1、专题七专题七立体几何立体几何立体几何的知识是高中数学的主干内容之一，它主要研究简单空间几何体的位置和数量关系本专题内容分为三部分：一是点、直线、平面之间的位置关系，二是简单空间几何体的结构，三是空间向量与立体几何在本专题中，我们将首先复习空间点、直线、平面之间的位置关系，特别是对特殊位置关系(平行与垂直)的研究；其后，我们复习空间几何体的结构，主要是柱体、锥体、台体和球等的性质与运算；最后，我们通过空间向量的工具证明有关线、面位置关系的一些命题，并解决线线、线面、面面的夹角问题71点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系【知识要点】【知识要点】1空间直线和平面的位置关系：(1)
2、空间两条直线：有公共点：相交，记作：abA，其中特殊位置关系：两直线垂直相交无公共点：平行或异面平行，记作：ab异面中特殊位置关系：异面垂直(2)空间直线与平面：有公共点：直线在平面内或直线与平面相交直线在平面内，记作：a直线与平面相交，记作：aA，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交无公共点：直线与平面平行，记作：a(3)空间两个平面：有公共点：相交，记作：l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交无公共点：平行，记作：2空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一
3、个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与
4、该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：【复习要求】【复习要求】1了解四个公理与等角定理；2理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题【例题分析】【例题分析】例例 1如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AA1的中点求证：()E、C、D1、F 四点共面；()CE、DA、D1F 三线共点【分析【分析】对于()中证
5、明“E、C、D1、F 四点共面” ，可由这四点连接成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于()中证明“CE、DA、D1F 三线共点” ，可证其中两条相交直线的交点位于第三条直线上证明：证明：()连接 D1C、A1B、EFE，F 分另是 AB，AA1的中点，EFA1B，,211BAEF 又 A1D1BC，A1D1BC，A1D1CB 是平行四边形A1BD1C，EFD1C，E、C、D1、F 四点共面()由()得 EFCD1，,211CDEF 直线 CE 与直线 D1F 必相交，记 CE D1FP，PD1F平面 A1ADD1，PCE平面 ABCD，点 P 是平面 A1ADD1和平面 ABCD 的一个公
6、共点平面 A1ADD1平面 ABCDAD，PAD，CE、DA、D1F 三线共点【评述】【评述】1、证明多点共面、多点共线、多线共面的主要依据：(1)证明多点共面常用公理 2 及其推论；(2)证明多点共线常用公理 3，即证明点在两个平面内，从而点在这两个平面的交线上；(3)证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内2、证明 a，b，c 三线交于一点的主要依据：(1)证明 a 与 b 相交，c 与 b 相交，再证明两交点重合；(2)先证明 a 与 b 相交于点 P，再证明 Pc例例 2在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 AB，PC 的中点，求
7、证：MN平面 PAD【分析【分析】要证明“线面平行” ，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明证明：证明：方法一，取 PD 中点 E，连接 AE，NE底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 AB，PC 的中点，MACD，.21CDMA E 是 PD 的中点，NECD，.21CDNE MANE，且 MANE，AENM 是平行四边形，MNAE又 AE平面 PAD，MN平面 PAD，MN平面 PAD方法二取 CD 中点 F，连接 MF，NFMFAD，NFPD，平面 MNF平面 PAD，MN平面 PAD【评述】【评述】关于直线和平面
8、平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：ac，bc，a，aa，bba，babababab(2)证明线面平行：aabb，aaaaa(3)证明面面平行：a，ba，a，a，b，abA例例 3在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1AC，ABAC，求证：A1CBC1【分析【分析】要证明“线线垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明 A1C 垂直于经过BC1的平面即可证明：证明：连接 AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面 ABC，ABAA1又 ABAC，AB平面 A1ACC1，A1CAB又 AA1AC，侧面 A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得 A1C平面 ABC1，A1
9、CBC1【评述】【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将其向“线面垂直”进行转化例例 4在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，ABBC，APPB，求证：平面 PAC平面 PBC【分析【分析】要证明“面面垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化证明：证明：平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，且 ABBC，BC平面 PAB，APBC又 APPB，AP平面 PBC，又 AP平面 PAC，平面 PAC平面 PBC【评述】【评述】关于直线和平面垂直
