1、第三章第三章三角恒等变换三角恒等变换测试十四测试十四两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切学习目标学习目标灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角式的化简和计算基础性训练基础性训练一、选择题一、选择题1cos12cos18sin12sin18()(A)21(B)23(C)21(D)232如果 tanxtany2，tanxtany3，那么 tan(xy)的值为()(A)3(B)3(C)1(D)13cos(15)的值是()(A)42(B)42(C)426 (D)426 412cos312sin的值是()(A)3(B)2(C)2(D)35在ABC 中，若 0tanAtanB
2、1，则ABC 是()(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)不确定二、填空题二、填空题6若21tan，则)4tan(=_7如果)23, (,1312cos，那么)4cos( 的值等于_8函数xxycossin的周期为_，最大值为_950tan20tan1)50tan(20tan的值是_10cos2)60cos()30sin(_三、解答题三、解答题11如果41)4tan(,52)tan(，)4tan(求的值12计算：)34sin()36cos()33cos()34sin(xxxx13当2,2x时，求函数xxxfcos3sin)(的值域拓展性训练拓展性训练14已知135)43sin(
3、,54)4sin(，且,40, 434求)cos(),4cos(的值测试十五测试十五二倍角的正弦、余弦和正切二倍角的正弦、余弦和正切学习目标学习目标掌握二倍角公式及各种变形公式的运用，能灵活进行三角式的变形和化简基础性训练基础性训练一、选择题一、选择题1若312cos，则 sin2()(A)31(B)32(C)33(D)322若31)3sin(，则)232cos()(A)97(B)31(C)31(D)9736sin1等于()(A)sin3cos3(B)sin3cos3(C)sin3cos3(D)cos3sin34已知 sin76a，则 cos7的值为()(A)21a(B)21a(C)a22(D
4、)2a5已知332cos2sin，且 cos0，那么 tan等于()(A)22(B)22(C)552(D)552二、填空题二、填空题6已知54cos),0 ,2(xx，则 tan2x_7化简4cos2sin22的结果是_8函数 y3cos2x1 的周期为_，当41, 0 x时，函数的值域为_9o15tan115tan的值为_10)4(cos)4(cos22xx的取值范围是_三、解答题三、解答题11已知21)tan(,),2(,53sin，求 tan(2)的值12已知),2(,61)4sin()4sin(，求 sin413已知22,222tan，求)4sin(21sin2cos22的值拓展性训练
5、拓展性训练14已知)2, 0(,，且 3sin22sin21，3sin2a2sin20，求证：22测试十六测试十六三角恒等变换全章综合练习三角恒等变换全章综合练习( (一一) )一、选择题一、选择题1sin15sin75的值是()(A)41(B)21(C)43(D)232函数 ysin2xcos2x 的最小正周期和最小值分别是()(A)1, (B)21, (C)1,2(D)21,23已知32)tan(,21tan，则 tan(2)的值是()(A)47(B)81(C)81(D)474下列各式与 tan(其中2k )相等的是()(A)2cos12cos1(B)cos1sin(C)2cos1sin(
6、D)2sin2cos15设 0 x2，且xxxcossin2sin1，则()(A)0 x(B)474 x(C)454 x(D)232 x二、填空题二、填空题6sin215_7若sin2cos=85，则2sin等于_，cos等于_8若函数 f(x)sinxcosx，则)12(f=_9已知31)3sin(，则)232cos(=_，)6sin(=_10化简cos1cos2cos12sin.=_三、解答题三、解答题11已知54sin,20(1)求)45tan(的值；(2)求2coscos2sinsin22的值12已知 f(x)cos2xsinxcosx(xR)，(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调
7、减区间；(2)求函数 f(x)的最大值和最小值，并求出相应的 x 的值13如图，在矩形中 ABCD，ABa，BC2a，在 BC 上取一点 P，使得 ABBPPD求得 tanAPD 值14已知)2, 0(, 1cos)cos()22sin(sin3.(1)求的值；(2)求满足221cos2)sin()sin(xx的钝角 x测试十七测试十七三角恒等变换全章综合练习三角恒等变换全章综合练习( (二二) )一、选择题一、选择题1sin15cos15的值是()(A)41(B)21(C)43(D)232下列各式与 cos2不相等的是()(A)cos2sin2(B)2cos21(C)12sin2(D)2si
