思考思考：必然事件与任意一个随机事件是否相互独立？不可能事件与任意一个随机事件是否相互独立？师师： 因为必然事件总会发生,不会受任何事件是否发生的影响；不可能事件总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响,并且它们也不影响其他事件是否发生,所以必然事件与任意一个随机事件独立,
10、不可能事件与任意一个随机事件独立.例题例题： 一个袋子中有标号分别为 1,2,3,4 的 4 个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸到球的标号小于 3”,事件B=“第二次摸到球的标号小于 3”,那么事件A与事件B是否相互独立？解解：因为= ( , ),1,2,3,4m n m nmn，且,()=12n根据定义判断事件的相互独立性,进一步讨论特殊事件与任意一个随机事件之间的相互独立性,以使知识完整化、系统化.会判断给定的两个事件是否独立,体会用定义判断事件的相互独立性.(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)A,( )=6n
11、 A(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)B ,( )=6n B(1,2),(2,1)AB ,()=2n AB所以( )1( )=()2n AP An,( )1( )=()2n BP Bn,()1()=()6n ABP ABn此时()( ) ( )P ABP A P B,因此事件A与事件B不独立.小结小结：判断两个事件是否独立要依据事件相互独立的定义.例题例题： 天气预报元旦假期甲地的降雨概率是 0.2,乙地的降雨概率是 0.3,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内：甲、乙两地都降雨的概率.解：设A “元旦假期甲地降雨” ，B “元旦假
12、期乙地降雨” ，则AB “元旦假期甲、乙两地都降雨” ，由题意知，A与B相互独立，所以()( ) ( )0.2 0.30.06P ABP A P B即在这段时间内甲、乙两地都降雨的概率为 0.06.小结小结：根据事件的相互独立性，可以计算积事件发生的概率（二）探究事件A与事件B相互独立的性质问题问题 3：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立,那么它们的对立事件是否也相互独立？以问题 1 的有放回摸球试验为例,分别验证A与B,A与B,A与B是否独立,你有什么发现？师：师：对于事件A与B因为AABAB,而且AB与AB互斥,所以( )()()()( ) ( )()P
13、 AP AB ABP ABP ABP AP BP AB会利用事件的相互独立性计算概率；类比事件A和事件B相互独立的问题,得出与事件A,B相互独立彼此等价的三条性质.这里提出新的问题,既是知识的自认延伸,又体现了一种提出问题、发现问题的思考方式.所以()=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)=P(A)P( )P ABB由事件的独立性定义,A与B相互独立.类似地,可以证明事件A与B,A与B,也都相互独立.结论结论：如果事件如果事件A与事件与事件B相互独立相互独立，则则A与与B相互独相互独立立,A与与B,A与与B,也都相互独立也都相互独立.这是事件的独立性的这是事件的独立性的一个性质一
14、个性质.例题例题：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为 0.8,乙的中靶概率为 0.9,求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.分析分析：设A “甲中靶”,B “乙中靶”,则A=“甲脱靶”,B=“乙脱靶” 。从要求的概率可知,需要先分别求A,B的对立事件A,B的概率,并利用A,B,A,B构建相应的事件,我们可以借助树状图来完成这个任务.由此得到,“两人都中靶”=AB,“恰好有一人中靶”ABAB,“两人都脱靶”AB,“至少有一人中靶”ABABAB,显然ABABAB与AB互为对立事件.解解： 设A “甲中靶” ,B “乙中靶”
15、,则A= “甲脱靶” ,B=“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与B,A与B,A与B都相互独立.利用事件独立的性质,计算较复杂事件的概率.由已知可得,( )0.8P A ,( )0.9P B ,( )0.2P A ,( )0.1P B （1）AB “两人都中靶”,由事件独立性定义,得()( ) ( )0.8 0.90.72P ABP A P B（2） “恰好有一人中靶”ABAB,且AB与AB互斥,根据概率的加法公式和事件独立性定义,得()()()( ) ( )( ) ( )0.8 0.1 0.2 0.90.26P ABABP ABP ABP A P BP A P B