10、的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：ac，bc，ababab(1)证明线面垂直：am，anab，b，a，lm，n，mnAa，alaaaa(1)证明面面垂直：a，a例例 5如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 A1ABB1是菱形，且垂直于底面 ABC，A1AB60，E，F 分别是 AB1，BC 的中点()求证：直线 EF平面 A1ACC1；()在线段 AB 上确定一点 G，使平面 EFG平面 ABC，并给出证明证明：证明：()连接 A1C，A1E侧面 A1ABB1是菱形，E 是 AB1的中点，E 也是 A1B 的中点，又 F 是 BC 的中点，EFA1CA1C平面 A1ACC1，
11、EF平面 A1ACC1，直线 EF平面 A1ACC1(2)解：当31GABG时，平面 EFG平面 ABC，证明如下：连接 EG，FG侧面 A1ABB1是菱形，且A1AB60，A1AB 是等边三角形E 是 A1B 的中点，31GABG，EGAB平面 A1ABB1平面 ABC，且平面 A1ABB1平面 ABCAB，EG平面 ABC又 EG平面 EFG，平面 EFG平面 ABC练习练习 71一、选择题：一、选择题：1已知 m，n 是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是()(A)若 m，n，则 mn(B)若 m，n，则 mn(C)若，则(D)若 m，m，则2已知直线 m，n 和平面，且 m
12、n，m，则()(A)n(B)n，或 n(C)n(D)n，或 n3设 a，b 是两条直线，、是两个平面，则 ab 的一个充分条件是()(A)a，b，(B)a，b，(C)a，b，(D)a，b，4设直线 m 与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()(A)在平面内有且只有一条直线与直线 m 垂直(B)过直线 m 有且只有一个平面与平面垂直(C)与直线 m 垂直的直线不可能与平面平行(D)与直线 m 平行的平面不可能与平面垂直二、填空题：二、填空题：5在三棱锥 PABC 中，6 PBPA，平面 PAB平面 ABC，PAPB，ABBC，BAC30，则 PC_6在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，当
13、底面 ABCD 满足条件_时，有 A1CB1D1(只要求写出一种条件即可)7设，是两个不同的平面，m，n 是平面，之外的两条不同直线，给出四个论断：mnnm以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题_8已知平面平面，l，点 A，Al，直线 ABl，直线 ACl，直线 m，m，给出下列四种位置：ABm；ACm；AB；AC，上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是_三、解答题：三、解答题：9如图，三棱锥 PABC 的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形，M，N 分别为 PA，BC 的中点()求 MN 的长；()求证：PABC10如图，在四面体 ABCD 中，CBCD，A
14、DBD，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点求证：()直线 EF平面 ACD；()平面 EFC平面 BCD11 如图， 平面 ABEF平面 ABCD， 四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形， BADFAB90，BCAD，AFBEAFBEADBC21,/,21，G，H 分别为 FA，FD 的中点()证明：四边形 BCHG 是平行四边形；()C，D，F，E 四点是否共面?为什么?()设 ABBE，证明：平面 ADE平面 CDE72 空间几何体的结构空间几何体的结构【知识要点】【知识要点】1简单空间几何体的基本概念：(1)(2)特殊的四棱柱：(3)其他空间几何体的基本概念：几何体基本概念正
15、棱锥底面是正多面形，并且顶点在底面的射影是底面的中心正棱台正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是正棱台圆柱以矩形的一边所在的直线为轴，将矩形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆锥以直角三角形的一边所在的直线为轴，将直角三角形旋转一周形成的曲面围成的几何体圆台以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为轴，将直角梯形旋转一周形成的曲面围成的几何体球面半圆以它的直径为轴旋转，旋转而成的曲面球球面所围成的几何体2简单空间几何体的基本性质：几何体性质补充说明棱柱(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形(1)
16、直棱柱的侧棱长与高相等， 侧面及对角面都是矩形(2)长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和正棱锥(1)侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形球(1)球心和球的截面圆心的连线垂直于截面(2)球心到截面的距离 d，球的半径 R，截面圆的半径 r 满足22dRr(1)过球心的截面叫球的大圆， 不过球心的截面叫球的小圆(2)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(两点的球面距离)3简单几何体的三视图与直观图：(1)平行投影：概念：如图，已知图
17、形 F，直线 l 与平面相交，过 F 上任意一点 M 作直线 MM1平行于 l，交平面于点 M1，则点 M1叫做点 M 在平面内关于直线 l 的平行投影如果图形 F 上的所有点在平面内关于直线 l 的平行投影构成图形 F1，则 F1叫图形 F 在内关于直线 l 的平行投影平面叫投射面，直线 l 叫投射线平行投影的性质：性质 1直线或线段的平行投影仍是直线或线段；性质 2平行直线的平行投影是平行或重合的直线；性质 3平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；性质 4与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；性质 5在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比(2)
