1、2019201920202020 学年度第二学期高一级数学科学年度第二学期高一级数学科期中考试卷期中考试卷考试时间：考试时间：120120 分钟分钟一选择题（共一选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分）分）1.若函数1(1)30,xf xaaa的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则tan的值等于（）A. 2B.12C. 2D.12【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的平移变换可得定点P的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.【详解】因为函数xya的图象经过定点(0,1)，所以函数1(1)30,xf xaaa的图象经过定点( 1, 2)P ，因为点( 1, 2)P 在角的
2、终边上，所以2tan21.故选：A.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，考查了三角函数的定义，属于基础题.2.已知倾斜角为的直线l与直线230 xy垂直，则2019cos2的值为（）A.55B.2 55C.2D.12【答案】B【解析】【分析】由题意可求得tan2= -，由同角三角函数基本关系式可得sin.根据三角函数的诱导公式化简2019cos2，即可求值.【详解】倾斜角为的直线l与直线230 xy垂直，1tan1,tan2,0,22 = = - - = = - - .sin1tan2,cossincos2 代入22sincos1，解得2 5sin5.20192 5co
3、scos 1009cossin2225 .故选：B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系、同角三角函数基本关系式和三角函数的诱导公式，属于基础题.3.已知AB =(2,3)，AC=(3，t)，BC =1，则AB BC =A. -3B. -2C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出 t，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BCACABt ，221(3)1BCt ，得3t ，则(1,0)BC ，(2,3) (1,0)2 1 3 02AB BC 故选 C【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大4.已知 sincos43，(0,)4，则 sinco
4、s的值为()A. 23B.13C.23D. 13【答案】A【解析】【分析】等式两边平方，求出 2sincos的值，利用0,4，判断出 sincos小于 0，再利用同角三角函数间基本关系开方即可【详解】sin+cos=43，（sin+cos）2=sin2+cos2+2sincos=1+2sincos=169，所以 2sincos=79又因为 04，所以 0sincossincos0，（sincos）2=sin2+cos22sincos=12sincos=29，则 sincos=23故选 A【点睛】 此题考查了同角三角函数基本关系的运用， 熟练掌握 sin cos ， sincos基本运算关系是解
5、本题的关键，注意角的范围，属于基础题.5.下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A.f(x)=cos 2xB.f(x)=sin 2xC.f(x)=cosxD.f(x)= sinx【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养画出各函数图象，即可做出选择【详解】因为sin |yx图象如下图，知其不是周期函数，排除 D；因为coscosyxx，周期为2，排除 C，作出cos2yx 图象，由图象知，其周期为2，在区间(,)4 2 单调递增，A 正确；作出sin2yx的图象，由图象知，其周期为2，在区间(,)4 2 单调递减，排除 B，故选 A
6、【点睛】利用二级结论：函数( )yf x的周期是函数( )yf x周期的一半；sinyx不是周期函数；6.已知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数， 将 yf x的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像对应的函数为 g x.若 g x的最小正周期为2，且24g，则38f（）A.2B.2C.2D.2【答案】C【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出,A 值即可【详解】因为( )f x为奇函数，(0)sin0=,0,fAkk，0；又12( )sin,2 ,122g xAxT2，2A ，又()24g( )2sin2f xx，3()2.8f故选 C【点睛】
7、本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 g x7.在ABC中，点D在线段BC上，且2BDDC，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若1AOxABx AC ，则x的取值范围是（）A.0,1B.2,13C.10,3D.1 2,3 3【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算法则和共线定理即可得出【详解】1AOxABx ACx ABACAC ，即COx CB .COxCB ，2BDDC ,即3BCDC ,103CDxCB ，x的取值范围是10,3，故选 C.【点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：, ,A B C三点共线ABAC ；O为平面上任一点，, ,A B C三点共线
