1、教教 案案 教学基本信息 课题 正弦定理（第二课时） 学科 数学 学段：高中 年级 高一 教材 书名：数学必修第四册 出版社：人民教教育出版社 出版日期：2019 年 7 月 教学设计参与人员 姓名 单位 设计者 董武 北京市昌平区第一中学 实施者 董武 北京市昌平区第一中学 指导者 高丽娟 北京市昌平区教师进修学校 课件制作者 董武 北京市昌平区第一中学 其他参与者 教学目标及教学重点、难点 教学目标 已知三角形的两边和一边对角运算条件下，通过运用正弦定理确定三角形的个数，让学生进一步理解正弦定理的作用，体会方程的思想，发展几何直观，及数学运算的素养 利用正弦定理判定三角形的形状，证明三角形
2、内角平分线定理，发展学生逻辑推理的数学素养 探究正弦定理中比值的含义，体会由特殊到一般、转化与化归、数形结合的思想，发展数学抽象，几何直观，及数学运算的素养 教学重点：正弦定理在平面几何证明中的应用 教学难点：已知三角形两边及其一边对角条件下，利用正弦定理确定满足条件的三角形个数；正弦定理中比值的含义 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 复习回顾 构建模型 问题问题 1 1： 请回顾、梳理正弦定理第一课时的内容 通过复习， 进一步理解解三角形的概念，理解正弦定理的实质，及典型应用， 初步构建 解三角形模型 探究反思 模型应用 问题问题 2 2： 已知三角形的两边及其一边对角
3、时，如何判断三角形解的存在性？ 例 1 判断满足条件30A，1a ，4c的ABC中是否存在，并说明理由 分析问题：引导学生从运算条件，运算结果，运算法则及运算思路上阅读数学问题 解：假设满足条件的三角形存在，则在ABC中， 由正弦定理，得sinsinacAC， 即sin4sin30sin21cACa 又因为sin1C，与三角函数值矛盾，所以不存在这样的三角形 反思： 这种情况与我们初中所学“角角边” “角边角”为三角形全等判定条件，而“边边角”不能做为三角形全等判定相符合 对于这个结果，我们还可以进一步思考：已知三角形中两边及其一边对角时满足条件的三角形是否可能不存 回顾本题的解答过程，我们发
4、现，本题中满足条件的三角形不存在， 是因为在边边角条件下构造的三角方程无解 在？如何直观判断三角形解的存在性呢？ 发现、提出问题发现、提出问题 1 1： “已知边 a，c，且 A 为锐角，如何直观判断满足条件的 ABC 是否存在 ” 代数角度分析： 假设满足条件的 ABC 存在，由正弦定理， sinsinacAC ，得sinsincACa， 所以当sincAa时，方程无解，三角形不存在； 当sincAa时，方程有解，请思考，此时满足条件的 ABC 是否存在？ 几何角度分析，如下图 满足条件的三角形存在，就转化为以 B 为圆心，半径为 a 的圆弧与角 A 的一边 AD 有公共点（不含顶点 A）
5、分析：A为直角或钝角，请自主作图讨论 问题问题 3 3： 如何利用正弦定理判定三角形的形状 例 2 在ABC中，已知222sinsinsinABC，求证：ABC是直角三角形 分析问题：引导学生从证明条件，证明结果，基本定理及证明思路上阅读数学问题 由特殊到一般， 因此，我们可以继续思考， 满足例 1 中一般条件下的三角形的解的存在性 通过讨论， 使同学们进一步理解正弦定理的代数解释与几何直观 解：在ABC中，设 sinsinsinabckABC，则0k， 且sinaAk，sinbBk，sincCk 又因为222sinsinsinABC，所以 222222abckkk，即222abc， 因此由勾
6、股定理的逆定理可知ABC是直角三角形 发现、提出问题发现、提出问题 2 2： 正弦定理的应用：引入参数，边角互换 (2) 正弦定理中，参数的几何直观 如图 在ABC中，各边的大小与对角正弦的比值为ABC的外接圆的直径 问题问题 4 4： 如何利用正弦定理研究三角形中的几何证明 例 3 如图，在ABC中，已知角BAC的角平分线AD与BC相交于点D，求证：BDABDCAC 证明方向：利用正弦定理表示两条线段的比值 证明：如图，设ADB，BAD，则由题意可知ADC，CAD 在ABD中，由正弦定理，可得sinsinBDAB 在ADC中，由正弦定理，可得 通过本题的解决，让学生体会， 解决此类问题， 需
7、要结合题目本身的条件，化边为角，或化角为边， 即证明的基本方法为边角互换 引导学生体会正弦定理比值的几何意义 引导学生在三角形中找到有关线段， 其次分析这两个三角形的边角关系比，最后，由 正 弦 定 理 给 出 证明 体会正弦定理与三角形相似的性质定理sinsin()sinDCACAC 两式相除，可得BDABDCAC 解题反思： 关注正弦定理的变形，基于正弦定理的三角形的选择 的区别 复习回顾 反思总结 问题问题 5 5： 我们共同回顾、梳理本节课的主要知识结构 通过回顾梳理本节知识结构， 让学生掌握正弦定理的四种典型应用， 构建较完整的解三角形模型， 体会由特殊到一般思想， 分类与整合思想，方程思想；整体感受发现问题， 提出问题是一种重要学习方法 作业 问题问题 6 6： 请同学们完成下面的作业 在ABC中，已知1a ，3b ，2A CB，求sinC 在ABC中，已知coscosaAbB，用正弦定理判断这个三角形的形状 如果在ABC中，角A的外角平分线AD与BC的延长线交于点D，求证：BDABDCAC 通过作业， 让学生进一步体会， 已知三角形的两边和一边对角条件下解三角形时， 正弦定理的代数解释以及几何直观， 体会应用正弦定理解决平面几何中三角形相关问题的重要策略， 即边角互换
