第二章 一元二次方程-2 用配方法求解一元二次方程-用配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程-ppt课件-(含教案)-市级公开课-北师大版九年级上册数学(编号：11051).zip

一元二次方程一元二次方程教学设计教学设计一、内容和内容解析一、内容和内容解析1 1内容内容一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式2 2内容解析内容解析一元二次方程是方程在一元一次方程基础上 “次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式 ax2+bx+c=0（a0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a0 的条件是确保满足 “二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机二、目标和目标解析二、目标和目标解析1 1教学目标教学目标（1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念（2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式2 2目标解析目标解析（1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性（2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定 a0 的条件，完善一元二次方程的概念学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件 三、教学问题诊断分析三、教学问题诊断分析一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现 “次”的提升学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫本课的教学难点是一元二次方程的概念四、教学过程设计四、教学过程设计1 1创设情境，引入新知创设情境，引入新知教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答：问题问题 1 1这个方程属于我们学过的某一类方程吗？师生活动师生活动: :学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名【设计意图设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识问题问题 2 2这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？ 师生活动师生活动: :学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境【设计意图设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探求，在编制情境的过程中，他们将加深对一元二次方程概念的理解部分学生能够独立解决问题，自己编制情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的情境去列方程，或者阅读课本上的实际问题2 2拓宽情境，概括概念拓宽情境，概括概念给出课本问题 1、问题 2 的两个实际问题，设未知数，建立方程问题问题 1 如图 211-1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？教师引导学生思考并回答以下几个问题：全部比赛共有_场若设应邀请个队参赛，则每个队要与其他_个队各赛一场，全部比赛共有_ 场由此，我们可以列出方程_，化简得_问题问题 3 3 这些方程是几元几次方程？师生活动师生活动: :学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模将列得的方程化简整理，判断出方程的次数【设计意图设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习问题问题 4 4 这些方程是什么方程？师生活动师生活动: :观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式（1）一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程叫做一元二次方程（2）一元二次方程的一般形式是其中是二次项，a 是二次项系数；是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项【设计意图设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升3 3辨析应用，加深理解辨析应用，加深理解问题问题 5 5 请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程师生活动师生活动: :可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛地参与追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？【设计意图设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化了对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系，如下： 开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果问题问题 6 6 下列方程哪些是一元二次方程?例 1下列方程哪些是一元二次方程?（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）答案（2）（5）（6）师生活动师生活动: :用概念指导辨析，方程（3）与（4）同学们可能会产生争议，（3）帮助学生明确一元二次方程是整式方程，（4）体会化为一般形式的必要性，对 a0 条件加深认识【设计意图设计意图】补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识问题问题 7 7指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数例 2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：（1）；（2）师生活动师生活动: （1）将方程去括号得：，移项，合并同类项得：，其中二次项是，二次项系数是 3；一次项是，一次项系数是，常数项是教师应及时分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）（2）一元二次方程的一般形式是，过程略例 3关于 x 的方程，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？答案：时此方程为一元二次方程；，时此方程为一元一次方程【设计意图设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆4 4巩固概念，学以致用巩固概念，学以致用教科书第 4 页： 练习【设计意图设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况5 5归纳小结，反思提高归纳小结，反思提高请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其他方程，谈对一元二次方程概念的认识，反思学习过程中的典型错误6 6布置作业：布置作业：教科书习题 211复习巩固：第 1，2，3 题五、目标检测设计五、目标检测设计1下列方程哪些是关于 x 的一元二次方程（1）；（2）；（3）；（4）【设计意图设计意图】考查对一元二次方程概念的理解2关于的方程是一元二次方程，则（ ）A BC D【设计意图设计意图】考查的条件3将关于的一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数【设计意图设计意图】考查化简方程的能力，及对一元二次方程一般式的掌握情况知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾(1)(2)(3)=( + )2=( )2=( )2左边左边:所填常数等于一次项系数一半的平方所填常数等于一次项系数一半的平方.填上适当的数或式填上适当的数或式,使下列各等式成立使下列各等式成立.共同点：共同点： ( )2=( )2(4)观察，所填的常数与一次项系数之间有什么关系?问题1一桶油漆可刷的面积为一桶油漆可刷的面积为1500dm1500dm ，李林用这桶，李林用这桶油漆恰好刷完油漆恰好刷完1010个同样的正方体形状的盒子的个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？问题1经检验，经检验，5 5和和-5-5是方程的根，但是棱长不能是负值，是方程的根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为所以正方体的棱长为5dm.5dm.这种解法叫做什么这种解法叫做什么? ?直接开平方法直接开平方法归纳一般地，对于方程一般地，对于方程 （1）当）当P0时，方程有两个不等的实数根时，方程有两个不等的实数根（2）当）当P=0时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根（3）当）当P0时，方程没有实数根时，方程没有实数根探究你认为怎样解方程你认为怎样解方程 ？归纳：在解一元二次方程时通常通过归纳：在解一元二次方程时通常通过“ “降降次次” ”把它转化为两个一元一次方程把它转化为两个一元一次方程探究 移项两边加上32,使左边配成左边写成完全平方形式降次降次以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数行吗?像上面那样像上面那样,通过配成完全平方形式来解一通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法元二次方程的方法,叫做配方法叫做配方法.配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。 例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解解解:配方得：配方得：移项得：移项得：例题讲解例题讲解解解:二次项系数化为二次项系数化为1，得，得：移项得：移项得：配方得：配方得：例题讲解例题讲解解解:二次项系数化为二次项系数化为1，得：，得：移项得：移项得：因为实数的平方不会是负数，因为实数的平方不会是负数，配方得：配方得：所以所以x取任何实数时，（取任何实数时，（x-1)都是非负数，都是非负数，上式都不成立，上式都不成立， 即原方程无实数根即原方程无实数根归纳总结归纳总结一般地，如果一个一元二次方程通过配方转一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成化成 那么就有：那么就有：（1）当）当P0时，方程有两个不等的实数根时，方程有两个不等的实数根（2）当）当P=0时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根（3）当）当P0时，方程没有实数根时，方程没有实数根同步练习同步练习1同步练习同步练习2同步练习同步练习3教材第教材第9页练习页练习1,2课堂小结 在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？ 1.一般地一般地,对于形如对于形如x2=a(a0)的方程的方程,根据平方根的定义根据平方根的定义,可解得可解得 这种解一元二次方程的方法叫做这种解一元二次方程的方法叫做开平开平方方法法.课堂小结（2）移项（3）配方 （4）开平方（5）写出方程的解3、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的步骤：2、配方法：配方法： 通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法。(1)化二次项系数为1作作 业业这节课就到这里，下课！