8、n213若54)cos(，是第二象限角，则)3sin(等于()(A)53(B)53(C)10343(D)103434函数)32cos()62sin(xxy的最小正周期和最大值分别为()(A)，1(B)，2(C)2，1(D)2，25函数xxxfcos2cos1)()(A)在,2(),2, 0上递增，在2 ,23(),23, 上递减(B)在)23, ),2, 0上递增，在2 ,23(,2(上递减(C)在)2 ,23(,2(上递增，在)23, ),2, 0上递减(D)在)2 ,23(),23, 上递增，在,2(),2, 0上递减二、填空题二、填空题6已知31sinx，则)4(2sinx=_715si
9、n2315cos21=_8已知),2(a，53sin则)4tan(等于_940cos270tan10sin310cos70tan=_10关于函数xxxf2cos32sin)(xR)，有下列命题：由0)()(21xfxf可得21xx 必是的整数倍；yf(x)的表达式可改写为)62cos(2)(xxf；yf(x)的图象关于点（0 ,6）对称；yf(x)的图象关于直线6x对称其中正确的命题的序号是_三、解答题三、解答题11已知),2(,55sin，求下列各式的值(1)sin2；(2)4tan(12已知20，且135)sin(,53cos(1)求 tan；(2)求 cos.13已知函数xxxfcos)
10、42sin(21)(，(1)求 f(x)的定义域；(2)设是第四象限的角，且34tan，求 f()的值14已知51cossin, 02xxx(1)求 sinxcosx 的值；(2)求2cos2cos2sin22sin322xxxx的值15已知 f(x)，g(x)都是定义在 R 上的函数，若存在实数 m，n 使得 h(x)mf(x)ng(x)，则称 h(x)为 f(x)、g(x)在 R 上生成的函数若 f(x)cos2x，g(x)sinx(1)判断函数 ycosx 是否为 f(x)，g(x)在 R 上生成的函数并说明理由；(2)记 l(x)为 f(x)，g(x)在 R 上生成的一个函数，若2)6
11、(l，且 l(x)的最大值为 4，求 l(x)测试十八测试十八必修必修 4 4 模块自我检测题模块自我检测题一、选择题一、选择题1已知 costan0，那么角是()(A)第一或第二象限角(B)第二或第三象限角(C)第三或第四象限角(D)第一或第四象限角2已知向量 a(5，6)，b(6，5)，则 a 与 b()(A)垂直(B)不垂直也不平行 (C)平行且同向(D)平行且反向3是第四象限角，125tan，则 sin()(A)51(B)51(C)135(D)1354函数 ysinx的一个单调增区间是()(A)4,4(B)43,4(C)23, (D)2 ,23(5若函数21sin)(2xxf(Rx)，
12、则 f(x)是()(A)最小正周期为2的奇函数(B)最小正周期为的奇函数(C)最小正周期为2的偶函数(D)最小正周期为的偶函数6已知51cossin，且432，则 cos2的值是()(A)257(B)257(C)2524(D)25247函数)0 , (cos3sin)(xxxxf的单调递增区间是()(A)65, (B)6,65(C)0 ,3(D)0 ,68若非零向量 a，b 满足abb，则()(A)2a2ab(B)2a2ab(C)2ba2b(D)2ba2b二、填空题二、填空题9sin210_10若是锐角，31cos，则2sin=_.11已知向量 a(2，4)，b(1，1)若向量 b(ab)，则
13、实数的值是_12若向量 a、b 满足ab1，a 与 b 的夹角为 120，则 aaab_13下面有五个命题：函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是；终边在 y 轴上的角的集合是,2|Zkk；把函数)32sin(3xy的图象向右平移6得到 y3sin2x 的图象；函数)2sin( xy在0，上是减函数其中真命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)142002 年在北京召开的国际数学大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为，那么 cos2的值
14、等于_三、解答题三、解答题15已知)2 ,23(,31cos),23, (,32sin(1)求 sin2的值；(2)求 cos()的值16已知 a(sinx，cosx)，b(1，1)(1)若2,ba，求 x；(2)求ab的最大值17已知ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)(1)若0 ACAB，求 c 的值；(2)若 c5，求 sinA 的值18已知函数 f(x)2cosx(sinxcosx)1，xR(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)在区间43,8上的最小值和最大值19已知函数)6sin()6sin()(xxxfaxcos(aR，a
15、是常数)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若2,2x时，f(x)的最大值为 1，求 a 的值20将一块圆心角为 120，半径为 200cm 的扇形铁片截成一块矩形；如图有两种截法：让矩形一边在扇形的一条半径 OA 上，或让矩形一边与弦 AB 平行。请问哪种截法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值。参考答案参考答案第三章第三章三角恒等变换三角恒等变换测试十四测试十四两角和与差的正弦、余弦、正切两角和与差的正弦、余弦、正切一、选择题一、选择题1D2C3C4B5B提示：3cos(15)cos(3045)cos30cos45sin30sin4542622.2122.23.5由 tanAtan
