1、调研数学试卷调研数学试卷一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 4040 分，在每小题给出的四个选项中分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. .1.sin45cos15+cos45sin15的值为（）A.32B.32C.12D.12【答案】B【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】解：sin45cos15+cos45sin15sin（45+15）sin6032，故选：B.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式.属基础题.2.在正方体1111ABCDABC D
2、中，1BD与1BC是（）A. 相交直线B. 平行直线C. 异面直线D. 相交且垂直的直线【答案】C【解析】【分析】根据异面直线的概念可判断出1BD与1BC是异面直线.【详解】由图形可知，1BD与1BC不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线.故选：C.【点睛】本题考查空间中两直线位置关系的判断，熟悉异面直线的概念是判断的关键，属于基础题.3.已知：，均为锐角，tan12，tan13，则+（）A.6B.4C.3D.512【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果.【详解】解：由于，均为锐角，tan12，tan13，所以022.所以112311116tantan
3、tantan tan.所以4.故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.4.在ABC中，已知a6，b8，C60，则ABC的面积为（）A. 24B. 123C. 62D. 12【答案】B【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式即可求解.【详解】解：a6，b8，C60，ABC的面积S12absinC136 822 123.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式的应用，属于基础题.5.若,0, ，12cos213 ，4sin25，则sin2（）A.3365B.3365C.6365D.6365【
4、答案】C【解析】【分析】先 由,0, ， 可 得(, ),(,)2222 ， 结 合cos02，sin02，可得(, ),(0,)2222，继而得到5sin213，3cos25，转化sinsin222，利用两角差的正弦公式即得解【详解】由题意,0, ，故,0,222 故(, ),(,)2222 又cos02，sin02故(, ),(0,)222225sin1 cos2213，23cos1 sin225则sinsin22263sincoscossin222265故选：C【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数关系综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题6.已知AB
5、C的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若bcosC+ccosBb，则ABC一定是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果.【详解】解：ABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，由bcosC+ccosBb，根据正弦定理：sinBcosC+sinCcosBsinB，整理得sin（B+C）sinAsinB，故ab，则ABC一定是等腰三角形.故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.7.若
6、tan2，则 2cos2+sin2（）A.34B.53C.76D.65【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解.【详解】解：tan2，2cos2+sin222222cossin cossincos222222 261215tantan .故选：D.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，是基础题.8.如图，已知四棱锥PABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PFAF，若PC平面BDF，则的值为（）A. 1B.32C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】连结AC，交BD于O，连结OF，则AOOC，再由点F在棱PA上，PFAF
7、，PC平面BDF，能求出OFPC，【详解】解：连结AC，交BD于O，连结OF四棱锥PABCD的底面是平行四边形，AOOC，点F在棱PA上，PFAF，PC平面BDF，OFPC，1.故选：A.【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分分. .在每小题给出的选项中，有多在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求项符合题目要求. .全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的
8、得分，有选错的得 0 0 分分. .9.下列各式中，值为32的是（）A. 2sin15cos15B.1152 115tantanC. 12sin215D.2315115tantan【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案.【详解】解：对于选项 A，2sin15cos15sin3012 ；对于选项 B，11545151134515602 1152 14515222tantantantantantantantan ；对于选项 C，12sin215cos3032 ；对于选项 D，22315321533301152 11522tantantantantan .
9、值为32的是BCD.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题.10.根据下列条件解三角形，有两解的有（）A. 已知a2，b2，B45B. 已知a2，b6，A45C. 已知b3，c3，C60D. 已知a23，c4，A45【答案】BD【解析】【分析】直接利用三角形的解的情况的判定理的应用和正弦定理的应用求出结果.【详解】解：对于选项A：由于a2，b2，B45，利用正弦定理absinAsinB，解得sinA12，由于ab，所以A6，所以三角形有唯一解.对于选项B：已知a2，b6，A45，利用正弦定理absinAsinB，解得3sin2B ,又ba,则3B或23
10、，故三角形有两解.对于选项C：已知b3，c3，C60，所以利用正弦定理cbsinCsinB，所以sinB1.51，故三角形无解.对于选项D：已知a23，c4，A45，由于acsinA，即以顶点B为圆心,a为半径的圆与AC射线有两个不同交点，故三角形有两解.故选：BD.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形的解的情况的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.11.在空间四边形ABCD中,E F G H分别是,AB BC CD DA上的点,当/ /BD平面EFGH时,下面结论正确的是()A.,E F G H一定是各边的中点B.,G H一定是,CD DA的中点C.
