第四章 图形的相似- 5 相似三角形判定定理的证明-ppt课件-(含教案+视频+素材)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：4057c).zip

1.了解两角分别相等的两个三角形相似判定定理的证明2.了解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明3.能够通过转化、做辅助线等方法进行相关的证明学习目标复习回顾1.相似三角形的定义及判定定理是什么？2.用符号语言怎样表示？合作探究1两角分别相等的两个三角形相似。思考：要证明ABCABC，需要说明角的什么关系？边之间的什么关系？证明的依据什么？思考：1.这道题中我们用到了什么方法？ 2.你还有不同的方法吗？两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。能类比合作探究1进行证明吗？合作探究2课堂小结1.本节课运用了哪些方法？2.你还有哪些疑惑？自我检测证明：三边成比例的两个三角形相似.第四章第四章 图形的相似图形的相似4.5.1 相似三角形判定定理的证明相似三角形判定定理的证明一、学生学情分析一、学生学情分析“相似三角形判定定理的证明”是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有一定的认识，并且在前一节课的学习中，学生经历了猜想，动手操作，得出结论的过程。本节课主要进行相似三角形判定定理的证明，证明过程中需添加辅助线，对学生来说具有挑战性，需要通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程。二、教学任务分析二、教学任务分析本节共分两个课时，本节是从证明相似三角形判定定理 1、两角分别相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题 1 的正确性，从而学会证明的方法，为后续证明判定定理 2 打下基础，学生能够通过定理 1，类比证明定理 2。教学目标教学目标：1、了解相似三角形判定定理的证明过程 2、了解通过构造三角形、做平行线等思想方法证明定理 3、会证明一句话定理教学重点：教学重点：了解相似三角形判定定理的证明教学难点：教学难点：理解及运用构造三角形、做平行线等思想方法解决问题三、教学过程分析三、教学过程分析教学环节：第一环节：复习回顾,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方法选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业。第一环节：复习回顾，导入课题第一环节：复习回顾，导入课题内容：前面已经学习了相似三角形的定义，在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找并探究判定两个三角形相似的条件，我们得出的结论是怎样的？我们能证明它们吗？目的：通过学生回顾复习已得结论入手，激发学生学习兴趣。效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。第二环节：动手操作，探求新知第二环节：动手操作，探求新知内容：命题 1、两角分别相等的两个三角形相似。如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.目的：通过学生回顾证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。第一步：引导学生根据文字命题画图，第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。已知：如图，在ABC 和ABC中，A=A，B=B。求证: ABCABC。第三步：写出证明过程。 （分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在ABC 内部或外部构造平行线，从而构造出与ABC全等的三角形。）教师可以先通过微课的形式进行引导证明，再通过自己梳理证明感受方法。通过证明，我们可以得到命题 1 是一个真命题，从而得出相似三角形判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似。现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法。第三环节：动手实践，推理证明第三环节：动手实践，推理证明下面我们可以类比前面的证明方法，来继续证明命题 2，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。能自己试试吗？鼓励学生积极思考，模仿前面的证明过程进行证明。可让学生板书过程，或老师在学生中寻找资源，通过投影修正过程中存在的问题。通过证明，学生可以得到相似三角形判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。下面让每个学生独立完成三边成比例的两个三角形相似的证明。从而得到相似三角形判定定理：三边成比例的两个三角形相似。第四环节：方法总结，合理应用第四环节：方法总结，合理应用相似三角形的判定定理的证明过程及方法总结，具体的题目选择合适的方法。第五环节：课堂小结，分层作业第五环节：课堂小结，分层作业通过本节课的学习，您学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？作业：判定定理 3学法指导学法指导本节课为九年级第四章第五节内容，要求学生将已有的全等三角形的判定方法，相似三角形的定义，平行线分线段成比例等知识储备灵活运用，经历从特殊到一般，从猜想-实践-证明的过程，感受图形世界的丰富多彩，体会数学类比的思想方法，并学会选择最优方法进行问题的解决。 第四章第四章 图形的相似图形的相似4.5.1 相似三角形判定定理的证明相似三角形判定定理的证明学习目标：学习目标：1.了解两角分别相等的两个三角形相似判定定理的证明2.