1、123.1.2 平行线分线段成比例教学设计一、内容和内容解析本节选自义务教育课程标准实验教科书数学 （华师大版）九年级上册，是第 23 章图形的相似第 1 节第 2 课时的内容.平行线分线段成比例定理是全章的重点内容之一，是研究“相似三角形”的奠基理论.本节课研究相似三角形判定的起始课.重点是探究平行线分线段成比例的基本事实，并将其应用到三角形中获得推论，为后面探索三角形相似的判定方法铺垫.本节主要围绕着以下内容展开教学：1. 由画等边三角形的特例引入，启发学生直观猜想平行除了具有截等角的功能，还可以分线段成比例.再由过去关于两条平行线被一条直线所截的知识经验切入，提出问题：一组平行线被一条直
2、线所截、一组平行线被两条直线所截会产生什么数量关系？让学生感受知识的联系和扩充.2. 由平行线是等距的特殊情况到不等距的一般情况，抽象出一般化的基本事实；由基本事实的一般情况到两条被截线交于其中一条平行线上一点的特殊情况，抽象出基本事实在三角形中应用的结构模型（即推论） ；由推论的特殊情况（三角形中位线结构）中的相似提出一般化猜想，为下节课相似判定的引理的研究铺垫.本节课的内容属于图形与几何.在教学过程中，教师有意识地引导学生先在画图操作、观察图形的基础上提出合情猜想，再通过验证、论证加深学生对基本事实及其推论结构模型的理解，发展学生的直观想象.教师引导学生在经历一般化或特殊化的研究过程中，不
3、仅让学生感受到知识之间的内在联系，同时培养学生有逻辑地思考，鼓励学生创造性地思考，以数学的思维方式发现问题、认识问题、解决问题.二、教学目标分析1.知识与技能目标（1）了解相似三角形的概念.（2）了解相似三角形与全等三角形之间的关系.（3）掌握平行线分线段成比例的基本事实：通过具体图例体验基本事实的真实性、合理性；能用三种语言表达定理并能互译；能用基本事实进行计算和证明.（4）了解定理“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段的比相等”.2. 能力目标通过五个活动或问题（之间具有严密的逻辑联系） ，引导学生有方向、有逻辑地经历知识发生发展的过程，从而理解知识，感悟思
4、想，培养数学思考. 充分借助图形进行探究学习，发展直观想象.3. 方法与素养目标学生经历画图、观察、猜想、验证、论证等新知的学习过程，加深对基本事实及其推论结构模型的理解，发展了的直观想象. 在经历类比、转化、一般化或特殊化的研究过程中，有逻辑、创造性地思考，以数学的思维方式发现问题、认识问题、解决问题，提高了的逻辑推理的核心素养.学生通过相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形，以及平行线分线段成比例基本事实的探究，体验事物间特殊与一般的关系，感受数学充满着探索与创造，在师生、生生的交流活动中，学会合作学习，学会倾听、欣赏和感悟.三、教学问题诊断分析2九年级的学生思维活跃，对观察、猜想
5、、探索性的问题充满好奇.针对学生的心理特征，本课时对于平行线分线段成比例的基本事实适合设计探究活动，让学生感受到探索的乐趣.虽然学生已经学习了比例线段和两条平行线被第三条直线所截所产生相关的角的数量关系，但由于“平行线分线段成比例”这一基本事实从直观上很难发现，从“探究什么”到“基本事实是什么”以及“为什么是这样”的过程，对于学生而言是难点.教学中需启发引导学生经历画图、观察、猜想、验证、论证等新知的学习过程，加深对基本事实及其推论结构模型的理解.既关注知识的生成过程，也体现了循序渐近的教学原则.四、教学支持条件分析教师准备：幻灯片课件、实物投影仪、线型教具、几何画板等.学生准备：画图工具等学
6、用品，带横线的纸张，小组合作学习. 本文的“合作学习”均为“四人小组合作学习” ，笔者对本班“小组合作学习”制定相应的机制.五、教学过程设计问题与情境问题与情境师生行为师生行为设计意图设计意图【活动一】【活动一】创设情境，引入新知创设情境，引入新知目的：学生了解相似三角形的定义，提出本节课的研究目标.问题问题 1 1：同学们，这两个图形有什么关系？还记得相似多边形的定义吗？追问 1：研究相似多边形，我们可以从哪种图形研究起？追问 2：类比相似多边形，你能给相似三角形下定义吗？追问 3：相似比 k 体现了对应线段的数量关系，哪个 k 最特殊？问题问题 2 2：任意画一个等边三角形，请同学们画一个