18、直观图：斜二侧画法画简单空间图形的直观图(3)三视图：正投影：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，这样的平行投影叫做正投影三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面若投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；若投射面放置在正前方，叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，投射到这个平面内的图形叫做左视图将空间图形向这三个平面做正投影，然后把三个投影按右图所示的布局放在一个水平面内，这样构成的图形叫空间图形的三视图画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽” 4简单几何体的表面积与体积：(1)柱体、
19、锥体、台体和球的表面积：S直棱柱侧面积ch，其中 c 为底面多边形的周长，h 为直棱柱的高chS21正棱锥形面积，其中 c 为底面多边形的周长，h为正棱锥的斜高hccS)(21正棱台侧面积，其中 c ，c 分别是棱台的上、下底面周长，h为正棱台的斜高S圆柱侧面积2Rh，其中 R 是圆柱的底面半径，h 是圆柱的高S圆锥侧面积Rl，其中 R 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长S球4R2，其中 R 是球的半径(2)柱体、锥体、台体和球的体积：V柱体Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高ShV31锥体，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高)(31SSSShV台体，其中 S ，S 分别是台
20、体的上、下底面的面积，h 为台体的高334RV球，其中 R 是球的半径【复习要求】【复习要求】1了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；2会画出简单几何体的三视图，会用斜二侧法画简单空间图形的直观图；3理解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式【例题分析】【例题分析】例例 1如图，正三棱锥 PABC 的底面边长为 a，侧棱长为 b()证明：PABC；()求三棱锥 PABC 的表面积；()求三棱锥 PABC 的体积【分析】【分析】对于()只要证明 BC(PA)垂直于经过 PA(BC)的平面即可；对于()则要根据正三棱锥的基本性质进行求解证明：证明：()取 BC 中点 D，连接 AD，PD
21、PABC 是正三棱锥，ABC 是正三角形，三个侧面 PAB，PBC，PAC 是全等的等腰三角形D 是 BC 的中点，BCAD，且 BCPD，BC平面 PAD，PABC()解：在 RtPBD 中，,4212222abBDPBPD.442122abaPDBCSPBC三个侧面 PAB，PBC，PAC 是全等的等腰三角形，三棱锥 PABC 的侧面积是.44322abaABC 是边长为 a 的正三角形，三棱锥 PABC 的底面积是,432a三棱锥 PABC 的表面积为)312(434434322222abaaabaa()解：过点 P 作 PO平面 ABC 于点 O，则点 O 是正ABC 的中心，,632
22、33131aaADOD在 RtPOD 中，,3332222abODPDPO三棱锥 PABC 的体积为.3123334331222222abaaba【评述】【评述】1、解决此问题要求同学们熟悉正棱锥中的几个直角三角形，如本题中的 RtPOD，其中含有棱锥的高 PO；如 RtPBD，其中含有侧面三角形的高 PD，即正棱锥的斜高；如果连接OC，则在 RtPOC 中含有侧棱熟练运用这几个直角三角形，对解决正棱锥的有关问题很有帮助2、正 n(n3，4，6)边形中的相关数据：正三角形正方形正六边形边长aaa对角线长a2长：2a；短：a3边心距a632aa23面积243aa22233a外接圆半径a33a22
23、a例例 2如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中，E 是 AC 的中点()求证：平面 BEC1平面 ACC1A1；()求证：AB1平面 BEC1【分析】【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考证明：证明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面 ABC，BEAA1ABC 是正三角形， E 是 AC 的中点， BEAC， BE平面 ACC1A1， 又 BE平面 BEC1，平面 BEC1平面 ACC1A1()证明：连接 B1C，设 BC1B1CDBCC1B1是矩形，D 是 B1C 的中点，DEAB1又
24、 DE平面 BEC1，AB1平面 BEC1，AB1平面 BEC1例例 3在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD2AD8，542DCAB()设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD；()求四棱锥 PABCD 的体积【分析】【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从 M 是 PC 上的动点分析知，MB，MD 随点 M 的变动而运动，因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直线 BD 是否垂直平面 PAD证明：证明：()在ABD 中，由于 AD4，BD8，54AB，所以 AD2BD2AB2故 ADBD又平面
25、 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD平面 ABCD，所以 BD平面 PAD，又 BD平面 MBD，故平面 MBD平面 PAD()解：过 P 作 POAD 交 AD 于 O，由于平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD因此 PO 为四棱锥 PABCD 的高，又PAD 是边长为 4 的等边三角形因此. 32423PO在底面四边形 ABCD 中，ABDC，AB2DC，所以四边形 ABCD 是梯形， 在 RtADB 中， 斜边 AB 边上的高为5585484， 即为梯形 ABCD的高，所以四边形 ABCD 的面积为.2455825452S故. 316322431AB