了解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明3.能够通过转化、做辅助线等方法进行相关的证明一、复习回顾一、复习回顾1.相似三角形的定义： 的两个三角形是相似三角形2.相似三角形的判定： 的两个三角形相似. 的两个三角形相似. 的两个三角形相似.3.证明一句话定理的一般步骤是： .4.符号语言：定义： 判定定理：二、合作学习二、合作学习1证明定理：两角分别相等的两个三角形相似2. 证明定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似三、课堂小结三、课堂小结证明相似三角形判定定理，我们用到了哪些方法？四、课堂检测证明定理 3：三边成比例的两个三角形相似 M MD DA AC CB Baabb如图，在矩形 ABCD 中，AB=3,BC=5,在 CD 上任取一点 E，连接 BE,将BCE 沿 BE 折叠，使点 E 恰好落在 AD 边上的点 F 处，则 CE 的长为 2.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点。(1)、请判断OEF 的形状，并证明你的结论；(2)、若 AB=13，AC=10，请求出线段 EF 的长。三、链接中考三、链接中考1.（宁夏2017）在ABC中，M是AC边上的一点，连接BM，将ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DMAB时，求证：四边形ABMD是菱形.2.（宁夏 2014）在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AE=AD,DFAE，垂足为 F；求证：DF=DC 四、课堂小结四、课堂小结说一说你重温了哪些知识？有什么新的收获？五、自我检测五、自我检测1、矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A、两组对边分别平行 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等2.菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= 2、如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是 A.B. ()2= 22 + 2 () = 2C. D.()2= 22 22= ( + )()3、如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证：ADECBF；（2）若DEB=90，求证四边形DEBF是矩形. 2.四边形 ABCD是正方形，G是BC边上的任意一点， DEAG于E，BFDE，交AG于F. 求证： AF=BF+EF 【当堂检测当堂检测】1. 如果菱形的边长是如果菱形的边长是 a，一个内角是，一个内角是 60，那么菱形较短的对角线长等于（，那么菱形较短的对角线长等于（ ） Aa Ba Ca Da123232.在菱形在菱形 ABCD 中，中，AB = 5，BCD =120，则对角线，则对角线 AC 等于（等于（ ）A20 B15C10 D53. 如图，菱形如图，菱形 ABCD 的周长为的周长为20cm，DEAB，垂足为，垂足为 E，54Acos则则下列结论下列结论DE=3cm；EB=1cm；2ABCD15Scm菱形中正确的个数为（中正确的个数为（ ）A3 个个 B2 个个 C1 个个D0 个个4. 如图，矩形纸片如图，矩形纸片 ABCD 中，中，AB=4，AD=3，折叠纸片使，折叠纸片使 AD 边与对角线边与对角线BD 重合，折痕为重合，折痕为 DG，则，则 AG 的长为（的长为（ ）A1 B C D234236. 如图，在菱形如图，在菱形 ABCD 中，中，A=110，E，F 分别是边分别是边 AB 和和 BC 的中点，的中点，EPCD 于点于点 P，求，求FPC 的度数的度数.1、关于平行四边形 ABCD 的叙述正确的是( C ） A.若 ABBC，则平行四边形 ABCD 是菱形. B.若 ACBD,则平行四边形 ABCD 是正形. C.若 AC=BD,则平行四边形 ABCD 是矩形. D.若 AB=AD，则平行四边形 ABCD 是正方形.2、如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AE/BD，DE/AC . 则四边形 OAED 为（ B ） A、菱形 B、矩形 C、正方形 D、无法确定 A E B O D 点拨：点拨：前面两题涉及到平行四边形性质及特殊平行四前面两题涉及到平行四边形性质及特殊平行四边形的判定边形的判定 . C 四、经典真题例析四、经典真题例析1、在ABC 中，ACB=90，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE=BF, 添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（ D ） A. BC=AC B. CFBF C. BD=DF D. AC=BF B 思路点拨：由 BC 的垂直平分线 EF 可得 BE=CE，BF=CF， E D F 又由 BE=BF，能推知 BE=CE=CF=BF，四边形 BECF 为菱形，在此基础上，只要再有一 个角是直角，或者对角线相等即可， A C 四个选项中只有 D 不能推知，故选 D. 1 1 题图题图2、如图，AE/BF,AC 平分BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分ABF，且交 AE 于点 D，AC 与BD 相交于点 O，连接 CD. A D E （1）求AOD 的度数. O （2）求证：四边形 ABCD 是菱形. B C F A B C D E 第 3 题图第 4 题图 思路点拨 ：（1）利用平行线的性质，可得 2 题图 BAD 与CBA 互补.由角平分线的定义，可得BAO 与ABO 互余，从而推得AOD=90. （2）由 AE/BF，AC 平分BAE，BD 平分ABF，得BAC=BCA，ABD=ADB，可得AD=AB=BC. 