7、和它相似的等边三角形，所画的图和该图的相似比 k 为 1：2，1：4，3：4.问题问题 3 3：我们都知道平行线具有截等角的功能，那么在一般图形中，你能否进行更大胆、更惊艳的猜想，平行线还有什么功能？教师 PPT 展示相似多边形等图片，引导学生温故知新.在学生类比相似多边形给相似三角形下定义之后，教师启发学生用符号语言表达，并进行正确的书写说明.对于相似比 k，学生由特殊的 k=1 联想到全等.教师强调与表示两个三角形全等类似，当表示两个三角形相似时，经常把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上，这样可以一目了然地知道它们的对应角和对应边.学生画图，教师启发学生思考： （1）怎么画？（2）为什么
8、这样画符合条件？引导学生思考为什么通过画平行线可以得到相似.学生展示所画的图形并说明为什么这样画会相似.教师展示课件并小结：对于等边三角形，当同学们画平行线时，可得到三个角相等，三条边对应成比例，从而得到相似.学生猜想，教师适实点拨并板书，指出今天学习的课题.以 直 观 图 形 为 起点，从一般到特殊引入本节内容.渗透类比的思想方法.创设情境激发学生思考.独立思考，学会思考是创新的核心.所画的不同相似比的图形激发学生直观猜想平行和线段的比存在着一定的关系，明确研究的方向.【活动二】【活动二】实践感悟，探究定理实践感悟，探究定理目的：探究平行线分线段成比例基本事实.我们先来探究下面的问题我们先来
9、探究下面的问题.教师启发学生回顾七年级所学的一条直线截两条平行线产生的角的数量关系，并以此为起点继续探究边的数量关系.以学生的最近发展3问题问题 1：在七年级时，我们已经学习了一条直线截两条平行线，这个图形中有没有边的比例关系？问题问题 2：如果再增加一条截线呢？问题问题 3：在问题 2 的基础上，如果再增加一条平行线呢？即一组平行线截两条直线.任意画两条直线 m，n，再画三条与 m、n 都相交的平行线l1，l2，l3. 将 l1，l2，l3在直线m，n 上截得的分线段记为 a，b，c，d，探究这四条线段成比例请同学们在带横线的纸上用红笔画图.（小组交流讨论）（小组交流讨论）若学生只画特殊的例
10、子，则若学生只画特殊的例子，则追问：追问：刚才同学们画的都是特殊的情况，那么更一般地，任意平移直线 l3，结论还成立吗？为什么？请同学们在空白的纸上画任意符合上述条件的图形，与小组的同学交流讨论.问题问题 4：对于一般的情况，你有什么办法说明猜想的合理性？问题问题 5：在上面得到的结论中，还有其它线段比相等吗？追求数学的简洁美问题问题 6：你能用简洁的文字语言来叙述上面所得到的结论吗？问题问题 7：在这个基本事实中，题设是什么，结论是什么？追问：如何理解“对应”？教师在黑板上教具演示.围绕着边成比例构造研究的图形.学生在带横线的纸上画图.在探究之前，教师再次和学生确认所研究的目标是什么.预估学
11、生在现有的横线上画图，会很快地得出等距或不等距的特殊值时对应线段成比例的关系；教师根据课堂生成情况，及时引导学生对于等距的情况，构造全等三角形证明线段相等.对于一般情况，预估学生从图形直观猜想、测量等方式说明发现的过程；学生可通过添加适当辅助线，将“不等距”问题化归到“等距”问题.教师根据学生的情况启发学生可以通过逻辑证明来说明结论的正确性，师生共同完成证明或留给学生课后思考.教师通过几何画板动画演示，精确测量验算，再次验证结论.学生独立思考和交流得到：BCEFABDE=，ABDEACDF=，BCEFACDF=，ABBCDEEF=等. 从直观上看：教师鼓励学生课后思考并进行证明.学生发言，对于
12、语言叙述不够规范的情况，教师仍然给予鼓励和表扬，若学生按照教科书上叙述的定理来回答教师提出的问题，这时教师紧紧抓住学生所说的“对应”两字，提出问题 7 让学生思考.教师课件展示基本事实内容并进行分析.定理中“对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被两条平行直线截得的线段对应” ，图中 AB 与 DE，BC 与EF，AC 与 DF 分别是对应线段.教师强调： “对应”隐含着数学的统一性和简洁性.不管图形中的字母如何表示，我们都能按“对应”写出它的全部相等的线段比或区为起点教学.课前准备（带横线的纸） ，快速准确画平行线.设置开放性问题激发学生思考.独立思考，学会思考是创新的核心
