1、数学试卷数学试卷一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 1212 小题小题 6060 分）分）1.275752cossin的值为()A.12B.12C.32D.32【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式即可求值.【详解】22362cos75sin752sin 4575222cos75 s22in75,2263cos75 sin752222.故选：C.【点睛】本题考查三角函数式求值，属于基础题.2. 若，都是锐角，且2 55sin，1010sin ，则cos= ()A.22B.210C.22或210D.22或210【答案】A【解析】【分析】由coscos， 根 据 两 角
2、差 的 余 弦 公 式 展 开 . 结 合 已 知 条 件 ， 求 出cos,cos，代入即得.【详解】100,0,sin2210，23 100,cos1 sin210 .22 55sin,cos1 sin55.53 102 5102coscoscoscossinsin5105102.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换，属于中档题.3. 已知ABC的内角ABC， ，的对边分别为abc， ， ，且22()abcab，30B ，4a ，则ABC的面积为（）A.4B.3 3C.4 3D.6 3【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理和三角形面积公式求解.【详解】因为22()abcab，即222ab
3、cab .所以2221cos22abcCab ，所以120C ，又30B ，所以30 .AB即4ab，故ABC的面积1134 44 3222SabsinC .故选 C.【点睛】本题考查运用余弦定理和面积公式解三角形，属于基础题.4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“2”在正方体中所在的面的对面上的是()A.0B.9C. 快D. 乐【答案】A【解析】【分析】将展开图还原成正方体，即得答案.【详解】将展开图还原成正方体，如图所示所以“2”在正方体中所在的面的对面上的是“0”.故选：A.【点睛】本题考查正方体的展开图，属于基础题.5. 在ABC中，,2,45ax bB，若三角形有两解，则x的取
4、值范围是（）A.2x B.2x C.22 2xD.22 3x【答案】C【解析】试题分析：由题意得，sinsin45022aBxx ，要使得三角形有两解，则满足222xx ，解得222x ，故选 C.考点：三角形解的个数的判定.6. 已知ABC 中，bcosBccosC，则ABC 的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理将已知条件转化为sincossincossin2sin222BBCCBCBC或222BCBC 或BC，所以三角形为等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理解三角形7. 已知集合302xAxx，By y
5、m，若AB，则实数m的取值范围为()A.2，B.2，C.3 ，D.3 ，【答案】B【解析】【分析】求出集合A，由AB，结合数轴，可得实数m的取值范围.【详解】解不等式302xx，得32x ，3,2A .AB，可得2m.故选：B.【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.8. 若不等式组2223 0410 xxxxa 的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A.4，B.4 ，C.4 20 ，D.4 20 ，【答案】B【解析】【分析】解不等式223 0 xx ，得其解集为1,3.由不等式组2223 0410 xxxxa 的解集不是空集，故存在1 3,x ，使得不等式2410 xxa成立，只需2mi
6、n14axx，即求实数a的取值范围.【详解】解不等式223 0 xx ，得13x .不等式组2223 0410 xxxxa 的解集不是空集，存在1 3,x ，使得不等式2410 xxa成立.即存在1 3,x ，使得214axx成立，只需2min14axx.又当1 3,x 时，函数22424yxxx在1,3上单调递增，1x 时，2min43xx ，13,4aa .故选：B.【点睛】本题考查不等式能成立问题，属于中档题.9. 已知xy，均为正实数，若1axy，21b，且ab，则141x y的最小值是()A.6 2 2B.3 2 2C.6 4 2D.6 3【答案】B【解析】【分析】由ab得0a b