从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形 ABCD 是平行四边形，再由（1）得四边形 ABCD 是菱形. 反思：通过前面两例，我们感悟到，平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定定理是 解题的依据与关键，同学们一定要牢固掌握。3、阅读理解 阅读下面的材料：小颖遇到这样一个问题，如图 1，在ABC 中，DE/BC，分别交 AB 于 D，交 AC 于 E，已知 CDBE，CD=3，BE=5，求 BC+DE 的值. 小颖发现，过点 E 作 EF/DC，交 BC 延长线于点 F，构造BEF，经过推理和计算，能够使问题得到解决 （如图 2）（1）请回答：BC+DE 的值为 34 .（2）参考小颖思考问题方法，解决问题：如图 3，已知 ABCD 和矩形 ABEF，AC 与 DF 交于点 G，AC=BF=DF，求AGF 的度数. （60） A A F E D E D E AB G B C B C F D C （图 1） （图 2） （图 3）思路点拨：（1）由已知 DE/BC 及所作辅助线 EF/DC，可得四边形 DCFE 为平行四边形. 再由 CDBE 进而推出 EFBE，BEF=90，在 RtBEF 中，BE=5，EF=CD=3，所以BC+DE=BC+CF=BF= 5+3 = 34有方法更简单：四边形中，若两条对角线有特殊的位置关系和数量关系时，不妨尝试“平 移对角线”方法，这里就是平移对角线 CD，从而构造直角三角形，使问题得以解决.注意：这里 5 与 3 是两直角边的长，同学们容易得出错误结论，要谨慎！（2）这里要求AGF 的度数，在原始位置有困难，我们可以设想把AGF 平移到容易求得的位置. 由已知可得 FE/AB/CD, EF=AB=CD,所以四边形 FDCE 为平行四边形，因此平移 FD 到 EC，即连接 EC 就把AGF 平移到ACE 的位置（两直线平行，同位角相等） ，因此求出ACE 的度数即可，又 AC=BF=DF，再连接 AE（AE=BF） ，可得 AC=EC=AE，ACE 为等边三角形，所以AGF=ACE=60.反思：这里通过平移具有特殊位置关系和数量关系的线段的方法，使问题变得简单，此题中连接EC 是关键.注意：这里的 F、B、C 三点不一定在同一直线上.5、当堂检测 1、如图，菱形 ABCD 中，B=60，AB=5，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（ D ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 202、如图，正方形 ABCD 的顶点 B 作直线 m，过点 A，C 作 m 的垂线，垂足分别为点 E、F.若AE=1，CF=3，则 AB 的长度为 103、如图，在ABC 中，AB=AC,D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形.（1）求证：四边形 ADCE 是矩形； （2）若 AC、DE 交于点 O，四边形 ADCE 的面积为 163，CD=4， 求AOD 的度数 F A AC D B B F E m D O E E C C D B A （1 题图） （2 题图） （3 题图）3 题答案 （1）证明： 四边形 ABDE 是平行四边形 AE/BC，AB=DE，AE=BD D 是 BC 中点 CD=BD CD/AE，CD=AE 四边形 ADCE 为平行四边形 AB=AC，D 为 BC 中点 ADBC ADC=90 四边形 ADCE 为矩形. （2） 四边形 ADCE 为矩形，四边形 ADCE 面积为 163，CD=4 ADCD=4AD=163 AD=43 DAC=30 OA=OD=OC=OE ODA=OAD=30 AOD=1204、 （1）已知：如图 1，正方形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O. E、F 分别是边 AD、DC 上的点，若 AE=4cm，CF=3cm，且 OEOF，则 EF 的长 5（2）如图 2，若点 O 是正方形 ABCO 的一个顶点，且两个正方形的边长相等，将正方形 ABCO 绕点 O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个定值正方形ABCD 面积的四分之一 A B A D A E O O E D F CB F CB （图（图 1） C （图（图 2）思路点拨：思路点拨：（1）由已知可证）由已知可证DOECOFDOECOF ( (或或AOEDOF)AOEDOF) AE=DF=4，DE=CF=3 在 REDFEDF 中，根据勾股定理，就可求得中，根据勾股定理，就可求得EF=5.EF=5. （2 2）由已知可证）由已知可证BOECOFBOECOF ( (或或AOEBOF)AOEBOF) 所以重叠部分面积所以重叠部分面积=SOBC=SOBC （或（或 SAOBSAOB）= = S S 正方形正方形 ABCD.ABCD.六、中考达标梯级训练六、中考达标梯级训练 （一）选择题 1 （2016 无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( ) A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D邻边互相垂直 【答案】C 2、 （2016，绥化）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CE/BD，DE/AC.