1、6.2.4 6.2.4 向量的数量积向量的数量积（2）问题1 向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？ ab=|a|b|cos，其中为向量a与b的夹角与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究一下数量积运算是否满足一些运算律一、复习引入复习引入设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1) ae= ea =|a|cos(2)ab ab=0(3)当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab=-|a|b| 特别地，aa=|a|2或|a|= (4)|ab|a|b|（由|cos|1得到）a a问题2 类比数的乘法运算律，结合向量的线性运
2、算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？二、二、创设问题情境，引入数量积运算律创设问题情境，引入数量积运算律由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量a，b，c和实数，有ab= ba； (a)b=(ab)= a(b)；(a+b)c=ac + bc|a+b|cos e =|a|cos1 e +|b| cos2 e|a+b|c| cos=|a|c| cos1+|b|c| cos2二、二、创设问题情境，引入数量积运算律创设问题情境，引入数量积运算律(a+b)c=ac + bc证明证明向量的向量的分配律：分配律：证明：证明：如图，任取一点O，作 =a， =b， =c， =a+
3、b设a，b，a+b与c的夹角分别为1，2，它们在c上的投影分别为 ， ， ，与c方向相同的单位向量为e，则 =|a|cos1 e， =|b| cos2 e， =|a+b|cos e因为a= ，所以 ，则 ，即OA OB OCOD1OA1OB 1OD 1OA1OB 1OD BD 111OAB D111111ODOBB DOBOA (a+b)c=ac + bc追问：设a，b，c是向量，(ab)c=a(bc)一定成立吗？为什么？ 对于实数a，b，c，有(ab)c=a(bc)；但对于向量a，b，c，(ab)c=a(bc)不一定成立这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的
4、向量，而c与a不一定共线，所以(ab)c=a(bc)不一定成立二、二、创设问题情境，引入数量积运算律创设问题情境，引入数量积运算律例1 我们知道，对任意a，bR，恒有 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；（2）(a+b)(a-b)=a2-b2（1）(a+b)2 =(a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb =a2+2ab+b2；（2）(a+b)(a-b) =aa-ab+ba-bb =a2-b2三、三、例题分析与知识巩固例题分析与知识巩固解：例2 已知|a|=6，|b|=4，a与b
5、的夹角为60，求(a+2b)(a-3b)解：(a+2b)(a-3b) =aa-3ab+2ba-6bb =|a|2-ab-6|b|2 =|a|2-|a|b|cos-6|b|2 =62-64cos60-642 =-72三、三、例题分析与知识巩固例题分析与知识巩固例3 已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？三、三、例题分析与知识巩固例题分析与知识巩固解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是 (a+kb)(a-kb)=0， 即a2-k2b2=0 因为 a2=32=9，b2=42=16，所以 9-16k2=0 因此 k= 也就是说，当k= 时，a+kb
6、与a-kb互相垂直3434教科书第22页练习四、四、课堂课堂练习练习五、小结提炼五、小结提炼问题3 通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈习题6.2第12，18，19，24题六六、布置作业布置作业（1）向量的夹角的范围是什么？判断向量夹角需要注 意什么？（2）一个向量在另一个向量上的投影是数还是向量？ 怎么用投影向量转化向量数量积的运算？（3）说说向量的数量积是如何定义的（4）你能通过实例，说明向量的数量积有哪些运算律 吗？这些运算律的几何意义是什么？这些运算律 与数的运算律的联系与区别是什么？七、单元小结七、单元小结目标检测设计目标检测设计1设向量a，b满足 ， ，则 ab=（ ）A1 B2 C3 D5 2设向量a，b满足|a|=|b|=1，ab- ，则|a+2b|= 3若平面向量a与 b 满足：|a|=2，|b|=1，|a+b|= ，则a与b的夹角 为 10ab6ab147再再 见见达标检测小结：数量积运算律数量积运算律(1)a bb a （交换律）（交换律）(2)()()()aba bab （数乘结合律）（数乘结合律）(3)()abca cb c （分配律）（分配律）
