1、什么时候你来到我身边1平面直角坐标系平面直角坐标系坐标系中的动点问题坐标系中的动点问题教学目标教学目标会列出函数或方程等解决图形的动点问题教学重点教学重点会解决图形的平移、旋转、翻折等问题教学难点教学难点会利用函数及方程解决图形的平移、旋转、翻折等问题教学过程教学过程一、课堂导一、课堂导入入动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到 20%的比重。 主要研究在几何图形运动中， 伴随着一定的数量关系、 图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动
2、静结合二、复习预习二、复习预习1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心， 转动的角度叫做旋转角。 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角
3、的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。三、知识讲解三、知识讲解考点考点 1 1单点运动及双点运动问题单点运动及双点运动问题关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。考点考点 2 2图形运动问题图形运动问题图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。什么时候你来到我身边
4、2对于此类题目，关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置及特殊性质，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需借用函数或方程来解答。考点考点 3 3 线运动问题线运动问题解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题， 如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问题.四、例题精析四、例题精析考点一考点一单点运动问题单点运动问题例例 1 1如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 ABCD 中，AD 边的中点处有一动点 P，动点 P 沿PDCBAP 运动一周，则 P 点的纵坐标 y 与点 P 走过的路程 s 之间的函
5、数关系用图象表示大致是（）ABCD.考点二考点二双点运动问题双点运动问题例例 2 2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(32abxaxy与 x 轴交于点 A（2，0） 、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度向 C 点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当PBQ 存在时，求运动多少秒使PBQ 的面积最大，最多面积是多少？（3）当 PBQ 的 面 积 最 大 时 ， 在 BC 下 方 的 抛 物 线 上
6、 存 在 点 K ， 使2:5SPBQCBK：S，求 K 点坐标.什么时候你来到我身边3考点三考点三图形运动问题图形运动问题例例 3 3 如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A（0，4） ，C（2，0） ，将矩形 OABC 绕点O 按顺时针方向旋转 1350，得到矩形 EFGH（点 E 与 O 重合）.（1）若 GH 交 y 轴于点 M，则FOM，OM=；（2）矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移 t 个单位。直线 GH 与 x 轴交于点 D，若 ADBO，求 t 的值；若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位， 试求当0t224时，S 与 t 之间的函
7、数关系式。考点四考点四线运动问题线运动问题例例 4 4 如图 1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，ABO=90，yOC=45，射线 OC 以每秒 2 个单位长度的速度向右平行移动，当射线 OC 经过点 B 时停止运动，设平行移动 x 秒后，射线 OC 扫过 RtABO 的面积为 y（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=3 秒时，射线 OC 平行移动到 OC，与 OA 相交于 G，如图 2，求经过 G，O，B 三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点 P 在（2）中的抛物线上，试问点 P 在运动过程中，是否存在三角形 POB 的面积 S=8的情况？若存在，求出点 P 的坐标，若
8、不存在，请说明理由课程小结课程小结本节课主要研究了坐标系中的动点问题，中考中，对运动变化问题的考查是常考的内容之一，考查的热点是点运动问题、图形运动问题（旋转、翻折、对称变换） ，解答动点问题时，点不同位置考虑的不全面是容易导致出错的原因之一。复习运动变化问题时，要注意动中觅静，动静互化，以静制动，注意问题中的不变量、不变关系，在运动变化中探索问题的不变性。什么时候你来到我身边4考点一考点一单点运动问题单点运动问题例例 1 1【规范解答】【规范解答】动点 P 运动过程中：当 0s时，动点 P 在线段PD 上运动，此时 y=2 保持不变；当s时，动点 P 在线段 DC 上运动，此时 y 由 2
9、到 1 逐渐减少；当s时，动点 P 在线段 CB 上运动，此时 y=1 保持不变；当s时，动点 P 在线段 BA 上运动，此时 y 由 1 到 2 逐渐增大；当s4 时，动点 P 在线段 AP 上运动，此时 y=2 保持不变结合函数图象，只有 D 选项符合要求故选 D【总结与反思【总结与反思】将动点 P 的运动过程划分为 PD、DC、CB、BA、AP 共 5 个阶段，分别进行分析，最后得出结论考点二考点二双点运动问题双点运动问题例例 2 2【规范解答】【规范解答】解：1）将 A（2，0） 、B（4，0）两点坐标分别代入)0(32abxaxy，即034160324baba，解得：4383ba抛物
10、线的解析式为：343832xxy（2）设运动时间为 t 秒，由题意可知：20t，过点Q作ABQD ，垂直为 D，易证OCBDQB,OCBCDQBQ=OC=3，OB=4，BC=5，tPBtAP36,3，tBQ tDQ53,tDQ53什么时候你来到我身边5ttttDQPBSPBQ5910953)36(21212对称轴1)(210959t当运动 1 秒时，PBQ 面积最大，10959109PBQS，最大为109.（3）如图，设)34383,(2mmmK,连接 CK、BK，作轴yKL/交 BC 与 L，由（2）知：109PBQS，2:5:PBQCBKSS,49CBKS设直线 BC 的解析式为nkxy,