若 AC=4，则四边形 OCED 的周长（ ）A. 4 B. 8 C. 10 D. 12【答案】 B E E D D D D C CD D F F C C A A O O C C H H O OG G A A B BB B E EA A E E B B （2 2 题图）题图） （3 3 题图）题图） （4 4 题图）题图）3 （2016 内江）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ，AC=8，BD=6，OEBC,垂足为 E，则 OE 长 ( )A245 B. 125 C.5 D.4【答案】 B4 （2015 安徽）如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G、H 在对角线 AC 上若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是 ( )A25 B35 C5 D6 【答案】C二、填空题5 （2016，钦州）如图，菱形 ABCD 中，AB=4，线段 AD 的垂直平分线交 AC 于点 N，CND 的周长是 10，则 AC 的长 _.【答案】66 （2016 巴中）如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE=BD连结 AE，如果ADB=30，则E=_度【答案】157、如图所示的是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB=8，AD=7，点 E 为 AB 上一点，AE=5. 现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP） ，使点 P 落在长方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的边长【答案】5 或 52 或 45 B D C A D CN A D B C E A E B （5 题图） （6 题图） （7 题图）三、解答题8如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分BAD，交 BC于点 E，BF 平分ABC，交 AD 于点 F，AE 与 BF 交于点P，连接 EF，PD(1)求证：四边形 ABEF 是菱形；(2)若 AB=4,AD=6,ABC=60，求 tanADP 的值.A F D A H FD P P B E CBE C （8 图题）解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形ADBC,DAE= AEBAE 是角平分线，DAE= BAEBAE= AEB，AB=BE，同理 AB=AF，AF=BE，四边形 ABEF 是平行四边形，AB=BE，四边形 ABEF 是菱形；(2)作 PHAD 于 H，四边形 ABEF 是菱形ABC=60，AB=4，AB=AF=4,ABF= 30,APBF.AP=12AB=2，PH=3，DH =5,tanADP= PHD H=35.9(2016，无锡)已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CEAF连接DE、DF求证：DEDF F 【答案】 证明：四边形ABCD是正方形， A D ADCD,DABC90, FAD180DAB90. 在DCE和DAF中， B E CCDADCDAFCEAF) DCEDAF(SAS),（9图题） DEDF10(2016哈尔滨)已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点Q，DPAQ于点P求证：APBQ；在不添加任何辅助线的情况下，诸直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长A D 【答案】 解：正方形ABCD, P ADBA,BAD90，即BAQDAP90, DPAQ, E ADPDAP90,Q BAQADP,B C AQBE于点Q,DPAQ于点P，(10图题） AQBDPA90, AQBDPA(AAS)， APBQ. AQAPPQ， AQBQPQ， DPAPPQ， DPBQPQ.11(2016重庆一中)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点如图，若A45，AB，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交6于点F，求DE的长如图，若2AEB180BED，ABE60，求证：BCBEDE如图，若点E在CB延长线上时，连接DE，试猜想BED，ABD，CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论 E E A A A A A A E E F F E E D DB B D D B B D D B B C CC C C C 图图 1 1图图 2 2图图 3 3 （1111 题图）题图） 【答案】解：在菱形ABCD中,ABAD,ABDE6 1矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ） A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线平分一组对角 D对角线互相垂直 2、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AOB=60，AC=10，则AB= (第2题) （第3题） 3、已知菱形的两对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则菱形的面积为_cm2. 周长为_cm。 4.能判定四边形是正方形的是（） A. 对角线互相垂直且相等的四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形 C. 对角线相等的菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形二、引入真题、归纳考点【例 1】 （2016 年宜宾）如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD上的一动点，矩形的两条边 AB、BC 的长分别是 6 和 8，则 点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 （A）A.4.8 B.5 C.6 D.7.2【解析】如图，连接 OP，过点 P 分别作 PEAC 于点 E，PFBD 于点 F.