8、OAOBOC ，且1.8.函数y=2xsin2x的图象可能是A.B.C.D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在( ,)2上的符号，即可判断选择.详解：令| |( )2 sin2xf xx，因为,()2sin2()2 sin2( )xxxR fxxxf x ，所以| |( )2 sin2xf xx为奇函数，排除选项 A,B;因为(,)2x时，( )0f x ，所以排除选项 C，选 D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路： （1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的
9、奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复9.已知2abrr，0a b ，12cab，2dc ，则d 的取值范围是（）A.0,2 2B. 0，2C.0,2D. 0，1【答案】A【解析】【分析】根据已知平面向量互相垂直建立直角坐标系，然后根据平面向量坐标表示公式，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】设,OAa OBb ，因为0a b ，所以以OA 、OB 所在的直线为横轴、纵轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为2abrr，所以(2,0), (0,2)AB，因此(2,0),(0,2)OAaOBb ，因为11(20,02)(1,1)22cOCab，即点(1,1)C.设(
10、, )dODx y ,(1,1)dcxy ，因为2dc ，所以22(1)(1)2xy，所以点D在以点(1,1)C为圆心，2为半径的圆上，而22dxy 表示圆C上的点到原点的距离，圆心(1,1)C到原点的距离为22112，显然原点在圆C上，由圆的几何意义可知，最大距离等于222 2，最小距离为 0，故选：A【点睛】本题考查了利用几何意义求平面向量模的最值问题，考查了平面向量坐标表示公式的应用，考查了数学运算能力和数形结合能力.10.在Rt ABC中，90C，2CB ，4CA，P在边AC的中线BD上，则CP BP 的最小值为（）A.12B.0C.4D.1【答案】A【解析】【分析】本题可设BPBD
11、，然后将,CP BP 用向量,CD CB 作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题【详解】解：由题意，画图如下：可设BPBD ，BDCDCB ，| 2,| 2CDCB ，cos,0CD CB ()BPBDCDCB ，()(1)CPCBBPCBCDCBCDCB (1)()CP BPCDCBCDCB 222|(1)|CDCB 244 (1)284由二次函数的性质，可知：当14时，CP BP 取得最小值12故选：A【点睛】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题11.已知函数( )sinsin3 ,0,2f x
12、xx x，则( )f x的所有零点之和等于A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据函数的零点的定义，令( )0f x ，得sinsin30 xx，根据三角恒等变换的公式，求解方程的根，即可得到所有的零点之和，得到答案.【详解】由已知函数( )sinsin3 ,0,2f xxx x，令( )0f x ，即sinsin30 xx，即2sinsin3sincos2cos sin2sincos22sincosxxxxxxxxxx，即2sin (cos22cos1)0 xxx，解得sin0 x 或2cos22cos10 xx ，当sin0,0,2xx时，0 x 或x或2x；当2co
13、s22cos10 xx 时，即222cos2cos20 xx，解得2cos2x ，又由0,2x，解得4x或34或54或74，所以函数( )f x的所有零点之和为3570274444，故选 B.【点睛】本题主要考查了函数的零点问题的综合应用，其中解答中熟记函数的零点的概念，以及熟练应用三角函数恒等变换的公式，求解方程的根是解得关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.12.已知 A，B，C，D 是函数sin0,02yx一个周期内的图象上的四个点，如图所示，,06A，B 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B
14、与 D 关于点 E 对称，CD 在 x 轴上的投影为12，则，的值为()A. 2，3B. 2，6C. 12，3D. 12，6【答案】A【解析】试题分析：依题意，,所以，因为,所以，所以，选 A.考点：三角函数的图像与性质点评：本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力二填空题二填空题13.设向量3, 4a ，,8abtrr，1, 1c ，若/b c ，则t _.【答案】15【解析】【分析】根据向量的坐标运算，求得()(3,12)babat，再根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量3, 4a ，,8abtrr，可得()( ,8)(
