1、1数据的离散程度4.1方差与标准差（教案设计）1教材说明：北师大版八年级上册第六章“数据分析”第 4 节“数据的离散程度”（第 1 课时）2重难点方差概念的理解3教学目标（1）理解方差引入的必要性和定义的产生，掌握方差的概念。（2）引导学生经历方差概念的产生、筛选、构造、评价等过程，发展创新意识和批判思维。（3）丰富学生的数学活动经验，培养学生科学的探索精神。4教学设计环节 1：设置问题情境，制造认知冲突，说明方差引入的必要性。问题 1：某外贸公司要出口一批规格为 75g 的鸡腿，现有 2 个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质也相近。质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了 20 只鸡腿，
2、它们的质量（单位：g）如下：甲厂：75、74、74、76、73、76、75、77、77、74、74、75、75、76、73、76、73、78、77、72乙厂：75、78、72、77、74、75、73、79、72、75、80、71、76、77、73、78、71、76、73、75请同学们比较哪个厂家的鸡腿更符合规格？（预设受前面知识及学习习惯的影响， 他们会分别求两组数据平均数：x甲=75gx乙=75g）追问： 这个结果说明了什么？是不是两个厂家的鸡腿规格一样高？思考时可参照图1 中两组数据分布图。问题 2：实际销售中，对鸡腿规格是有严格限制的，是不是越大越好？2经调查发现，鸡腿与规定的重量偏差不
3、越过 2g 时，可视为合格，超 2g 时视为不合格。那么甲、乙两个厂家的合格鸡腿各有多少只？不合格鸡腿有多少只？（甲厂合格鸡腿 18 只，不合格鸡腿 2 只，乙厂合格鸡腿 12 只，不合格鸡腿 8 只。追问：请同学们用平滑的曲线按序号分别把甲、乙两厂的鸡腿质量数连接起来，会得到什么？（教师因势导利：甲厂鸡腿质量数描绘的是碧波荡漾的湖面，乙厂鸡腿质量数描绘则是波浪滔天的大海。这在统计学中，称为数据甲波动小，数据乙波动大（或数据甲比数据乙稳定） 。问题 3：能否创设一个新的特征数来衡量两组数据的波动大小？学生可能用最大数据与最小数据的差，比如甲厂鸡腿：78-72=6g，乙厂鸡腿：80-71=9g，
4、所以甲厂鸡腿更符合规格。师：对，这位同学说的很好，这在统计学里叫极差，也是刻画数据离散程度的一个统计量，但是它仅仅反映了数据波动范围，没有提供其它信息，且受极端值影响较大。为了更好刻画数据波动程度，还有其它的度量方法。环节 2：让学生经历概念的提出，修正和形成过程，理解方差定义的必然性。问题 4：我们知道，甲厂鸡腿与规定质量的偏差小，而乙厂偏差大，但用什么量来衡量呢？学生尝试做法：据各数据与其平均数之差进行累加，但很快发现此种做法不可行，因为经计算，甲、乙两组数据与其平均数之差的和为 0。追问：什么原因造成累加和为 0。怎样避免呢！原因：各数与平均数的差有正有负，互相被抵消了，所以造成累加和为
5、 0。方案 1：各偏差平方后再相加。方案 2：各偏差取绝对值后再相加。问题 5：若采纳方案 1，这种“和”不妨用 y 来表示，请同学们计算。y甲=50y乙=132追问：显然 y甲y乙，由此说明数据甲比数据乙波动小，这与我们观察、判断是一致的，我们的创设是成功的，但乙厂却提出了一个条件：仍抽取我的 20 只鸡腿，但要抽取甲厂的 100 只鸡腿，你作为甲厂厂长会答应吗？学生表示不能，尽管甲厂的偏差小,比较稳定，但多个累加和也增大，可能会使 y甲y乙，结论将与事实相违背。追问：看来我们的特征数 y 还不完善，它受样本总量的影响，如何排除这一影响？（学生合作交流、讨论后有两种方法，取相同容量的数据，或
6、求各偏差平方的平均数。经教师提议,学生充分讨论后,同意采纳后者，也就是用“样本中各数据与样本平均数的差的平方”来表示,取名“方差”用 S2=n1（x1x）2+（xnx）2+（x1x）2,其中x是 x1，x2xn的平均数，而标准差就是方差的算术平方根而标准差就是方差的算术平方根。于是可算出 S2甲=2.5，S2乙=6.6，很显然甲厂的鸡腿规格更稳定。师生总结方差的特征：3（1）是平均数的形式；（2）命名缘于“差的平方” ；（3）单位是数据单位的平方；（4）一组数据的方差越小，这组数据就越稳定。教师补充：同学们前面讨论过nxxxxxxn|21这个式子也可以用来衡量数据的波动程度， 我们把它叫做这组
7、数据的平均差。一般而言，一组数据极差，方差、标准差、平均差越小，这组数据就稳定。今天我们主要研究方差。环节 3：运用方差的知识解决实际问题。题 1：甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179乙队：178，177，179，176，178，180，180，178，178，176哪支仪仗队员的身高更为整齐？你是怎么判断的。题 2：射箭时，新手成绩通常不稳定，小明和小华练习射箭，箭射完后，两人的成绩如图所示，请根据图中信息估计小明和小华谁是新手，并说明你这样做的理由。3、在体操比赛中，往往在所有裁判给出的分数中，去掉一个
8、最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分 6 个 B 组裁判员对某一运动员的打分数据(动作完成分)为：9.4，8.9，8.8，8.9，8.6，8.7(1)如果不去掉最高分和最低分，这组数据的平均数和方差分别是多少(结果保留小数点后两位)？(2)如果去掉一个最高分和一个最低分，平均数和方差又分别是多少(结果保留小数点后两位)？(3)你认为哪种统计平均分的方法更合理？环节 4： 衡量一组数据的离散程度用极差、 方差或标准差， 那用什么衡量人生的价值呢？最后我把伟大的文学家列夫.托尔斯泰的一句名言送给大吉共勉：人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。列夫列夫托尔斯泰托尔斯泰