16、（3）事件“两人都脱靶”AB,所以()( ) ( )0.2 0.10.02P ABP A P B（4）方法方法 1：事件“至少有一人中靶”ABABAB,且AB,AB与AB两两互斥,所以()()()()()()0.720.260.98P ABABABP ABP ABP ABP ABP ABAB方法方法 2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”,根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为1()1 0.020.98P AB 小结：求复杂事件的概率时我们首先要分析清楚随机试小结：求复杂事件的概率时我们首先要分析清楚随机试验的基本事件，分析基本事件时可以借助树状图，使得验的基本
17、事件，分析基本事件时可以借助树状图，使得分析更有条理分析更有条理，然后用基本事件表示复杂事件然后用基本事件表示复杂事件,再根据事再根据事件独立的性质件独立的性质,计算较复杂事件的概率计算较复杂事件的概率.例题例题例题：甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为34,乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率.分析分析：两轮活动猜对 3 个成语,相当于事件“甲猜对 1 个,乙猜对 2 个” 、事件“甲猜对 2 个,乙猜对 1 个”的和事件发生.设iA表示事件“甲在两
18、轮中猜对i个成语” ；iB表示事件 “乙在两轮中猜对i个成语”(0,1,2)i ；iA与iB独立；解题的关键是分别求出()iP A和()iP B,我们可以借助表格来表示这个随机试验.第一轮第二轮猜对个数概率猜对猜对2339=4416猜错1313=4416猜错猜对1133=4416猜错0111=441601()=16P A,13()=8P A,29()=16P A同理可得,01()=9P B,14()=9P B,24()=9P B解：解：设1A,2A分别表示甲两轮猜对 1 个,2 个成语的事件,1B,2B分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立性假定,得1313()=2=448P A,2
19、239()=() =416P A1214()=2=339P B,2224()=( ) =39P B设=A“两轮活动星队猜对 3 个成语”,则1221AABA B,且12AB与21A B互斥,1A与2B,2A与1B分别相互独立,所以让学生综合利用事件的互斥关系的性质与事件的独立性计算两个事件积的概率,同时培养学生良好的思考习惯.12211221( )()()() ()() ()349458916912P AP ABP A BP A P BP A P B因此,“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率是512.小结小结：遇到比较复杂的概率问题，我们首先要分析清楚：遇到比较复杂的概率问题，我们首先要
20、分析清楚随机试验的基本事件，并且基本事件的分析要做到不重随机试验的基本事件，并且基本事件的分析要做到不重不漏，然后用基本事件表示复杂事件，分析清楚事件之不漏，然后用基本事件表示复杂事件，分析清楚事件之间的关系，再利用事件的互斥关系或独立关系的性质计间的关系，再利用事件的互斥关系或独立关系的性质计算概率算概率.总结知识总结知识总结：事件的相互独立性事件的相互独立性1.定义定义：对任意两个事件对任意两个事件A和和B,如果如果()= ( )( )P ABP A P B成立成立,则称事件则称事件A和事件和事件B相互独立相互独立,简称为独立简称为独立2.性质性质：如果事件如果事件A与事件与事件B相互独立
21、相互独立，则则A与与B相互相互独立独立,事件事件A与与B,A与与B,也都相互独立也都相互独立.这是事件的独这是事件的独立性的一个性质立性的一个性质.总结本课知识内容作业1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A “第 1 枚正面朝上”,事件B “第 2 枚正面朝上”,事件C “2 枚硬币朝上的面相同”,A,B,C中哪两个相互独立？2.设样本空间=, , ,a b c d含有等可能的样本点,且,Aa bBa cCa d请验证A,B,C三个事件两两独立,但()( ) ( ) ( )P ABCP A P B P C.3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是 0.2,乙地的降雨概率是 0.3,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都不降雨的概率；（2）至少一个地方降雨的概率.巩固本课所学知识4.证明必然事件和不可能事件与任意事件相互独立