15、3, 4)(3,12)babatt，又由1, 1c ，因为/b c ，可得1 12( 1) (3)0t ，解的15t .故答案为：15.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量的共线条件的坐标表示，着重考查运算与求解能力，属于基础题.14.已知函数 1 223f xsinx ，,4 2x 若不等式 2f xm在,4 2x 上恒成立，则实数m的取值范围为_.【答案】1,【解析】【分析】求出 maxf x，不等式 2f xm在,4 2x 上恒成立，只需 max2f xm，即可求实数m的取值范围.【详解】21,2,sin 2,14 236332xxx ， 2,3f x.不等式 2f xm在
16、,4 2x 上恒成立，即不等式 2f xm在,4 2x 上恒成立， max2f xm，32,1mm .故答案为：1,.【点睛】本题考查利用三角函数的最值求参数，属于中档题.15.设函数( )sin()f xAx（,A 是常数，0,0A）.若( )f x在区间,6 2 上具有单调性，且2()()()236fff ，则( )f x的最小正周期为_.【答案】【解析】【详解】由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，即，所以，解得，故答案为.考点：函数的对称性、周期性，属于中档题.16.已知函数 2sin 26f xx，记函数 fx在区间,4t
17、t上的最大值为M，最小值为m，设函数 tth tMm.若5,12 12t，则函数 h t的值域为_.【答案】1,2 2【解析】【分析】根据( )f x的单调性，通过,12 6t和5,6 12t分别求解( )h t的表达式，然后根据表达式可得( )h t的值域.【详解】 2sin 26f xx，( )f x在,36kk上单调递增， 在2,63kk上单调递减， 其中kZ.52,12 12433tt 当,12 6t时，( )f x单调递增，最大值为 2，当5,43 12t时，( )f x单调递减，最小值为2sin 22cos 2266tt，此时( )22cos 2,612 6h ttt；,12 6t
18、，2,63 2t ，1cos 20,62t，即可得函数( )h t的值域为1,2 ；当5,6 12t时，( )f x单调递减，最大值为2sin 26t，当52,4123t时，( )f x单调递减，最小值为2sin 22cos 2266tt，此时( )2sin 22cos 22 2sin 26612h tttt；53,2,6 121244tt，2sin 2,1122t，即可得函数( )h t的值域为2,2 2；综上可得函数( )h t的值域为1,2 2，故答案为:1,2 2.【点睛】本题主要考查三角函数的值域问题，整体换元意识是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三解答题三解答题17
19、.某同学用“五点法”画函数( )sin()(0,)2f xAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02322x356sin()Ax0550（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数( )f x的解析式；（）将( )yf x图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到( )yg x的图象若( )yg x图象的一个对称中心为5(,0)12，求的最小值【答案】 （）( )5sin(2)6f xx； （）6【解析】（）根据表中已知数据，解得5,2,6A 数据补全如下表：x02322x123712561312sin()Ax05050且函数表达式为( )5sin
20、(2)6f xx（）由（）知( )5sin(2)6f xx，得( )5sin(22)6g xx因为sinyx的对称中心为( ,0)k，kZ令226xk，解得212kx，kZ由于函数( )yg x的图象关于点5(,0)12成中心对称，令521212k，解得23k，kZ由0可知，当1k 时，取得最小值6考点：“五点法”画函数( )sin()(0,)2f xAx在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质18.（1）已知4tan3 ，求2sin2sincos的值（2）在三角形ABC中，点P是AB上一点，且2133CPCACB ，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CMtCP ，求实数
21、t的值【答案】 （1）825； （2）34.【解析】【分析】（1）由222222sin2sincostan2tansin2sincossincostan1即可求值；（2）由2133CPCACB 可得2APPB ，即P为AB的一个三等分点（靠近A点）. 设AMAQ ，则222CMAMACAQACABAC ，又3tCMtCPt APACABtAC ，由,AB AC 不共线，可得2,232tt ，即求实数t的值【详解】 （1）4tan3 ，2222sin2sincossin2sincossincos22168tan2tan89316tan12519 .（2）如图所示2133CPCACB ，32CPC
22、ACB ，即22CPCACBCP ，2APPB ，即P为AB的一个三等分点（靠近A点）.又A、M、Q三点共线，且Q是BC的中点，1122AQABAC .设AMAQ ，则1122222CMAMACAQACABACACABAC ，又133tCMtCPt APACtABACABtAC .,AB AC 不共线，2322tt ，解得3412t，34t .【点睛】本题考查三角函数式求值，考查平面向量基本定理，属于中档题.19.已知向量21amx,-，1,1bxmx（m是常数） ，且 1f xa b .（1）若 fx是奇函数，求m的值；（2）设函数 22xxg xf，讨论当实数m变化时，函数 g x的零点个
