1、专题十四专题十四坐标系与参数方程坐标系与参数方程本专题涉及极坐标系的基础知识，参数方程的概念以及直线、圆、椭圆的参数方程这部分内容既是解析几何的延续，也是高等数学的基础【知识要点】【知识要点】1极坐标系的概念，极坐标系中点的表示在平面内取一个定点 O， O 点出发的一条射线 Ox， 一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系O 称为极点，Ox 称为极轴设 M 是平面内任意一点，极点 O 与点 M 的距离OM|叫做点 M 的极径，记作；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记作，有序数对(，)叫做点 M 的极坐标一般情况下，约定02
2、极坐标系与直角坐标系的互化直角坐标化极坐标：xcos，ysin；极坐标化直角坐标：222yx ，).0(tan xxy3参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系 xOy， 把坐标 x， y 表示为第三个变量 t 的函数)()(tgytfxbta，如果对于 t 的每一个值(atb)，式所确定的点 M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点 M(x，y)，都可由 t 的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中 t 称为参数4参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等
3、把曲线 C 的普通方程 F(x，y)0 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性要注意方程中的参数的变化范围5直线、圆、椭圆的参数方程(1)经过一定点 P0(x0， y0)， 倾斜角为的直线 l 的参数方程为sin,cos00tyytxx(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为btyyatxx00,(t 为参数)；(3)圆的参数方程为sin,cos00ryyrxx(为参数)；(4)椭圆)0( 12222babyax的参数方程为sin,cosbyax(为参数)【复习要求】【复习要求】1理解坐标系的作用2能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐
4、标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化3了解参数方程4能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用【例题分析】【例题分析】例例 1(1)判断点)35,23(是否在曲线2cos上(2)点 P 的直角坐标为)3, 1 ( ，则点 P 的极坐标为_(限定 02)(3)点 P 的极坐标为)4, 3( ，则点 P 的直角坐标为_解：解：(1)因为2365cos2cos，所以点)35,23(是在曲线2cos上(2)根据2x2y2，)0(tan xxy，得2，3tan，又点 P 在第四象限，223，所以35，所以点 P 的极坐标为).35, 2(3)根据 xcos，ysi
5、n，得223,223yx，所以点 P 的直角坐标为).223,223(例例 2(1)圆2(cossin)的半径为_(2)直线)(3R与圆2sin交与 A，B 两点，则|AB|_解：解：(1)由2(cossin)，得22(cossin)，所以，x2y22x2y，即(x1)2(y1)22，所以圆2(cossin)的半径为2(2)将直线)(3R与圆2sin化为直角坐标方程，得由3得xy3tan，即xy3，由2sin，变形为22sin，得 x2y22y，即 x2(y1)21，因为圆的半径为 1，圆心到直线的距离为21311d，所以. 3)21(12|2AB评述：评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互
6、化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定的大小， 如例 1(2)， 否则，极坐标不唯一；(3)例 2 也可以用极坐标有关知识直接解决这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识如：过极点，倾斜角为的直线：(R)或写成及过 A(a，)垂直于极轴的直线：cosacos以极点 O 为圆心，a 为半径的圆(a0)：a若 O(0，0)，A(2a，0)，以 OA 为直径的圆：2acos若 O(0，0)，A(2a，2)，以 OA 为直径的圆：2asin对于例 2(2)，可以利用结论，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB，当然也可以用极坐标方程直接解，根据的几何意
7、义求AB例例 3圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为4cos，4sin(1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过圆 O1和圆 O2交点的直线的直角坐标方程解：解：(1)由4cos得24cos，根据 xcos，ysin，所以 x2y24x即 x2y24x0 为圆 O1的直角坐标方程， 同理 x2y24y0 为圆 O2的直角坐标方程(2)由, 04, 042222yyxxyx解得; 0, 011yx. 2, 222yx即圆 O1和圆 O2交于点(0，0)和(2，2)过交点的直线的直角坐标方程为 yx例例 4(1)曲线的参数方程是21,11tytx(t 为参数，t0)，它的
8、普通方程是_(2)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为tytx3, 3(参数 tR)，圆 C 的参数方程为2sin2,cos2yx(参数0，2)，则圆 C 的圆心坐标为_，圆心到直线 l 的距离为_解：解：(1)由tx11得xt11，带入 y1t2，得,) 1()2()11(122xxxxy注意到111 tx，所以已知参数的普通方程为2) 1()2(xxxy(2)直线 l 的普通方程为 xy60，圆 C 的普通方程为 x2(y2)24，所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线 l 的距离.222|620|d评述：评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问
