1、第五章第五章二元一次方程组二元一次方程组5.5. 应用二元一次方程组应用二元一次方程组里程碑上的数里程碑上的数【教学目标】1.知识目标1）用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。2）归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。2.能力目标让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。3.情感目标在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。【教学重点】用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列
2、方程组解决实际问题的步骤。【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。【教学过程】第一环节第一环节课前热身课前热身1.一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数可表示为：10.2.一个三位数，若百位数字为，十位数字为，个位数字为，则这个三位数可表示为：10010.3.一个两位数，十位数字为，个位数字为，若在这两位数中间加一个，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：100.4.已知是一个两位数，是一个三位数。若把放在的左边，得到一个五位数，则这个五位数可表示为： 1000.第二环节第二环节情境引入情境引入（学生表演，情景展示）有一对父子，他们的年龄都是一个两位数。下面是父子两人对
3、话：爸爸说: “咱俩的年龄之和才 68 岁，爸爸还是很年轻的！ ”儿子说:“若把你的年龄写在我的年龄的左边，得到一个四位数；若把你的年龄写在我的年龄的右边，同样得到一个四位数。 ”爸爸说:“如果这样的话，前一个四位数会比后一个四位数大 2178，这样看来爸爸已经很老了！ ”聪明的同学们，听完他们的对话，你认为爸爸是很年轻还是很老呢？你能求出这对父子的年龄吗？【分析】列方程（组）解应用题的关键是找等量关系。本题有两个等量关系：1.（父亲年龄）+（儿子年龄）= 682.（前一个四位数）-（后一个四位数）= 2178解：设爸爸年龄为 x 岁，儿子年龄为 y 岁，根据题意得：xy68（100 x+y）
4、（100y+x） 2178整理得：xy 68解方程组得：x = 45x-y 22y = 23答：爸爸的年龄为 45 岁，儿子的年龄为 23 岁。第三环节第三环节学以致用学以致用一个两位数， 它的十位数字与个位数字的和为 7.如果将这个两位数的十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数比原两位数小 27，求原来的两位数。【分析】此数字问题应考虑设间接未知数，即设数位上的数字。解：设原来两位数的十位数字为 x，个位数字为 y，根据题意，得：xy 7解得：x=510 x+y-27 10y+xy=2答：原来的两位数为 52。第四环节第四环节例题赏析例题赏析例 1甲、乙二人在一环形场地上从 A 点同时同向
5、匀速跑步，甲的速度是乙的 2.5 倍，4 分钟后两人首次相遇此时乙还需要跑 300 米才能跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长。【分析】1.行程问题的基本等量关系是：路程=速度时间2.环形问题中同向追及问题的等量关系是：快者路程-慢者路程=1 圈解：设乙的速度为 x 米/分，则甲的速度为 2.5x 米/分，环形场地的周长为 y 米。根据题意，得:y=2.5x4-4x解得：x=150y=4x+300y=900所以，2.5x=2.5*150=375答：甲、乙二人的速度分别为 375 米/分，150 米/分，环形场地的周长为 900 米。例 2小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下
6、图是小明每隔 1 小时看到的里程情况。你能确定小明在 12:00 时看到的里程碑上的数吗？12:00 是一个两位数，它的两个数字之和为 7；13:00 十位与个位数字与 12:00 所看到的正好颠倒了；14:00 比 12:00 时看到的两位数中间多了个 0【分析】设小明在 12:00 看到的数十位数字是，个位数字是 y，那么时刻百位数字十位数字个位数字表达式12:00 xy10 x+y13:00yx10y+x14:00 x0y100 x+y相等关系：1. 12:00 看到的数，两个数字之和是 7，2. 每隔一小时的路程差相等。解：设小明在 12:00 时看到的数的十位数字是 x ，个位数字是
7、 y ,根据题意，得:xy7，（10yx）（10 xy） （100 xy）（10yx）解方程组：xy 7，（10yx）（10 xy） （100 xy）（10yx）.整理得：xy7，解得：x = 1y6x.y = 6因此，小明在 12:00 时看到的里程碑上的数是 16提示：要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后根据等量关系列方程。【小结】对较复杂的实际问题可以通过列表格的方法帮助理清题中的未知量，已知量之间的数，以便根据等量关系列方程（组） 。第五环节第五环节巩固提高巩固提高甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A，B 两地同时相向而行,经过 3 小时后相距 3 千米，再经过2
8、小时，甲到 B 地所剩的路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍，你能求出甲、乙两人的速度吗？解：设甲的速度为为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时。（1）当两人相遇之前相距 3 千米时，根据题意，得:3x3y30-3解得：x=430-5x2(30-5y)y=5(2）当两人相遇之后相距 3 千米时，根据题意，得:3x3y30+3解得：x=31530-5x2(30-5y)y=325综上，甲的速度为 4 千米/时，乙的速度为 5 千米/时；或甲的速度为315千米/时，乙的速度为325千米/时。【小结】解有关行程问题的应用题时，要注意分类讨论的数学思想。第六环节第六环节能力升华能力升华你愿意当一次编
9、题小老师吗？请以小组为单位开展讨论，根据实际背景编一道应用题，使得其中的未知数满足方程组：x+y=36008060yx=50试试看，比比谁做得更好！第七环节第七环节课堂小结课堂小结通过本节课的学习你有什么收获？1.关于数字问题的应用题，一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字） ，用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列方程(组)。2.对较复杂的实际问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量，已知量之间的数，以便根据等量关系列方程（组） 。3.解有关行程问题的应用题时，要注意分类讨论的数学思想。4.用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：审清题意； 找出等量关系； 设未知数 x,y；列出二
10、元一次方程组；解方程组； 检验； 作答。第八环节第八环节课后作业课后作业A 组：1）小亮和小明做加法游戏，小明在第一个加数的后面多写一个 0，所得和是 242；小亮在另一个加数的后面多写一个 0，所得和是 341，求原来的两个加数分别是多少?2）甲、乙两人相距 42km，如果两人从两地相向而行，2 小时后相遇，如果二人同时从两地出发，同向而行，14 小时后乙追上甲，求二人的速度。3）汽车在上坡时速度为 28km/h，下坡时速度 42km/h，从甲地到乙地用了 4 小时 30 分，返回时用了 4 小时 40 分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？B 组：1）一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5，余数是 1.这个两位数是多少？2）A、B 两地相距 36 千米，甲从 A 地步行到 B 地，乙从 B 地步行到 A 地，两人同时相向出发，4 小时后两人相遇，6 小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的 2 倍，求二人的速度？3）儿子问父亲今年多大，父亲笑着对儿子说： “我像你这么大时，你才 1 岁；当你像我这么大时，我已经 67 岁了！ ”你知道父子俩今年各多少岁吗？你有几种解决问题的方法？