由勾股定理得 AC=BD=10，OA=OD=5.SAOD= S矩形 ABCD=12，SAOD=SAOP+SDOP= OAPE+ ODPF= OA(PE+PF)=12，PE+PF=4.8.【例 2】如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为50cm2，则菱形的边长为 13 cm.【解析】如图，连接 AC，BD 相交于点 O.正方形 AECF 的面积为 50cm2，AE2=EC2=50.在 RtAEC 中，AE2+EC2=AC2，AC=10.四边形 ABCD 是菱形，ACBD 且 OA=0.5AC=5，OB=0.5BD，S 菱形 ABCD=0.5ACBD=120，BD=24，OB=12BD=12.ACBD，在 RtAOB 中，AB2=AO2+BO2=52+122=132.AB=13.【例 3】 （2016 年呼和浩特）如图，面积为 24 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中点 E、F、G 分别在 AB、BC、FD 上.若 BF= ，则小正方形的周长为 （C）第五讲第五讲 中考复习课中考复习课 几种特殊的平行四边形（几种特殊的平行四边形（1）南宁市武鸣区双桥镇中心学校 危琼妹复习目标： 1、进一步巩固矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定；2、灵活应用其性质、判定解决问题；重点难点：性质、判定的综合应用教学过程：一：知识梳理，再次巩固。二、例题分析：例 1、 （2015 南宁中考题，第 23 题，8 分）如图，在ABCD 中，E、F 分别是AB、DC 边上的点，且 AE=CF，（1）求证：ADECBF；2121214126 （2）若DEB=90，求证四边形 DEBF 是矩形. 例 2、 （2015 年北海、第 22 题，8 分）如图，已知 BD 平分ABF,且交 AE 于点D.(1)、求作: BAE 的平分线 AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法） ；（2） 、设 AP 交 BD 于点 O，交 BF 于点 C，连接 CD，当 ACBD 时，求证：四边形 ABCD 是菱形。三、课堂练习：（一） 、基础平台1、矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A、两组对边分别平行 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等2、下列命题中正确的是（ ）A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B、对角线互相垂直的四边形是菱形C、对角线相等的四边形是矩形D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形3、如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若AOB=60，AB=4cm，则 AC 的长为_cm 4、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 相交与点 O，添加一个条件 ，可使它成为菱形。5、如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上的一点，且 BP=BC，则ACP 的度数是 6、如图，菱形 ABCD 的周长为 16，ABC=120，则 AC 的长为 （第 3 题） （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题） （二） 、能力提高1、如图是“赵爽弦图” ，ABH、BCG、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形。如果 AB10，EF2，那 么 AH 等于 2、如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B处，若AE=2，DE=6，EFB=60，则矩形 ABCD 的面积是 （第 1 题） （第 2 题） 3、如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点。(1)、请判断OEF 的形状，并证明你的结论；（2） 、若 AB=13，AC=10，请求出线段 EF 的长。四、回归课本的练习（中考试题来源于课本）（八下课本 P69）第 14 题：如图，四边形 ABCD 是正方形，点点 E 是边是边 BC 的中点的中点，AEF=90，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F. 求证 AE=EF.(提示：取AB 的中点 G，连接 EG)D * *本题的变换题：本题的变换题：1、 （2014 年、南宁）25. （10 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点点 E 是边是边111BC 上一点上一点，点 F 在射线 CM 上，AEF=90，AE=EF，过点 F 作射线 BC 的垂线，垂足为 H，连接 AC.(1) 试判断 BE 与 FH 的数量关系，并说明理由；(2) 求证：ACF=90；(3) 连接 AF，过 A，E，F 三点作圆，如图. 若 EC=4，CEF=15，求 211AE 的长.2、 （2014 年、北海）25、 （10 分）如图，E 是正方形是正方形 ABCD 的边的边 BC 上的一个点上的一个点（E 与 B、C 两点不重合） ，过点 E 作射线 EPAE，在射线 EP 上截取线段 EF，使得 EF=AE；过点 F 作 FGBC 交 BC 的延长线于点 G.（1） 、求证： FG=BE;（2） 、连接 CF，如图，求证 CF 平分DCG；（3） 、当=时，求 sinCFE 的值. BCBE43 AD