7、，可得212xy.由14141411211112xyx yxyxy 展 开 ， 利 用 基 本 不 等 式 可 求141x y的最小值.【详解】,1 ,2,1ab ax yb,0,210,21,212a bxyxyxy .14141410,01211112xyxyx yxyxy 11862111816264 232 2212yxxyyxxy.当且仅当181212yxxyxy，即2132 2xy时，等号成立.141x y 的最小值为32 2.故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查基本不等式，属于中档题.10. 已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6和8，则两平行截面间的距离是
8、()A.1B.2C.1或7D.2或6【答案】C【解析】【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为12,r r，则121226 ,28 ,3,4rrrr.球心到两个截面的距离分别为222212534,543dd.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为12431dd；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为12437dd.故选：C.【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.11. 如图是正方体的展开图， 则在这个正方体中:AF与CN是异面直线；BM与
9、AN平行； AF与BM成60角； BN与DE平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，对选项逐一判断，即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD-EFMN，如图所示可得：AF与CN是异面直线，故正确；连接AN，则BM与AN平行，故正确；/,BM ANNAF是异面直线AF与BM所成的角，NAF为等边三角形，60NAF，故正确；BN与DE是异面直线，故错误.故选：A.【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.12. 对一切实数x，不等式210 xa x 恒成立，则实数a的取值范围
10、是（）A., 2 B.2,C.2,2D.0,【答案】B【解析】【详解】当0 x 时，得任意实数a均满足题意，当0 x 时，211xaxxx ，又12xx 当且仅当1x 取得等号，故2a 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 4 4 小题小题 2020 分）分）13. 设当x时，函数( )sin3cosf xxx取得最大值，则tan()4_【答案】23【解析】【分析】利用辅助角公式化简，求出的值代入即可得到答案【详解】( )sin3cos2sin()3f xxxx；当x时，函数( )f x取得最大值2,32kkz；26k，kz；313tan()tan(2)tan()2346
11、446313k故答案为23【点睛】本题考查三角函数的最值，两角和的正切值，属于基础题14. 在地平面上有一旗杆OP（O在地面） ，为了测得它的高度 h，在地平面上取一长度为 20m的基线AB，在 A 处测得 P 点的仰角为 30，在 B 处测得 P 点的仰角为 45，又测得30AOB，则旗杆的高 h 等于_m【答案】20【解析】【分析】由题意，利用直角三角形的边角关系表示出,OB OA与OP的关系，再利用余弦定理求得OP即h的值【详解】 由题意得,POOA POOB， 因为在B处测得P点的仰角为45， 得OBOPh，又因为在 A 处测得 P 点的仰角为 30， 即30PAO， 在PAO中，3t
12、an30OPOAh；在AOB中，由余弦定理可得2222cosABOAOBOA OBAOB，即22400323cos30hhh h ，解得20h ，旗杆 OP 的高度为 20m故答案为 20【点睛】本题主要考查了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题15. 已知函数 1,01,03xxxf xx，则不等式 13f x 的解集为_.【答案】3,1【解析】【分析】利用分段函数的表达式，通过 13f x ，转化为不等式组求解即可【详解】因为 1,01,03xxxf xx，所以 13f x 等价于0113xx或01133xx 解0113xx可
13、得3 0 x；解01133xx 可得01x，综上可得31x ，所以不等式的解集为3,1【点睛】本题考查分段函数以及解不等式，属于简单题16. 关于函数 2236fxsinxcosx. y f x的最大值为2； y f x最小正周期是； y f x在区间132424，上是减函数； 将函数22ysin x的图象向左平移3个单位后，将与原函数图象重合. 其中说法正确的有_.【答案】【解析】【分析】由两角和的正弦公式、两角差的余弦公式把 sin 2cos 236f xxx展开，再由辅助角公式得 2sin 23f xx.对选项逐一判断，即得答案.【详解】 sin 2cos 2sin2 coscos2 s