23、数【答案】 （1）0m .（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标定义，结合奇函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）的结论得到函数 g x的解析式，结合零点定义、一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解： （1）由题意知，211mxxa bxmxmx ，因此当0 x 且1mx 时，有 11mxf xmxx.由题设，对任意的不为零的实数x，都有 fxfx ，即11mmxx 恒成立，所以0m ；（2）由（1）知， 22xg xmx，则 0g x 2240 xmx，244m 所以当2440m 时，即当2m或2m 时，函数 g x有两个零点；当2440m 时，即当2m 时，函
24、数 g x有一个零点；当2440m 时，即当22m 时，函数 g x没有零点因此有当2m或2m 时，函数 g x有两个零点；当2m 时，函数 g x有一个零点；当22m 时，函数 g x没有零点【点睛】本题考查了已知函数是奇函数求参数取值问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了判断函数零点个数问题，考查了数学运算能力.20.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量(2,1)a ，(1,0)A，(cos , )Bt.（1）若/ /aAB ，且5ABOA ，求向量OB 的坐标.（2）若/ /aAB ，求22coscosyt的最小值.【答案】(1)( 1, 1)OB (2)15【解析】【分
25、析】（1）根据向量共线定理和模长计算公式，即可得出（2）将cos12tq-=代入22coscosytqq=-+，结合二次函数求出最值【详解】 解： （1）cos1,ABt ，又/ /aAB ，2cos10t cos12t 又5ABOA 22cos15t由得，255t 21t ，1t 当1t 时，cos3（舍去）当1t 时，cos1 1, 1B ，1, 1OB （2）由（1）可知cos12t222cos1531coscoscoscos4424y22561534coscoscos4444520当3cos5时，sin41205y 【点睛】对于2coscosyaxbxc型求最值问题，可令costx，转
26、化为二次函数2yatbtc来求最值21.已知 a0，函数 f（x）=-2asin（2x+6）+2a+b，当 x0，2时，-5f（x）1（1）求常数 a，b 的值；（2）设 g（x）=f（x+2）且 lgg（x）0，求 g（x）的单调区间【答案】(1)2,5ab ；(2),6kkkZ.【解析】【详解】 （1）0,2x，72,666x，1sin(2),162x ，2 sin(2) 2 , 6axa a ，( ) ,3f xbab，又5( )1f x ，5b ，31ab，2,5ab .（2）由（1）得：( )4sin(2) 16f xx ，7( )()4sin(2) 14sin(2) 1266g x
27、f xxx ，又由lg ( )0g x ，得( )1g x ，4sin(2) 116x ，1sin(2)62x，5222,666kxkkZ，其中，当222,662kxkkZ时，单调递增，即,6kxkkZ，的单调递增区间为,6kkkZ.22.已知圆 C： （xa）2+（yb）2=1（a0）关于直线 3x2y=0 对称，且与直线 3x4y+1=0相切（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 l：y=kx+2 与圆 C 交于 M，N 两点，是否存在直线 l，使得6OM ON （O 为坐标原点）若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） （x2）2+（y3）2=1（2）不存在直线 l【解
28、析】【分析】（1）根据题意，分析可得34115320abdab，解可得 a、b 的值，由圆的标准方程即可得答案；（2）假设存在满足题意的直线 l，设 M（x1，y1）N（x2，y2） ，联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得=（2k+4）216（1+k2）0，由数量积的计算公式可得OM ON=（1+k2）241k+22241kkk+4=6，解可得 k 的值，验证是否满足0，即可得答案【详解】 （1）根据题意，圆 C： （xa）2+（yb）2=1（a0）关于直线 3x2y=0 对称，即圆心（a，b）在直线 3x2y=0 上，圆 C 与直线 3x4y+1=0 相切，则 C 到直线 l 的距离 d=
29、r=1，则有34115320abdab，解得23ab或432ab （舍）圆 C 的方程为（x2）2+（y3）2=1（2）假设存在直线 l，使得OM ON =6，设 M（x1，y1）N（x2，y2） ，由222231ykxxy得（1+k2）x2（2k+4）x+4=0，由=（2k+4）216（1+k2）0 得403k ，且12122224411kxxx xkk，OM ON=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）241k+22241kkk+4=6，解得 k=1 或13，不满足0，所以不存在直线 l，使得OM ON =6【点睛】本题考查直线与圆方程的综合应用，涉及向量数量积的计算，注意圆 C 关于直线 3x2y=0 对称，则圆心在直线上