26、CDPV例例 4如下的三个图中， 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图 它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)()画出该多面体的俯视图；()按照给出的尺寸，求该多面体的体积；()在所给直观图中连结 BC ，证明：BC平面 EFG【分析【分析】画三视图的基本原则是“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽” ，根据此原则及相关数据可以画出三视图证明：证明：()该几何体三视图如下图：()所求多面体体积).cm(32842)2221(316442正三棱锥长方体VVV()证明：在长方体 ABCDABCD中，连结 AD，则 ADBC因为 E，G 分别为 AA，AD中点，所以 ADEG，从而 EG
27、BC 又 BC平面 EFG，所以 BC平面 EFG例例 5有两个相同的直三棱柱， 底面三角形的三边长分别是 3a， 4a， 5a， 高为a2， 其中 a0 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的一个是四棱柱，求 a 的取值范围解：解：直三棱柱 ABCA1B1C1的三个侧面的面积分别是 6，8，10，底面积是 6a2，因此每个三棱柱的表面积均是 26a2681012a224情形：将两个直三棱柱的底面重合拼在一起，只能拼成三棱柱，其表面积为：2(12a224)26a212a248情形：将两个直三棱柱的侧面 ABB1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表
28、面积一定是：2(12a224)2824a232情形：将两个直三棱柱的侧面 ACC1A1重合拼在一起，结果可能拼成三棱柱，也可能拼成四棱柱，但表面积一定是：2(12a224)2624a236情形： 将两个直三棱柱的侧面 BCC1B1重合拼在一起， 只能拼成四棱柱， 其表面积为： 2(12a224)21024a228在以上四种情形中，、的结果都比大，所以表面积最小的情形只能在、中产生依题意“表面积最小的一个是四棱柱” ，得 24a22812a248，解得,352a所以 a 的取值范围是 )315, 0(例例 6在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点
29、，求三棱锥 FA1ED1的体积【分析】【分析】计算三棱锥 FA1ED1的体积时，需要确定锥体的高，即点 F 到平面 A1ED1的距离，直接求解比较困难利用等积的方法，调换顶点与底面的方式，如1111EFDAEDAFVV，也不易计算，因此可以考虑使用等价转化的方法求解解法解法 1：取 AB 中点 G，连接 FG，EG，A1GGFADA1D1，GF平面 A1ED1，F 到平面 A1ED1的距离等于点 G 到平面 A1ED1的距离.8183313132111111111aaaDASVVVEGAEGADEDAGEDAF解法解法 2：取 CC1中点 H，连接 FA1，FD1，FH，FC1，D1H，并记
30、FC1D1HKA1D1EH，A1D1EH，A1，D1，H，E 四点共面A1D1平面 C1CDD1，FCA1D1又由平面几何知识可得 FC1D1H，FC平面 A1D1HEFK 的长度是点 F 到平面 A1D1HE(A1ED1)的距离容易求得.811053453131,1053321111aaaFKSVaFKEDAEDAF练习练习 72一、选择题：一、选择题：1将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为()(A)2(B)4(C)8(D)162如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()(A)9(B)10(C)11(D)123有一种圆柱体形状的笔筒，底面
31、半径为 4 cm，高为 12 cm现要为 100 个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计)如果所用涂料每 0.5 kg 可以涂 1 m2，那么为这批笔筒涂色约需涂料()(A)1.23 kg(B)1.76 kg(C)2.46 kg(D)3.52 kg4某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中， 这条棱的投影分别是长为a和 b的线段， 则ab的最大值为()(A)22(B)32(C)4(D)52二、填空题：二、填空题：5如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的每条棱长均为 2，E、F 分别是 BC、A1C1的中点，则 E
32、F 的长等于_6 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起， 使得 BD1， 则三棱锥 DABC 的体积是_7一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为 3，则这个球的体积为_8平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：_；充要条件：_(写出你认为正确的两个充要条件)三、解答题：三、解答题：9如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E 是 DD1的中点()求证：BD1平面 ACE；()求证：平面 ACE平面 B1BD
33、D110已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形()求该几何体的体积 V；()求该几何体的侧面积 S11如图，已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1上，点 F 在 CC1上，且 AEFC11()求证：E，B，F，D1四点共面；()若点 G 在 BC 上，32BG，点 M 在 BB1上，GMBF，求证：EM面 BCC1B173空间向量与立体几何空间向量与立体几何【知识要点】【知识要点】1空间向量及其运算：(1)空间向量的线性运算：空间向量的
34、加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立空间向量的线性运算的运算律：加法交换律：abba；加法结合律：(abc)a(bc)；分配律：()aaa；(ab)ab(2)空间向量的基本定理：共线(平行)向量定理：对空间两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使得 ab共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数，使得 cab空间向量分解定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得 p1a2b3c(3)空间向量的数量积运算：空间