14、incos2 cossin2 sin363366f xxxxxxxsin23cos22sin 23xxx. f x的最大值为 2，最小正周期为，故，正确；当13,2424x时，5172,31212x， fx不是减函数，故错误；将函数2sin2yx的图象向左平移3个单位，得22sin22sin 233yxx，不与原函数图象重合，故错误.故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质和图象平移，属于中档题.三三、解答题解答题（第第 1717 题题 1010 分分，第第 1818 题题 1212 分分，第第 1919 题题 1212 分分，第第 2020 题题 1212 分分，第第 212
15、1 题题 1212 分分，第第 2222 题题 1212 分，共分，共 6 6 小题小题 7070 分）分）17. 函数 22sinsin2 3sin2fxxxx.（）求函数 fx的单调递减区间；（）当,3 12x 时，求函数 fx的值域.【答案】 （） fx的单调递减区间为7,1212kkkZ； （） fx的值域为2 3,23【解析】【分析】（）利用二倍角公式以及辅助角公式把函数 fx化为sinAx的形式，再由正弦函数的单调区间即可求解.（）根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】 （） 1 cos22cos sin2 32xfxxxsin23cos232sin 233xxx，令3222232
16、kxkkZ，解得71212kxkkZ，函数 fx的单调递减区间为7,1212kkkZ.（）由（）知， fx在,3 12上单调递增. min2 33ffx ， max2312xff，函数 fx的值域为2 3,23.【点睛】本题主要二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的单调区间、最值，需熟记公式以及三角函数的性质，属于基础题.18. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为30、60、45，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为 3、1、2.（1）求出线段AE的长度；（2）
17、求出隧道CD的长度.【答案】 （1）231（2）4 3【解析】【分析】（1） 由已知在AEF中， 由正弦定理即可解得AE的值；（2） 由已知可得BAE90， 在 RtABE中，可求BE的值，进而可求CDBEBCDE的值【详解】 （1）由已知可得EF2，F45，EAF604515，在AEF中，由正弦定理得：AEEFsin Fsin EAF，即24515AEsinsin，解得231AE ；（2）由已知可得BAE180306090，在 RtABE中，2431BEAE，所以隧道长度4 3CDBEBCDE【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题19. 已知向
18、量3 2213 1abct R ， ， ，.（1）求a tb的最小值及相应的t值；（2）若a tb与c共线，求实数t的值.【答案】 （1）最小值为7 55，45t ； （2）35.【解析】【分析】（1）求出向量a tb的坐标，求出a tb，根据二次函数求最值，即得答案；（2）求出向量a tb的坐标，根据向量共线定理的坐标表示，可求实数t的值.【详解】 （1）3,2 ,2,1 ,32 ,2,aba tbtttR ，2223225813a tbtttt ，又224495813555yttt，45t 时，min495y，即当45t 时，min497 555a tb.（2）32 ,2,3, 1a tb
19、ttc ，且a tb与c共线， 3321320,5ttt .【点睛】本题考查向量运算的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题.20. 如图，在四边形ABCD中，90DAB，135ADC，5AB，2 2CD，1AD，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.【答案】2521，1093【解析】【分析】过点C作CE垂直于直线AD，垂足为E，由题意可得CDE是等腰直角三角形. 四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体为： 一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为,EC AB，高为AE；圆锥的底面圆的半径为EC，高为DE.根据圆台和圆锥的表面积、体积的计算公式可得几何体的表
20、面积和体积.【详解】过点C作CE垂直于直线AD，垂足为E.如图所示3,45 ,1 5EADCDCCDE是等腰直角三角形，2 2,2CDECED.又1,3ADAEADDE .225233 2BC.四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体为： 一个圆台挖去一个圆锥.其中圆台的上下底面圆的半径分别为,EC AB，高为AE；圆锥的底面圆的半径为EC，高为DE.所得几何体的表面积25253 22 2 22521S ，体积2221109252 532233V .【点睛】本题考查旋转体的表面积和体积，属于中档题.21. 如图，在正三棱柱ABCA B C中，底面ABC边长为 2，D为BC的中点，三棱柱3 3V