11、)3, 0(),0 , 4(CB,304nnk，解得：343nk,直线 BC 的解析式为343xy)343,(mmL,28323mmKLKLBKLCCBKSSSS)4()8323(21)8323(2122mmmmmm)8323(4212mm即：49)8323(22mm,解得：31mm或K坐标为)827, 1 ( 或)815, 3( 【总结与反思】【总结与反思】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2 考查动点与二次函数最值问题：先写出 S 与 t 的函数关系式，再确定函数最值；（3）存在所求的 K 点，由（2）可求出CBKPBQ和的面积，再把CBK分成两个三角形进行面积运算.考点三考点三图
12、形运动问题图形运动问题例例 3 3【规范解答【规范解答】 （1）45；2 2。（2）什么时候你来到我身边6如图 1，设直线 HG 与 y 轴交于点 I。四边形 OABC 是矩形，ABDO，AB=OC。C（2，0） ，AB=OC=2。又ADBO，四边形 ABOD 是平行四边形。DO=AB=2。 由（1）易得，DOI 是等腰直角三角形，OI=OD=2。t=IM=OMOI=2 22。如图 2，过点 F，G 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足为 R，T，连接 OC。则由旋转的性质，得，OF=OA=4，FOR450，OR=RF=2 2，F（2 2，2 2） 。由旋转的性质和勾股定理，得 OG=2 5，设
13、 TG=MT=x，则 OT=OMMT=2 2+x。 在 RtOTG 中， 由勾股定理， 得222x + 2 2+x= 2 5， 解得 x=2。 G （2，3 2） 。用待定系数法求得直线 FG 的解析式为y=x4 2。当 x=2 时，y=24 2。当 t=4 22时，就是GF 平移到过点 C 时的位置（如图 5） 。当 0t4 22时，几个关键点如图 3，4，5 所示：如图 3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移过程中边 EF 经过点 C；如图 4，t=OE=OM=2 2，此时，矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移过程中边 HG 经过点 O；如图 5，t=OE=4 2
14、2，此时，矩形 EFGH 沿 y轴向上平移过程中边 FG 经过点 C。什么时候你来到我身边7（I）当 0t2 时，矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为OCS 的面积（如图 6）。此时，OE=OS=t， 21St2。（II）当 2t2 2时，矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为直角梯形 OEPC 的面积（如图 7）。此时 OE= t，OC=2。由 E（0，t），FFO=450，用用待定系数法求得直线 EP 的解析式为y=x+t。 当 x=2 时，y=2+t。CP=2+t。1St2+t2=2t22。（III） 当2 2t4 22时， 矩形 EFHG 与矩形 OABC 重
15、叠部分的面积为五边形 EQCUV 的面积 （如图 8） ，它等于直角梯形 EQCO 的面积减去直角三角形 VOU 的的面积。 此时， OE= t，OC=2， CQ=2+t， OU=OV=t2 2。22111St2+t2t2 2=t + 2+2 2 t6222 。综上所述，当 0t4 22时，S 与 t 之间的函数关系式为221t0t22S2t2 2t2 21t + 2+2 2 t6 2 2t4 222。【总结与反思】【总结与反思】（1）由旋转的性质，得AOF1350，FOM450。由旋转的性质，得OHM450，OH=OC=2，OM=2 2。（2）由矩形的性质和已知 ADBO，可得四边形 ABO
16、D 是平行四边形，从而 DO=AB=2。又由DOI 是等腰直角三角形可得 OI=OD=2。从而由平移的性质可求得 t=IM=OMOI=2 22。首先确定当0t2 22时， 矩形EFGH沿y轴向上平移过程中关键点的位置， 分0t2， 2t2 2，2 2t2 22 三种情况求出 S 与 t 之间的函数关系式。什么时候你来到我身边8考点四考点四线运动问题线运动问题例例 4 4【规范解答【规范解答】 （1）AB=OB，ABO=90，ABO 是等腰直角三角形，AOB=45，yOC=45，AOC=（9045）+45=90，AOCO，CO是 CO 平移得到，AOCO，OOG 是等腰直角三角形，射线 OC 的
17、速度是每秒 2 个单位长度，OO=2x，y=（2x）2=2x2；（2）当 x=3 秒时，OO=23=6，6=3，点 G 的坐标为（3，3） ，设抛物线解析式为 y=ax2+bx，则，解得，抛物线的解析式为 y=1-5x2+85x；（3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，则 SPOB=128h=8，解得 h=2，当点 P 在 x 轴上方时，1-5x2+85x=2，整理得，x28x+10=0，解得 x1=4，x2=4+，此时，点 P 的坐标为（4，2）或（4+，2） ；当点 P 在 x 轴下方时，1-5x2+85x =2，整理得，x28x10=0，解得 x1=4，x2=4+，此时，点 P 的坐标为
18、（4，2）或（4+，2） ，综上所述，点 P 的坐标为（4，2）或（4+，2）或（4，2）或（4+，2）时，POB 的面积 S=8【总结与反思】【总结与反思】（1）判断出ABO 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AOB=45，然后求出 AOCO，再根据平移的性质可得 AOCO， 从而判断出OOG 是等腰直角三角形， 然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；（2）求出 OO，再根据等腰直角三角形的性质求出点 G 的坐标，然后设抛物线解析式为 y=ax2+bx，再把点 B、G 的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（3）设点 P 到 x 轴的距离为 h，利用三角形的面积公式求出 h，再分点 P 在 x 轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可