35、向量的数量积的定义：ab|a|bcosa，b ；空间向量的数量积的性质：ae|acosa，e；abab0；|a|2aa；|ab|a|b空间向量的数量积的运算律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：(ab)cacbc(4)空间向量运算的坐标表示：空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系 Oxyz，分别沿 x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量 i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k ，由空间向量分解定理，对于空间任一向量 a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使 aa1ia2ja3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量 a 的坐标，即 a(a1
36、，a2，a3)空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3空间向量平行和垂直的条件：ab(b0)aba1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则;| ,|232221232221bbbaaabbbaaa;|,cos232221232221332211bbbaaababababababa在空间直角坐标系中，点
37、 A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则 A，B 两点间的距离是.)()()(|233222211bababaAB2空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：如图，l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，对空间任意一点 O，点 P 在直线l 上的充要条件是存在实数 t，使得a tOAOP，其中向量 a 叫做直线的方向向量由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定如果直线 l平面，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面的法向量由此可知，给定一点 A 及一个向量 a，那么经过点 A 以向量 a 为法向量的平面惟一确定(2)用
38、空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线 l，m 的方向向量分别是 a，b，平面，的法向量分别是 u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角：设 a，b 是两条异面直线，过空间任意一点 O 作直线 aa，bb，则a与 b所夹的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角设异面直线 a 与 b 的方向向量分别是 v1，v2，a 与 b 的夹角为，显然,2, 0(则|,cos|212121vvvvvv直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内
39、的射影所成的角设直线 a 的方向向量是 u，平面的法向量是 v，直线 a 与平面的夹角为，显然2, 0，则|,cos|vuvuvu二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角记作l在二面角的棱上任取一点 O，在两个半平面内分别作射线 OAl，OBl，则AOB 叫做二面角l的平面角利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若 AB，CD 分别是二面角l的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角l的大小就是向量CDAB与的夹角的大小方法二：如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则m1，m2与该二面角的大小相等或互补(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运
40、用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题【复习要求】【复习要求】1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直4理解直线的方向向量与平面的法向量5能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题【例题分析】【例题分析】例例 1如图，在长方体 OAEBO1A1E1B1中，OA3，OB4，OO12，点 P 在棱 AA1上，且AP2PA1，点 S 在棱 BB1上，且 B1S2SB，点 Q，R
41、分别是 O1B1，AE 的中点，求证：PQRS【分析】【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数 k，使得.RSkPQ 解解：如图建立空间直角坐标系，则 O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)AP2PA1，),34, 0 , 0()2 , 0 , 0(32321AAAP )34, 0 , 3(P同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)， )32, 4 , 0(S,)32, 2 , 3(RSPQRSPQ/，又 RPQ，PQRS【评述】【评述】1、证明线线平行的步骤：(1)证明两向量共线；(2)证明其
42、中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可2、本体还可采用综合法证明，连接 PR，QS，证明 PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明例例 2已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F 分别是棱 A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面 AMN平面 EFBD【分析【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行解法一解法一：设正方体的棱长为 4，如图建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)取 MN 的中点 K，EF