21、 的体积.（1）求三棱柱的表面积；（2）求异面直线AB与C D所成角的余弦值.【答案】 （1）2 318； （2）1020.【解析】【详解】【分析】分析： （1）由三棱柱体积3 3V ，求出高 AA=3，由此能求出三棱柱的表面积； （2）取 AC中点 E，连结 DE、CE，由 D 为 BC 中点，得 DEAB，从而CDE 是异面直线 AB 与 CD 所成角（或所成角的补角） ，由此能求出异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值详解： （1）在正三棱柱 ABCABC中，底面ABC 边长为 2，D 为 BC 的中点，三棱柱体积3 3V ，012 2 sin603 32ABCVSAAAA 解得高 A
22、A=3，三棱柱的表面积：01323 2 32 2 sin602ABCABB ASSS 矩形=2 318；（2）取 AC 中点 E，连结 DE、CE，D 为 BC 中点，DEAB，CDE 是异面直线 AB 与 CD 所成角（或所成角的补角） ，DE=AB=1，CD=CE=，cosCDE=点睛：本题考查三棱柱的表面积的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养；异面直线的夹角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的.22. 已知a，b为常数，函数 2f xxbx a.（1）当1a b 时，求关于x的不等式 0f x 的解集；（2）当
23、21ab时，若函数 f x在21 ，上存在零点，求实数b的取值范围；（3）对于给定的12x xR，且12x x， 12f xf x，证明:关于x的方程 12123f xf xf x在区间12x x ，内有一个实数根.【答案】 （1）当2b 时，不等式 0f x 的解集为1x xb或1x ；当2b 时，不等式 0f x 的解集为R；当2b 时，不等式 0f x 的解集为1x x 或1xb； （2）3,42 34； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）当1ab时， 2111fxxbxbxbx ，分1 1b ，11b ，1 1b 三种情况讨论，求不等式 0f x 的解集；（2）当21ab时， 2
24、21f xxbxb，其图象的对称轴为2bx .分22b ，212b ，12b三种情况讨论，即求实数b的取值范围；（3） 设 12123g xf xf xf x.由12f xf x， 得 120g xg x.对于给定的12,x xR，且12xx，12f xf x，得 f x在区间12,x x上单调，故 g x在区间12,x x上有且只有一个零点，即方程 12123f xf xf x在区间12x x ，内有一个实数根.【详解】 （1）当1ab时， 2111fxxbxbxbx .当1 1b ，即2b 时，由 0f x 得1xb或1x ，不等式 0f x 的解集为1x xb或1x .当11b ，即2b
25、 时， 210fxx恒成立，不等式 0f x 的解集为R.当1 1b ，即2b 时，由 0f x 得1x或1xb，不等式 0f x 的解集为1x x 或1xb.综上，当2b 时，不等式 0f x 的解集为1x xb或1x ；当2b 时，不等式 0f x 的解集为R；当2b 时，不等式 0f x 的解集为1x x 或1xb.（2）当21ab时， 221f xxbxb，其图象的对称轴为2bx .当22b ，即4b 时， f x在2,1上单调递增， f x在2,1上存在零点， 120ff，即得304b.4,bb .当212b ，即42b 时， f x在2,1上存在零点， 24 2102010bbff
26、 或 2010ff或 2010ff或 102ff，解得042 3b或42 3b 或b或0b 或304b.342,42 34bb .当12b，即2b 时， f x在2,1上单调递减， f x在2,1上存在零点， 120ff，即得304b.2,bb .综上，342 34b.实数b的取值范围为3,42 34.（3）设 12123g xf xf xf x.当12,x x给定时，12123f xf x为定值. 2121212122211233339g xg xf xf xf xf xf xf x , 1212,0f xf xg xg x.又对于给定的12,x xR，且12xx，12f xf x， f x在区间12,x x上单调，即 g x在区间12,x x上单调， g x在区间12,x x上有且只有一个零点，即方程 12123f xf xf x在区间12x x ，内有一个实数根.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点和方程的根，考查分类讨论的数学思想，属于难题.