11、:AE EBAH HD,且:BF FCDG GCD. 四边形EFGH是平行四边形或梯形【答案】CD【解析】【分析】根据线面平行的性质定理即可得解.【详解】解：由/BD平面EFGH,所以由线面平行的性质定理,得/BD EH,/BD FG,则:AE EBAH HD,且:BF FCDG GC,且/EH FG,四边形EFGH是平行四边形或梯形.故选：CD.【点睛】本题考查线面平行的性质定理的应用，属于基础题.12.在ABC中，120C ，2 3tantan3AB，下列各式正确的是()A.2ABCB.tan3AB C.tantanABD.cos3sinBA【答案】CD【解析】【分析】根据三角形内角和定理
12、可得60AB，可得tan3AB，选项 A，B 错误；再根据已知条件和两角和的正切公式可得3tantan3AB，故选项 C，D 正确.【详解】120C，60AB，2 ABC，tan3AB，选项 A，B 错误；2 3tantan3 1tantan3ABAB，1tantan3AB，又2 3tantan3AB，联立解得3tantan3AB，cos3sinBA，故选项 C，D 正确:故选：CD.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，考查了两角和的正切公式，属于基础题.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .13.已知为第二象限的角
13、，sin45，则tan2_.【答案】247【解析】【分析】由已知求得cos，进一步得到tan，再由二倍角的正切求解.【详解】解：为第二象限的角，且sin45，cos2315sin ，得tan43sincos .tan2282243161719tantan.故答案为：247.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及二倍角的正切，是基础题.14.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为_.【答案】60【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异
14、面直线EF与B1D1所成的角.【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为 2，则E（0，1，2） ，F（0，2，1） ，B1（2，2，2） ，D1（0，0，2） ，EF （0，1，1） ，11B D （2，2，0） ，设异面直线EF与B1D1所成的角，则cos111121228EF B DEF B D ，60.故答案为：60.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.15.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若ABC的面
15、积为2224abc，则C=_.【答案】4【解析】【分析】根据余弦定理和ABC的面积公式可求角C.【 详 解 】 由 余 弦 定 理2222coscababC， 可 得ABC的 面 积2222cos1cos442abcabCabC，又ABC的面积in12sSabC，11sincos,sincos22abCabCCC = = = =，又( () )0,4CC = =.故答案为：4.【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题.16.已知：51212 ，cos（12）35，则cos（4）_.【答案】4 3310【解析】【分析】首先利用已知条件求出12的范围，进一步求出4125sin，最后利用
16、角的恒等变换的应用求出结果.【详解】解：由已知51212 ，则0122，由于cos（12）35，故4125sin.则cos（4）cos（12）331434 33123123525210coscossinsin.故答案为：4 3310.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角和差角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.四、解答题（共四、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7070 分）分）17.ABC三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足3csinAacosC.（1）求角C的大小；（2）若b3，c11，求a.【答案】 （1
17、）6C（2）a3412【解析】【分析】（ 1 ） 由 正 弦 定 理acsinAsinC得csinAasinC， 代 入3csinAacosC得3asinCacosC，即可得出.（2）由余弦定理c2a2+b22abcosC，代入化简即可得出.【详解】解（1）由正弦定理acsinAsinC得csinAasinC，代入3csinAacosC得3asinCacosC，即3sinCcosC0C，sinC0，故cosC033tanC 又 0C，6C.（2）由余弦定理c2a2+b22abcosC，得2( 11) a22( 3)23acos6，即a23a80，解得a3412，又a0，a3412.【点睛】本题
18、考查了正弦定理、余弦定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知函数f（x）cos2x+sinxcosx12.（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若x24，724，求函数f（x）的取值范围.【答案】 （1）（2）2242，【解析】【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论.（2）由题意利用正弦函数函数的定义域和值域，求得函数f（x）的取值范围.【详解】解： （1）由题意可得， 121111222222222224cos xf xsin xsin xcos xsinx，所以f（x）的最小正周期为T.（2）若x24，724，则