43、 的中点 G，BD 的中点 O，则 O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)MN(2，2，0)，EF(2，2，0)，AK(1，1，4)，OG(1，1，4)，MNEF，OGAK ，MN/EF，AK/OG，MN平面 EFBD，AK平面 EFBD，平面 AMN平面 EFBD解法二：解法二：设平面 AMN 的法向量是 a(a1，a2，a3)，平面 EFBD 的法向量是b(b1，b2，b3)由, 0, 0ANAMaa得, 042, 0423231aaaa取 a31，得 a(2，2，1)由, 0, 0BFDEbb得, 042, 0423132bbbb取 b31，得 b(2，2，1)ab，平面
44、AMN平面 EFBD注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试例例 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 是棱 A1B1，B1B 的中点，求异面直线 AM 和 CN所成角的余弦值解法一解法一：设正方体的棱长为 2，如图建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1),1 , 0 , 2(),2 , 1 , 0(CNAM设AM和CN所成的角为，则,52|cosCNAMCNAM异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是52解法二：解法二：取 AB 的中点 P，CC1的中点 Q，连接 B1P，B1Q，PQ
45、，PC易证明：B1PMA，B1QNC，PB1Q 是异面直线 AM 和 CN 所成的角设正方体的棱长为 2，易知,6,52211QCPCPQQBPB,522cos11221211QBPBPQQBPBQPB异面直线 AM 和 CN 所成角的余弦值是52【评述】【评述】空间两条直线所成的角是不超过 90的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)例例4如图， 正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a， 侧棱长为a2， 求直线AC1与平面ABB1A1所成角的大小【分析】【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写
46、出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面 ABB1A1的法向量求解解法一：解法一：如图建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，a，0)，),2, 0 , 0(1aA)2,2,23(1aaaC取 A1B1的中点 D，则)2,2, 0(aaD，连接 AD，C1D则),2, 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,23(1aAAaABaDC, 0, 0111AADCABDCDC1平面 ABB1A1，C1AD 是直线 AC1与平面 ABB1A1所或的角),2,2, 0(),2,2,23(1aaADaaaAC23|cos111ADACADACA
47、DC，直线 AC1与平面 ABB1A1所成角的大小是 30解法二：解法二：如图建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a2)，)2,2,23(1aaaC ，从而)2,2,23(),2, 0 , 0(),0 , 0(11aaaACaAAaAB设平面 ABB1A1的法向量是 a(p，q，r)，由, 0, 01AAABaa得, 02, 0araq取 p1，得 a(1，0，0)设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为,2, 0,.30,21|,cos|sin111aaaACACAC【评述】【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解
48、法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换例例 5如图，三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，ACBC，PAAC1，2BC，求二面角 APBC 的平面角的余弦值解法一：解法一：取 PB 的中点 D，连接 CD，作 AEPB 于 EPAAC1，PAAC，PCBC2，CDPBEAPB，向量EA和DC夹角的大小就是二面角 APBC 的大小如图建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，P(1，0，1)，由 D是 PB 的中点，得 D )21,22,21(由,3122ABAPEBPE得 E 是 PD 的中点，从而 )43,42,43(E
49、)21,22,21(),43,42,41(DCEA33|,cosDCEADCEADCEA即二面角 APBC 的平面角的余弦值是33解法二解法二：如图建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，)0 , 1 ,2(B，C(0，1，0)，P(0，0，1)，).1 , 1, 0(),0 , 0 ,2(),0 , 1 ,2(),1 , 0 , 0(CPCBABAP设平面 PAB 的法向量是 a(a1，a2，a3)，平面 PBC 的法向量是 b(b1，b2，b3)由, 0, 0ABAPaa得, 02, 0213aaa取 a11，得).0 ,2, 1 ( a由0, 0CPCBbb得, 0, 02321bbb
50、取 b31，得 b(0，1，1)33|,cosbababa二面角 APBC 为锐二面角，二面角 APBC 的平面角的余弦值是33|33|【评述【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的例例 6如图，三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点 D，E 分别在棱 PB，PC 上，且 DEBC()求证：BC平
