1、试卷主标题试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共一、选择题（共 1212 题）题）1、 已知集合，则= （）A B C D 2、 已知扇形的圆心角为 120 ，半径为 3 ，则扇形面积为（）A B C D 3、 已知，则（ ）A B C D 34、 把物体放在冷空气中冷却， 如果物体原来的温度为， 空气的温度是， 那么分钟后物体的温度（单位）可由公式：求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数 . 现有 100 的物体， 放在 20的空气中冷却， 4 分钟后物体的温度是 60，则再经过（ ）分钟，物体的温度是 40（假设空气的温度保持不变） .A 2 B 4 C 6 D
2、85、 已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（ ）A B C D 6、 如图所示，在中，在线段上，则边的长为（ ）A B C D 7、 已知，则实数为（ ）A B 2 C D 8、 当函数的图象经过的象限个数最多时，实数的取值范围为（ ）A B C D 9、 下列有关说法正确的是（ ）A 当时，B “” 是 “” 的必要不充分条件C 若函数的定义域为，则D 命题 “，” 的否定是 “，”10、 在中，角、所对的边分别为、，已知，则下列说法正确的是（ ）A 若，则无解 B 若，则恰有一解C 若，则有两解 D 若，则有两解11、 已知函数，其中是
3、自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）A 是奇函数 B 是的周期C 在上单调递减 D 在上有 2 个极值点12、 函数满足，且在上单调，若在上存在最大值和最小值，则实数可以是（ ）A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 题）题）1、 函数的图象在处的切线倾斜角为 135 ，则实数_.2、 函数，则不等式的解集为 _.3、 若函数在上单调递增，则a的取值范围是_ 4、在中， 角，所对的边分别为， ， 且， 则的取值范围是 _.三、解答题（共三、解答题（共 6 6 题）题）1、 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点.（ 1 ）求，；（ 2 ）若角满足，求的值
4、 .2、在中， 角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 且.（ 1 ）求角的大小；（ 2 ）若，求的值 .3、 如图， 在三棱锥中，是正三角形，是等腰直角三角形，.（ 1 ）求证：；（ 2 ）若点为的中点，求与平面所成角的大小 .4、 已知函数，其中.（ 1 ）当时，求在区间上的值域；（ 2 ）若关于的方程有两个不同的解，求a的取值范围 .5、 已知椭圆：的长轴为，动点P是椭圆上不同于A，B的任一点，点Q满足，.（ 1 ）求点Q的轨迹的方程；（ 2 ）过点的动直线l交于M，N两点，y轴上是否存在定点S，使得总成立？若存在，求出定点S；若不存在，请说明理由 .6、 已知函数，.（
5、1 ）讨论函数的单调区间；（ 2 ）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围 .=参考答案参考答案=一、选择题一、选择题1、 D【分析】先求解集合，再运算.【详解】，故选： D2、 B【分析】把圆心角化为弧度，然后由面积公式计算【详解】故选： B 3、 D【分析】根据函数性质，代入自变量，结合指对数运算求得结果 .【详解】，故选： D 4、 B【分析】根据题意将数据，代入，可得，再将代入即可得，即可得答案 .【详解】由题意知：，代入得：，解得所以当时，解得：，所以，所以再经过分钟物体的温度是 40，故选： B【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题 .5、 B
6、【分析】由周期求得，写出平移后的函数解析式，然后代入，结合正弦函数对称轴得出的表达式，再求出最小的正数【详解】由题意，即，将其图象沿轴向右平移个单位，得图象的函数式为，图象关于直线对称，则，因为，所以的最小值为故选： B 6、 D【分析】利用余弦定理求得，由此求得，进而求得，利用正弦定理求得.【详解】在三角形中，由余弦定理得，所以，由于，所以.在三角形中，由正弦定理得.故选： D【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题 .7、 A【分析】根据诱导公式、正弦、余弦的和角公式化简原式为，由此可得答案 .【详解】因为，所以，整理得，所以，所以，所以，故选： A.8、 B【分析】令
7、，求导函数，分，三种情况，讨论导函数的符号，得出所令函数的单调性，继而得出函数的图象所经过的象限，再令，分析函数的奇偶性，由此可得选项 .【详解】解：令，则，当时，的图象经过第三、 四象限， 当时， 令， 得或，当时，或时，单调递减，时，单调递增，又，所以的图象经过第二、第三、四象限；当时，或时，单调递增，时，单调递减，又，当时，的图象经过第一、第二、第三、四象限，共四个象限，此时，解得；令，则，且，所以函数是奇函数，且，所以当时，函数的图象经过四个象限，故选： B.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值、最值问题、方程的根的问题、以及函数的图象问题等重要而有效的工具本题就是以含参数的
8、函数解析式为背景，考查导函数知识在研究函数图象、单调性、极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力9、 BC【分析】对于 A ，举例判断即可，对于 B ，利用充分条件和必要条件的定义判断即可，对于 C ，由或可求出的取值范围，对于 D ，特称命题否定为全称命题即可【详解】对于 A ，令，则，所以 A 错误，对于 B ，当，时，有，而当时，有，所以 “” 是“” 的必要不充分条件，所以 B 正确，对于 C ， 因为函数的定义域为， 所以当时， 满足题意， 当时，即，解得，综上，所以 C 正确，对于 D ，命题 “，” 的否定是 “，” ，所以D 错误，故选： BC10、 ABC【分析】利用正弦
9、定理求出的值， 然后根据三角形中大边对大角及三角形的内角和为求角，从而判断三角形解的个数 .【详解】选项 A ：由正弦定理，得，所以无解，选项 A 正确；选项 B ：由正弦定理，得，所以，即恰有一解，所以选项 B 正确；选项 C ：由正弦定理，得，因为，且，所以或，即有两解，所以选项 C 正确；选项 D ：由正弦定理，得，因为，所以，所以，即有一解，所以选项 D 错误 .故选：.11、 AD【分析】根据奇偶性、周期性的定义判断 AB ，利用单调性定义判断 C ，根据导数知识判断 D 【详解】，函数为奇函数， A 正确；由于是周期为的周期函数，但不是周期函数，因此，不是的周期（实际上它不是周期函