16、B0，知 A、B 不可能一个钝角，一个锐角，又 A，B 不可能均为钝角，所以，A，B 均为锐角由 tanAtanB1，得1cossincossin:.BBAA，又 cosA0，cosB0，所以 sinAsinBcosAcosB，整理得 cosAcosBsinAsinB0，cos(AB)0，所以，cos(C)0，即 cosC0，所以，C 为钝角，ABC 是钝角三角形二、填空题二、填空题637262782, 2931021提示：9原式330tan120tan50tan50tan20tan110cos2)60cos()30sin(cos260sinsin60coscos60sincos30sinco
17、soo21260cos30sincos260coscos30sincoso三、解答题三、解答题11略解223)4()tan()4tan(12略解)34sin()36cos()33cos()34sin(xxxx)34cos()36cos()36sin()34sin(xxxx)3634cos(xx462)21222322()64cos(13解：xxxfcos3sin)(22),3sin(2xx，所以6536x，所以1)3sin(21x，故 f(x)的值域为1，214解：54)4sin()4(2cos)4cos(由已知40 , 434，得，244, 42，所以，53)4sin(，由135)43sin
18、(， 得135)4cos()42sin(， 所以，1312)4sin(，故6516)4()4cos()cos(测试十五测试十五二倍角的正弦、余弦和正切二倍角的正弦、余弦和正切一、选择题一、选择题1A2D3C4B5C提示：4 由已知 sin76cos14a， 所以21214cos17cos2a， 所以217cosa.5由已知得，31sin1，即32sin，又 cos0，可知是第三象限角故55252tan, 0tan二、填空题二、填空题672472cos382 ,21 ; 194101，1提示：7原式2cos32cos32sin212sin22228212cos23122cos131cos2xxx
19、y，所以 T1，值域为2 ,21.10)4(cos)4(cos22xx=2)22cos(12)22cos(1xxxxx2sin)2sin2121(2sin2121三、解答题三、解答题11解：由已知得43tan，21tan，所以2tan2472tantan12tantan)2tan(,34tan1tan2212解：因为)4cos()4sin(，所以)22sin(21)4cos()4sin()4sin()4sin(612cos21，故312cos， 又),2(，3222sin， 所以sin42sin2cos292413解：由22tan1tan22tan2，解得2tan或22，又24，所以2tan原
20、式. 3222121tan1tan1sincossincos14解：由已知2sin2sin23,2cossin21sin322，两式相除得sincossin322sin32cos2sin2，即 cos2cossin2sin0，所以 cos(2)0，又2320，所以22测试十六测试十六三角恒等变换全章综合练习三角恒等变换全章综合练习( (一一) )一、选择题一、选择题1A2D3B4D5C二、填空题二、填空题64327257,548269322,97102tan提示：997)3(sin21)232cos(2；232)3cos()6sin(三、解答题三、解答题11解：因为20，54sin，所以34t
21、an，(1)4tan()45tan(71)34(11)34(tan11tan(2)222222tan2tan2tansincos2cossin2sin2coscos2sinsin，因为34tan，所以20)34(238)34(tan2tan2tan222212略解：原式=)42sin(2221x，(1)最小正周期为 T，单调减区间)(85,8Zkkk(2)当8 kx时，2221)(maxxf；当85 kx时，2221)(minxf.13略解：设 BPx，则 DPxa，CP2ax，在PCD 中，(xa)2a2(2ax)2，解得ax32，tanAPDtan(APBDPC)1814解：(1)1cos
22、)|cos()22sin(sin3等价于1coscos2cossin3，即12cossin3，所以2sin2sin3因为)2, 0(，从而23sin，所以3.(2)将3代入221cos2)sin()sin(xx，计算整理得，22sinx而 x 为钝角，从而43x.测试十七测试十七三角恒等变换全章综合练习三角恒等变换全章综合练习( (二二) )一、选择题一、选择题1A2D3C4A5A提示：5xxxxxxxfcos|sin|2cos)sin21 (1cos2cos1)(2，当,2(),2, 0 x时，xxftan2)(，当2 ,23(),23, x时，xxftan2)(.据正切函数的图象可得(A)