9、题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题如例 4(1)，若参数方程为21,11tytx(t 为参数，t0)，则其普通方程为).1() 1()2(2xxxxy例例 5求椭圆12222byax的内接矩形的最大面积解：解：设内接矩形在第一象限内的顶点为 P(acos，bsin)，P 点在两轴上的投影分别为A、B，则有 S内接矩形4S矩形OAPB4acosbsin2absin2因为)2, 0(，所以 2(0，)，S内接矩形的最大值为 2ab评述评述： 圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点， 从而讨论最值等有关问题椭圆)0, 0( 12222babyax的
10、参数方程为tansecbyax(为参数)抛物线 y22px(p0)的参数方程为ptyptx222.例例 6圆 M 的参数方程为 x2y24Rxcos4Rysin3R20(R0)(1)求该圆的圆心坐标以及圆 M 的半径；(2)当 R 固定，变化时，求圆心 M 的轨迹，并证明此时不论取什么值，所有的圆 M都外切于一个定圆解：解：(1)依题意得圆 M 的方程为(x2Rcos)2(y2Rsin)2R2，故圆心的坐标为 M(2Rcos，2Rsin)，半径为 R(2)当变化时，圆心 M 的轨迹方程为,sin2,cos2RyRx(为参数)，两式平方相加得 x2y24R2，所以圆心 M 的轨迹是圆心在原点，半
11、径为 2R 的圆由于,32)sin2()cos2(22RRRRR,2)sin2()cos2(22RRRRR所以所有的圆 M 都和定圆 x2y2R2外切，和定圆 x2y29R2内切例例 7过 P(5，3)，倾斜角为，且53cos的直线交圆 x2y225 于 P1、P2两点(1)求|PP1|PP2的值；(2)求弦 P1P2的中点 M 的坐标解：解：(1)由已知53cos得,54sin所以已知直线的参数方程为,543,535tytx(t 为参数)代入圆的方程化简，得. 095542tt的两个解 t1、t2就是 P1、P2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知PP1|PP2|t1|t2|9(2)设
12、M(x，y)为 P1P2的中点，则点 M 对应的参数527221ttt，代入参数方程，得,2533,2544yx所以MPPPP, 9|21).2533,2544(评述：评述：根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，t2，则弦长 l|t1t2；定点 M0是弦 M1M2的中点t1t20；设弦 M1M2的中点为 M，则点 M 对应的参数值221tttM，(由此可求得|M2M|及中点坐标)习题习题 14一、选择题一、选择题1极坐标)34(2,的直角坐标为(A)(1，3)(B)(3，1)(C)(1，3)(D)(1，3)2椭圆sin5,
13、cos2yx(为参数)的焦距等于()(A)21(B)221(C)29(D)2923已知某条曲线的参数方程为1, 2322tytx(0t5)，则该曲线是()(A)线段(B)圆弧(C)双曲线的一支(D)射线4若)3, 2(P是极坐标系中的一点， 则、)35, 2()38, 2()32, 2(MRQ)352 , 2(kN)(Zk四点中与 P 重合的点有()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个5在极坐标系中，若等边ABC 的两个顶点是)45, 2()4, 2(BA、，那么顶点 C 的坐标可能是()(A)43, 4(B)43, 32(C), 32(D)(3，)二、选择题二、选择题6过极点，倾
14、斜角是6的直线的极坐标方程为_7点 M 的直角坐标(3，3)化为极坐标是_8直线tyatx41,3(t 为参数)过定点_9曲线tytx,12(t 为参数)与 y 轴的交点坐标是_10参数方程cossin,2sinyx(为参数)表示的曲线的普通方程是_三、解答题三、解答题11求过点)4, 3(，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程12在椭圆14922yx上求一点，使点 M 到直线021032yx的距离最小，并求出最小距离13设圆 C 是以 C(4，0)为圆心，半径等于 4 的圆(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)从极点 O 作圆 C 的弦 ON，求 ON 的中点 M 的轨迹方程14已知点 M(2，1
15、)和双曲线1222yx，求以 M 为中点的双曲线右支的弦 AB 所在直线 l的方程专题十四专题十四坐标系与参数方程参考答案坐标系与参数方程参考答案习题习题 14一、选择题一、选择题1C2B3A4C5B二、填空题二、填空题6)(6R；7)47,23(；8(3，1)；9(0，1)，(0，1)；三、解答题三、解答题11223cos12解：由题设知椭圆参数方程为sin2,cos3yx(为参数)设 M 的坐标(3cos，2sin)由点到直线距离,13|210)4sin(26|13|210sin6cos6|d即 d 的最小值为26134，此时4所以 M 的坐标为).2,223(13解：(1)设 P(，)为圆 C 上任意一点，圆 C 交极轴于另一点 A由已知|OA|8，在RtABC 中，|OP|OAcos，即8cos，这就是圆 C 的方程(2)连结 CM，因为 M 是 ON 的中点，所以 CMON，故 M 在以 OC 为直径的圆上由 r|OC|4，得动点 M 的轨迹方程是4cos14解：设 AB 的方程为sin1,cos2tytx(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos2sin2)t2(8cos2sin)t50，由于 M 为 AB 的中点，则 t1t20，则 tan4，从而 AB 的方程为：4xy70
