1、6.4.3 6.4.3 正弦正弦定理定理一、一、创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入情景一：情景一：如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离测量者在B的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出两点间B，C的距离24 m，ACB=90，ABC=45，求A，B两点间的距离BCA情景二：情景二：如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间的距离测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是24 m， B=45，C=60，根据这些数据能解决这个问题吗？一、一、创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入问题问题1：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形
2、的公式如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？二、积极诱导，生成猜想二、积极诱导，生成猜想探究：探究：直角三角形ABC中，角A，B，C所对的边长分别为用a， b，c表示，怎样用a， b，c表示角A，B，C的正弦？sinsinabABcc，cBbAasinsin1sinCCcBbAasinsinsin=思考思考 对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？二、积极诱导，生成猜想二、积极诱导，生成猜想BCA实验实验1实验实验2猜想猜想对于任意的斜三角形，也存在以下边角数量关系：二、积极诱导，生成猜想二、积极诱导，生成猜想sinsinsinabcABC在等边三角形ABC中，验
3、证 是否成立在钝角三角形ABC中，A=120，B = C=30验证 是否成立sinsinsinabcABC.sinsinsinabcABC问题问题2：如何证明：在三角形中，角与所对的边满足关系?sinsinsinabcABC 思考思考 我们希望获得ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究三、师生互动，论证猜想三、师生互动，论证猜想 在锐角三角形中在锐角三角形中.的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与ABjCBjACjC 90A 9090由向量加法的三角形法则，得.ACCBAB ，垂直于作单位向
4、量过点ACjABACabcj三、师生互动，论证猜想三、师生互动，论证猜想 在锐角三角形中在锐角三角形中BACabcj三、师生互动，论证猜想三、师生互动，论证猜想cos90cos(90)cos(90).jACj CBCjABA sinsin.sinsinacaCcAAC 即，.sinsinCmCBcbCB 同理，过 点作 垂直于，得 .sinsinsinabcABC在锐角三角形中有m90 .AAACjjABjCB 设过点 作与垂直的单位向量，则 与的夹角为_，与的夹角为_.90A90C请同学们完成后面证明请同学们完成后面证明!三、师生互动，论证猜想三、师生互动，论证猜想 在钝角三角形中在钝角三角
5、形中正弦定理（正弦定理（law of sines） 在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即四、定理解读，突出重点四、定理解读，突出重点 问题问题3：我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？1已知三角形的任意两个角与一边，解三角形BAbasinsinBbaAsinsin2已知三角形任意两边与其中一边的对角，解三角形sinsinsinabcABCsinsinsinabcABC四、定理解读，突出重点四、定理解读，突出重点 问题问题4 4：如何应用正弦定理来解决一一下课首提出的问题？五、学以致用，拓展创新五、学以致用，拓展创新例例1 （开头引例）（开头引例）如下图所示，在ABC中，BC=24，B=45，C=60，求AB五、学以致用，拓展创新五、学以致用，拓展创新例例2 在ABC中，已知A=15，B=45， ，解这个三角形33c 五、学以致用，拓展创新五、学以致用，拓展创新例例3 在ABC中，已知B=30， ，c=2，解这个三角形2b sinabACbsinbabACbsinababACbBsinab或 有一个解absinab时无解sinbab时有两个解五、学以致用，拓展创新五、学以致用，拓展创新问题问题6：为什么角C 有两个值？通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈六、反思总结，提炼收获六、反思总结，提炼收获再再 见见