10、数）， B 错误；且的图象是连续的，因此在上不是单调函数，所以在上不可能是减函数， C 错误；在上是减函数，在上是增函数， 且时，设，则，所以，即，所以在上是减函数，无极值点（此时也可由得是减函数），不是极值点在上，由得，是增函数，是减函数，所以是增函数，时，时，因此在上，有唯一零点，时，所以，递增，时，则，递减，是的一个极值点（极大值点），所以在上有一个极值点，而是奇函数，因此它在上也有一个极值点，因此在上有两个极值点 D 正确故选： AD 12、 AD【分析】由条件可得，又利用余弦函数的性质可求，再结合条件得或，即得 .【详解】 函数在上单调，又函数满足，且，所以为函数对称轴，即，故当时，
11、当时，在上存在最大值和最小值，或，或.故选： AD.二、填空题二、填空题1、 -2【分析】求导函数，由已知得，解之可得答案 .【详解】解：因为，所以，所以，解得，故答案为：.2、【分析】确定函数的奇偶性与单调性后，利用这些性质解不等式【详解】显然，是偶函数，时，是增函数，所以不等式等价于，即，解得故答案为：3、【分析】函数是由和复合而成， 分别讨论和时的单调性，进而可得在上的单调性，再由对于恒成立，由二次函数的性质即可求解 .【详解】函数是由和复合而成，当时单调递增，若函数在上单调递增，则在上单调递增，且对于恒成立，的对称轴为所以解得：，当时单调递减，若函数在上单调递增，则在上单调递减，且对于
12、恒成立，的对称轴为所以解得：，综上所述：a的取值范围是，故答案为：4、【分析】由余弦定理，正弦定理得出，再由正切和角公式将化为，根据角B的范围可得出答案 .【详解】由题意得，根据余弦定理得，所以由正弦定理得，即，化简得，又，所以，又，所以故答案为：.三、解答题三、解答题1、 （ 1 ），；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）利用三角函数的定义求，对用诱导公式转化后求解；（ 2 ）由（ 1 ）先求出，利用两角和的正切公式求出.【详解】解：（ 1 ） ， ，.（ 2 ）由（ 1 ）得：.即【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)
13、 利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如等2、 （ 1 ）（ 2 ）【分析】（ 1 ）利用正、余弦定理处理，即可得出答案（ 2 ）展开， 结合， 和第一问计算出的角 B 的大小， 即可得出 A的值，结合正弦定理，代入，即可【详解】（ 1 ） 角的对边分别为，且， 由正弦定理得：， ，.（ 2 ） ， 由正弦定理得：，.【点睛】本道题考查了正余弦定理，难度较大3、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）取的中点，连接、，证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（ 2 ）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成
14、角的大小 .【详解】（ 1 ）证明：取的中点，连接、.由题设可知，是等腰直角三角形，且，则，所以，因为是正三角形，所以，又，则平面，平面，因此，；（ 2 ）在中，又，而，所以，故，由题设及（ 1 ）知，平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则、.为的中点，得，故，设是平面的法向量，则，即，取，则，因为，所以与平面所成角的大小为.4、 （ 1 ）；（ 2 ）或.【分析】(1) 代入化简函数，根据正弦函数的值域可求得答案；(2) 将问题等价于关于有两个不同的解分和两种情况由一元二次方程的根的分布建立不等式组可求得a的取值范围 .【详解】(1) 当时，的值域为；(2
15、)关于有两个不同的解，关于有两个不同的解，设在有两个不同的解， 当，不符合题意 . 当时，在内有两个不同的解，令，或.【点睛】本题考查正弦函数的值域，一元二次方程的根的分布，属于较难题 . 在解决一元二次方程的根的分布问题时，常需考虑方程的根的判别式，对称轴，方程所对应的二次函数的特殊点的函数值的正负等方面 .5、 （ 1 ）（）；（ 2 ）存在，.【分析】（ 1 ）设（），根据，由，利用代入求解 .（ 2 ）设，假设存在这样的点, 当直线l的斜率存在时，设方程为与椭圆方程联立，根据， 由， 结合韦达定理求解 .【详解】（ 1 ）设（），解得代入，得点Q的轨迹的方程为（） .（ 2 ）设，假设
16、存在这样的点满足，当直线l的斜率存在时，设为，代入椭圆中，得，即，即,，即；当斜率不存在时，直线l也过.综上，y轴上存在定点，使得总成立 .【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题 .6、 （ 1 ）答案见解析；（ 2 ）.【分析】（ 1 ） 求导函数， 分和两种情况，分析导函数的符号， 可得出原函数的单调区间；（ 2 ）原不等式等价于对任意的恒成立，令，求导函数，分，三种情况讨论其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，可求得实数的取值范围 .【详解】解：（ 1 ）， 当时，恒成立，则在 R 上单调递增； 当时，时，的单调递增
17、区为；时，的单调递减区间为.（ 2 ）对任意的恒成立，即对任意的恒成立 .令， 当时，在恒成立，在上单调递减 . 只需，即，矛盾 . 当时，在上单调递增，在上单调递减 .所以只需，即， ； 当时，在上单调递减， 在上单调递增， 在上单调递减 .； ，综上，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛： 1 、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题 , 关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的； 2 、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到； 3 、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式 .总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现 .
