1、一轮复习大题专练一轮复习大题专练 32数列（证明不等式问题）数列（证明不等式问题）1已知数列na满足12a ，1122nnnaa（1）证明数列2nna为等差数列；（2）设2nnnab ，证明：1 22311111nnbbb bb b证明： （1）根据题意，12a ，1122nnnaa，在等式左右两边同时除以12n得，11122nnnnaa11122nnnnaa，由此可得，数列2nna是首项为112a，公差为 1 的等差数列（2）由（1）可得，1(1)2nnnabnn 11111(1)1nnb bn nnn，1 223111111111111(1)()()()112233411nnbbb bb
2、bnnn 从而得证2已知数列na的前n项和为nS，若1nnaS（1）求na通项公式；（2）若1111nnncaa，nT为数列 nc的前n项和，求证：21nTn解： （1）由1nnaS，得121a ，则112a ，111(2)nnaSn，两式作差可得：11()0nnnnaaSS，即10nnnaaa，则11(2)2nnana，数列na是首项为12，公比为12的等比数列，则1111( )( )222nnna；证明： （2）111112211nnncaa22212212212224 211412nnnnnnaaaa，22243(1)120nnnaaa ，2212222112(2)43 13nnnnnn
3、aaccaa，又11111222113caa，121223 33nnnc，则122121112(2)(2)(2)(1)3333nnnTnccc112131113313nn ，则21nTn3已知数列na前n项和为nS，232nnSan，*nN，数列 nb是等差数列，11ba，42ba（）求数列na， nb的通项公式：（）设1,121,2nnnncnab求证：*1211,12ncccnN解： （1）11232aa，12a ，当2n时，232nnSan，11232(1)nnSan，得132nnaa，113(1)nnaa ，113a ，所以1na 是以 3 为首项、3 为公比的等比数列，31nna ；
4、在等差数列 nb中，112ba，428ba，所以2d ，2nbn（2）证明：1,1,21,2,321nnncnn当2n时，由11332 321nnnn得，132130nnn ，所以1113213nnncn，当3n时，212231111( )11111111111193124333242461213nnnccc，当1n 时，1111212c ，当2n 时，12311412cc，所以对于任意的*nN，121112nccc4已知数列 nc的前n项之积为nT，即1 2nnTc cc，且(1)10n nnT，1nnalgc（）求数列 nc，na的通项公式；（）设数列na的前n项和为nS，12nnnabS
5、，求证：对一切*nN，均有121113nbbb解： （）1 2nnTc cc，2n 时，(1)2(1)1101010n nnnnnnnTcT，又1n 时，11100CT，符合上式，210nnc，121nnalgcn ；（）证明：212naaSnnn，312nnnabSn，112211()(11)1111nbn nnnnnnnnnnn ，121111111111()()()132411nbbbnn 11111 123212nn ，得证5已知数列na中，213a ，112nnnnaaa a（1）求数列na的通项公式；（2）令(21)(2)nnan n的前n项和为nT，求证：34nT 解： （1）由
6、213a ，112nnnnaaa a，可得1212112233aaa aa，解得11a ，又对112nnnnaaa a两边取倒数，可得1112nnaa，则1na是首项为 1，公差为 2 的等差数列，可得112(1)21nnna ，所以121nan；（2）证明：由（1）可得(21)11 11()(2)(2)22nnan nn nnn，所以11111111111 323(1.)2324351122 2(1)(2)nnTnnnnnn，因为*nN，所以230(1)(2)nnn，则133224nT 6已知正项数列na的前n项和为nS，且2*2()nnnSaa nN（）求数列na的通项公式；（）记21na
7、nb ，证明：当*nN时，312122122nnbbbnnbbb（）解：由22nnnSaa得21112nnnSaa，则221111222nnnnnnnaSSaaaa，化简得11()(1)0nnnnaaaa，又0na ，故11nnaa当1n 时，解得11a ，因此数列na的通项公式为nan（）证明：由题意，21nnb 由于11221nnnbb，且1111110212(21)2nnnn，所以1312211211( ) 1212 (2)(2)(2)2( )21212nnnnbbbbbbbb，化简得312122122nnbbbnnbbb7在等比数列na中，nS为其前n项和，12a ，数列2nnSa是等
8、差数列（）求na；（）若12aa，证明：*3121122333()(1)(2)(3)()nnnaaaanNS aSaS aSan（）解：设公比为q，数列2nnSa是等差数列，12a ，3121322222SSSaaa，22224222qqqqq，解得1q 或2q ，2na 或2nna （）证明：12aa，2nna ，122nnS，121111221232()(22)(2)2(1) 22222(1)2nnnnnnnnnnnnannSannnnn又11232527222nnnnnn，1211221413(1)(2)33aaS aS a 当3n时，312121311223311222527()(1)
9、(2)(3)()(1)(2)22nniiinnaaaaaaiiS aS aS aS anS aS a1411273382nn8已知数列na的前n项和为nS，且1nnaS，*nN，数列 nb满足2lognnba （1）求数列na的通项公式；（2）设221nnnnnabcb b，数列 nc的前n项和为nT，求证：14nT 解： （1）由1nnaS，*nN，可得11111aSaa，解得112a ，2n时，111nnaS，又1nnaS，两式相减可得110nnnnaaSS，即为10nnnaaa，即112nnaa，可得1111( )( )222nnna；数列 nb满足221loglog ( )2nnnban ；（2）证明：222112111(1)222(1) 2nnnnnnnnabncb bn nnn，所以22311 111111.2 22 22 23 22(1) 2nnnTnn11 1112 2(1) 24nn