19、2x43，56，12124sinx，f（x）的取值范围为2242，.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域、值域，属于基础题.19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点.求证：（1）MN平面ABC；（2）EF平面AA1B1B.【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析；【解析】【分析】（1）推导出MNBC，由此能证明MN平面ABC.（2）取A1B1的中点D，连接DE，BD.推导出四边形DEFB是平行四边形，从而EFBD，由此能证明EF平面AA1B1B.【详解】证明： （1）M、N分别是A1B和A
20、1C中点.MNBC，又BC平面ABC，MN 平面ABC，MN平面ABC.（2）如图，取A1B1的中点D，连接DE，BD.D为A1B1中点，E为A1C1中点，DEB1C1且1112DEBC，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1是平行四边形，BCB1C1且BCB1C1，F是BC的中点，BFB1C1且1112BFBC，DEBF且DEBF，四边形DEFB是平行四边形，EFBD，又BD平面AA1B1B，EF 平面AA1B1B，EF平面AA1B1B.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.已知，（0，） ，且tan2，c
21、os7 210 .（1）求tan（+）的值；（2）求 2的值.【答案】 （1）139（2）4【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和同角三角函数关系式的变换求出结果.（2）利用角的变换的应用及和（差）角公式的应用，求出结果.【详解】解（1）7 2010cos ，227 22111010sincos ，211077 210sintancos .1213721917tantantantan tan.（2）由（1）知127tantan ，2222 2421123tantantan .41237214112137tantantantantan .tan2，（0，） ，02，10072
22、tan ，且，22 ，tan（2）124 .【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换同角三角函数关系式的变换，和（差）角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.21.如图，在四边形ABCD中，ADAB，CAB60，BCD120，AC2.（1）若ABC30，求DC；（2）记ABC，当为何值时，BCD的面积有最小值？求出最小值.【答案】 （1）2 33CD （2）75时，面积取最小值63 3.【解析】【分析】（1）由题意可求ADC120，在ACD中，可得CAD906030，ADC120，进而由正弦定理解得CD的值.（2）由题意可得可得CAD30，可求ADC
23、150，在ADC中，由正弦定理解得1150DCsin，在ABC中解得3sinBC，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求SBCD3141326024sin ，结合范围 0150，可得60260240，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】解： （1）在四边形ABCD中，因为ADAB，BCD120，ABC30，所以ADC120，在ACD中，可得CAD906030，ADC120，AC2，由正弦定理得：CDACsinCADsinADC，解得：2 33CD .（2）因为CAB60，ADAB可得CAD30，四边形内角和 360得ADC150，在ADC中，由正弦定理得：230150DCsinsin
24、，解得：1150DCsin，在ABC中，由正弦定理得：260BCsinsin，解得3sinBC，SBCD11202DC BC sin314150sinsin23141322sin cossin31413322444sincos3141326024sin ，0150，60260240，当 26090即75时，S取最小值为3163 341324.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.22.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人
25、，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示， 为了分割麦田， 他将BD连接， 设ABD中边BD所对的角为A，BCD中边BD所对的角为C，经测量已知2ABBCCD，2 3AD .（1）霍尔顿发现无论BD多长，3coscosAC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2） 霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关， 记ABD与BCD的面积分别为1S和2S，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212SS的最大值.【答案】 （1）3coscos1AC； （2）14.【解析】【分
26、析】（1）在ABD和BCD中分别对BD使用余弦定理，可推出A与C的关系，即可得出3coscosAC是一个定值；（2）求出2212SS的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出2212SS的最大值.【详解】 （1）在ABD中，由余弦定理得24 128 3cos168 3cosBDAA，在BCD中，由余弦定理得2448cosBDC，168 3cos88cosAC，则83coscos8AC，3coscos1AC；（2）112 2 3sin2 3sin2SAA Q，212 2sin2sin2SCC ，则2222221212sin4sin1612cos4cosSSACAC，由（1）知：3cos1 cosAC ，代入上式得：222221216 12cos43cos124cos8 3cos12SSAAAA ，配方得：22212324 cos146SSA ，当3arccos6A 时，2212SS取到最大值14.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形面积的求法以及二次函数最值的求解，解题的关键就是利用题中结论将问题转化为二次函数来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
