1、教教 案案教学基本信息课题三角恒等变换的应用（第一课时）学科数学学段： 高中年级高一教材书名:普通高中教科书数学必修第三册出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 7 月姓名单位设计者罗建荣北京市房山区实验中学实施者罗建荣北京市房山区实验中学指导者刘雪明北京市房山区教师进修学校课件制作者罗建荣北京市房山区实验中学其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：了解半角的正弦、余弦和正切公式的推导过程，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式.通过公式的推导，了解它们之间，以及它们与倍角公式之间的内在联系，还有角与角之间的转化关系，培养学生的逻辑推理能力.教学重点、难点：半角
2、的正弦、余弦和正切公式的推导.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入温故知新：请同学们开动脑筋，至少用两种办法计算sin15.复习角变换及和 （差）角公式、 二倍角公式.新课探究新知：1.二倍角余弦公式的变形.2cos21 2sin 21 cos2sin21 cos2sin2 （根号前的正负号，由所在象限确定.）2cos22cos121cos2cos21 cos2cos2 由二倍角的余弦公式变形开始,便于感受公式间的联系.（根号前的正负号，由所在象限确定.）2.降幂公式21 cos2sin2，21cos2cos2观察这两个等式左边是二次，右边是一次式，此公式起到降次的作用，因此把
3、这两个公式称为降幂公式.3. 半角公式观察1 cos2sin2 1 cos2cos2 这两个等式的左边角是右边角2的一半，为了更好的体现一半的关系，我们将左侧角记作2，右侧角记作，这里蕴含着换元的思想.由1 cos2sin2 得到1 cossin22 其中根号前的正负号，由2所在象限确定.由1 cos2cos2 得到1 coscos22 由同角的正弦与余弦之比可求该角的正切，因此1 costan21 cos 小结：半角的正弦、余弦和正切公式都可以用单角的余弦来表示。如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；若给出角的具体范围，则先求出2所在范围，然后根据2所在范围确定符号.给出降
4、幂公式的名称,便于与二倍角余弦区分.感受换元思想明确正负号的判断方法.例题例 1已知1cos3，且322，试求sin2和cos2的值.巩固半角公式解：322因为，342所以， 即2在第二象限，因此sin02，cos02111 cos33sin2223111cos63cos2223 例 2求证：（1）sintan1cos2（2）1 costansin2证明： （1）法一：左推右22sincossin221 cos1 (2cos1)222sincos22tan22cos2法二：右推左tan2sin2cos22cossin222coscos22sin1 cos证明： （2）221 (1 2sin)2
5、sin1 cos22tansin22sincos2sincos2222例 3已知等腰三角形的顶角的余弦等于725，求这个三角形的一个底角的正弦、余弦和正切.分析：解题前首先要寻找已知中所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.由ABC及BC可知222AAB规范书写过程巩固降幂公式和证明题的思路.巩固二倍角公式的正用和逆用.多角度思考问题.指导审题.解： 设等腰三角形的顶角为A， 底角为锐角分别为B，C，则7cos25Asin0,cos0,tan0BBB由ABC，及BC可知222AAB1 cos4sinsin()cos22225AAAB1 cos3coscos()sin22225AA
6、AB当然在知道sinB的情况下，可以根据同角三角函数关系得到2243cos1 sin1 ( )55BBsin4tancos3BBB例 4求函数23( )sin2sin2f xxx的周期。提问：三角函数周期的计算前提是什么？（化成一个角的一个三角函数的一次式。 ）提问：辅助角公式是哪个公式的逆用？解23( )sin2sin2f xxx31 cos2sin222xx1sin2 coscos2 sin662xx1sin(2)62x所以函数的周期是.巩固诱导公式和半角公式.多种方法完成问题.巩固降幂公式和辅助角公式及正弦型函数周期.总结通过本节课的学习，同学们知道了半角的正弦、余弦和正切公式的推导过程，通过公式的推导，了解了它们之间以及它们与倍角公式之间的内在联系，还有角与角之间的转化关系，因此进行三角恒等变换时，常常要先寻明确角之间的关系决定公式的选择.找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式，这是三角恒等变换的一个重要特点.作业1. 用半角公式求出cos,tan1212的值.2. 求函数2( )12sinsin2f xxx 的周期和最大值.巩固降幂公式、半角公式.