13、.渗透从特殊到一般以及化归与转化的基本思想.信息技术成为学生学习数学和解决问题的有力工具.合作学习，共同突破难点.小组展示不同的数据，学生更丰富地体验基本事实的真实性、合理性.归纳概括得到猜想和规律、并加以验证，是创新的重要方法.渗透数学的简单美和统一美.左上右上左下右下=左上左下左全右上右下右全=左上右上左全右全=4所需要的相等的线段比.利用平行线分线段成比例定理，可将一条直线上两条线段的比转移成另一条直线上两条线段的比.【活动三】【活动三】拓广分析，特例提升拓广分析，特例提升目的： 探索两条截线具有不同位置关系时图形的特征，从而将基本事实应用到三角形中.下面，我们继续探究这个基本事实的特殊
14、情况.教师：在这节课开始时，我们知道研究相似多边形，从研究相似三角形开始.问题：问题：请同学们以这个图形为基础，改变截线 m，n 的相对位置关系，使得这个基本事实运用到三角形中.教师鼓励学生充分利用身边的学用品（如笔）模拟截线构造不同特征的图形. 教师根据学生的情况适时启发示范一条截线不动平移另一条截线使得两条截线交点在一条平行线上的情形，教师运用几何画板和课件动画模拟演示，从此特殊图形中提炼出的三角形.对于所提炼出的三角形： （1）强调截线是哪一条；（2）启发学生得到对应线段成比例的结论，并再次强调图形中线段的“对应”关系.（3）转化为数学符号语言.教师板书推论：平行于三角形一边的直线截其他
15、两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例.教师说明这个结论可用来证明三角形中的对应线段的比相等.渗透从一般到特殊的基本思想.【活动四】【活动四】应用迁移，巩固应用迁移，巩固提高提高目的：应用基本事实进行计算和证明.练习：1.（课本 P31 第 1 题）如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G，且 AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE的值.2.(选)如图，DEAFBC，找出图中的成比例线段.学生完成练习，教师请学生回答，及时点评，练习 1 先应用平行线分线段成比例的基本事实判定线段成比例，然后求值.练习 2 请学生小组抢答.使学生能够用基本事实及推论进行计算和推理.第 1 题第
16、 2 题5【活动五】【活动五】独抒己见，说我所得独抒己见，说我所得目的：知识与方法的梳理，进一步理解本节课研究新知识的角度，激发探索欲望.问题问题 1：这节课你学习了什么？问题问题 2：回顾探究平行线分线段成比例基本事实的过程，我们是怎么探究的？问题问题 3：既然在三角形中有平行就有线段成比例，当平行线处于特殊位置（中位线）时，你发现了什么？学生分享体会，教师适时点拨.知识上归纳：（1）相似三角形的概念.（2）相似三角形与全等三角形之间的关系.（3）平行线分线段成比例的基本事实.（4）定理“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段的比相等”.若学生在问题 1 时没有
17、小结探究的过程，教师通过问题 2 启发学生回顾刚才经历的画图、观察、测量、猜想、验证等数学活动.在探究的过程中，运用了化归与转化、特殊与一般等思想方法.同时，教师可以根据课堂情况引导学生将本节所学知识整理成知识网络.教师启发学生应用结论获得当平行线处于特殊位置（中位线）时边的比值情况，推理得到三角形相似.进一步追问，如果这条平行线不是在中位线的位置，还会相似吗？这就是下一节课我们即将学习的内容，有兴趣的同学可以提前预习.设置开放性问题，让有不同收获的学生畅所欲言，培养学生善于反思的学习方式.为后续新知学习积累基本活动体验.通 过 梳 理 知 识 结构，有利于学生形成 良 好 的 认 知 结构，便于记忆和检索.从特殊到一般提出问题，激发学生探究的欲望，为下节课学习铺垫.【活动六】【活动六】分层作业，各有所获分层作业，各有所获目的：课后自我检测新知识的掌握情况.必做：完成校本作业.选做：除平行线分线段成比例基本事实的推论外，你还能想出其他拓广情况或特殊情形吗？让不同的学生在数学上获得不同的发展.?E?D?A?B?C