23、正确二、填空题二、填空题6977228719210提示：10令 f(x)0，则)3(21, 32kxkx0)()(21xfxfx1)3(21),3(21221kxk)(212121kkxx，当 k1k21 时，x1x2不是的整数倍不正确，其他选项易判断三、解答题三、解答题11答：(1)542sin；(2)31)4tan(12略解：(1)由53cos,20，所以34tan,54sin(2)由2,20，所以，,1312)cos(,232所以，6516)cos(cos13解：(1)由 cosx0 得)(2Z kkx，故 f(x)的定义域为,2|Z kkxx(2)因为34tan，且是第四象限的角，所以
24、53cos,54sin故cos2cos2sin1cos)2cos222sin22(21cos)42sin(21)(f514)sin(cos2coscossin2cos2214解：(1)因为51cossinxx，所以2512cossin,251cossin21xxxx则2549cossin21)cos(sin2xxxx，又因为02x，所以，sinx0，cosx0，即 sinxcosx0，故57cossinxx(2)2cos2cos2sin22sin322xxxx12cos2sin22sin22xxx2cosxsinx5951215解：(1)函数 ycosx 不是 f(x)、g(x)在 R 上生成
25、的函数理由：假设函数 ycosx 是 f(x)、g(x)在 R 上生成的函数，则存在实数 m，n 使得 cosxmcos2xnsinx令 x0，得 1m0令 x，得1m由矛盾知，所以函数 ycosx 不是 f(x)、g(x)在 R 上生成的函数(2)设 l(x)acos2xbsinx(a，bR)则22121)6(bal，ab4l(x)acos2x(4a)sinx2asin2x(4a)sinxa，l(x)2asin2x(4a)sinxa设 tsinx，则函数 l(x)可化为：y2at2(4a)ta，t1，1当 a0 时，函数化为：y4t，t1，1，当 t1 时，ymax4，l(x)4sinx 符
26、合题意当 a0 时，函数化为：aaaaatay8)4()44(222，当144aa时，即540 a时，当 t1 时，ymax42a，由 42a4 得 a0，不符合 a0 舍去；当1441aa，即54a或34a(舍去)时，当aat44时，aaay8)4(2max，由48)4(2maxaaay，得 a4 或94a(舍去)，b0，此时 l(x)4cos2x 符合题意；当144aa时，即034a时，不符合 a0 舍去当 a0 时，函数aaaaatay8)4()44(222的对称轴, 044aat当 t1 时，ymax42a，由 ymax42a4 得 a0，不符合 a0 舍去；综上所述，l(x)4sin
27、x 或 l(x)4cos2x.测试十八测试十八必修必修 4 模块自我检测题模块自我检测题一、选择题一、选择题1C2A3D4C5D6A7D8C二、填空题二、填空题921103311312211314257三、解答题三、解答题15解：(1)由)23,(,32sin，得35cos，所以954)35()32(2cossin22sin(2)由),223(,31cos，得322sin，所以9524)322()32(3135sinsincoscos)cos(16(1)因为a，b2，所以 ab0，即 sinxcosx0，Zkkx,4(2)因为)4cos(223)sin(cos23|2xxxba，所以ab2的最
28、大值是223，ab的最大值是21.17解：(1)4, 3(),4, 3(cACAB，由032516)3(3ccACAB得325c(2)AB(3，4)，)4, 2( AC，51205166|cosACABACABA，所以552cos1sin2AA.18(1)解：f(x)2cosx(sinxcosx)1)42sin(22cos2sinxxx因此，函数 f(x)的最小正周期为.(2)解法一：因为)42sin(2)(xxf在区间83,8上为增函数，在区间43,83上为减函数，又2)83(, 0)8(ff，14cos2)423sin(2)43(f，故函数 f(x)在区间43,8上的最大值为2，最小值为1
29、解法二：作函数)42sin(2)(xxf在长度为一个周期的区间89,8上的图象如上图所示：由图象得函数 f(x)在区间43,8上的最大值为2，最小值为1)43(f19解：(1)axxxxfcos)6sin()6sin()(axaxx)6sin(2cossin3f(x)的最小正周期为 2(2),2,2x32,36xf(x)的最大值为 2a，2a1，a120解：在方案一中，令AOM，则 090，在 RtOMP 中，MP200sin，OP200cos，所以，SOPMN20000sin2，当 290，即45时，SOPMN取得最大值 20000cm2在方案二中，令AOM，则 060，在 RtOMS 中，
30、MS200sin，OS200cos，在 RtMQS 中，MQS60，sin320021,sin340032MQQSMSMQ在 RtOCQ 中，)(2323QSOSOQCQsin100cos3100)sin3200cos200(23，所以，sin3400)sincos3(2002MQCQSMNPQ)sincossin3(380000sin)sincos3(3800002)212cos212sin23(380000)22cos12sin23(38000021)302sin(380000，当 23090，即30时，SMNPQ取得最大值2cm3340000比较两种方案的最大值可知， 第二种截法能得到最大面积， 最大面积为2cm3340000
