1、第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性由系统函数零、极点分布决定时域特性第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 拉普拉斯变换将时域函数拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为变换为S域函数域函数F(S)；反；反之，拉普拉斯逆变换将之，拉普拉斯逆变换将F(S)变换为相应的变换为相应的f(t) 。 由于由于f(t)与与F(S)之间存在一定的对应关系，故可以从函之间存在一定的对应关系，故可以从函数的典型形式透视出内在性质。数的典型形式透视出内在性质。 当当F(S)为为有理函数有理函数时，其分子多项式和分母多项式都时，其分子多项式和分母多项式都可以分
2、解为可以分解为因子形式因子形式，各项因子指明了零点和极点的位置。，各项因子指明了零点和极点的位置。显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的性质。性质。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 （一）零、极点分布与波形特征的对应（一）零、极点分布与波形特征的对应 111111( )lim( )( )( )( )spspKspH sH sspH sspspH sKnnH sH sH s 1系统函数零、极点的定义与一般象函数F(s)零、极点定义相同，也即(s)的分母多项式之根构成极点，分子多项式的根构成零点。还可按以下方式定义：若，但等
3、于有限值，则处有一阶极点。若直道时才等于有限值，则H(s)在s=p 处有 阶极点。的极点即的零点，当有( )nH sn阶极点时，即有 阶零点。定义定义: :第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例如，若2222(1)1( )(1) (4)(11)(11)(1) (2)(2)s sH ssss sjsjssjsj 122ssjsj （二阶）（一阶）（一阶） 那么，它的极点位于（4.7-1）01111ssjsj （一阶）（一阶）（一阶）s=（一阶）而其零点位于第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 零、极点图示将此系统函数的零、极点图绘于图中的平面内，用符号圆圈用符号圆圈“o”表示零
4、点，表示零点，“x”表示极点。表示极点。在同一位在同一位置画两个相同的符号表示置画两个相同的符号表示为二阶，例如为二阶，例如-1处有二阶极处有二阶极点点 由于系统函数与冲激响应是一对拉普拉斯变换式，因此，由于系统函数与冲激响应是一对拉普拉斯变换式，因此，只要知道在只要知道在s平面中零、极点的分布情况，就可预言该系统平面中零、极点的分布情况，就可预言该系统在时域方面波形的特性。在时域方面波形的特性。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 11()( )()mjjmiiKszH ssp（4.7-2） 对于集总参数线性时不变系统，其系统函数可表示为对于集总参数线性时不变系统，其系统函数可表示为
5、两个多项式之比，具有以下形式两个多项式之比，具有以下形式其中，Zj表示第j个零点的位置，pi表示第i个极点的位置。零点有m个，极点有n个。K是一个系数。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 111111( )( )( )( )nnniiiiiiiKh tLH sLLH sh tsp（4.7-3）如果把H(s)展开部分分式，那么，每个极点将决定一项对应的时间函数。具有一阶极点p1,p2,pn的系统函数其冲激响应形式如下1( )inp tiih tK e1）这里，Pi可以是实数，但一般情况下， Pi以成对的共轭复数形式出现。2）各项相应的幅值由系数Ki决定，而Ki则与零点分布情况有关。第4
6、章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 (1)若极点位于s平面坐标原点， ，那么，冲激响应就为阶跃函数， 。1( )iH ss( )( )ih tu t几种典型情况的极点分布几种典型情况的极点分布与原函数波形的对应关系与原函数波形的对应关系jt第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 (2)若极点位于平面的实轴上，则冲激响应具有指数若极点位于平面的实轴上，则冲激响应具有指数函数形式函数形式。如如 则则 ，此时，极点为，此时，极点为负实数负实数 ，冲激响应为指数衰减（单调减幅），冲激响应为指数衰减（单调减幅）形式。形式。1( )iH ssa( )atih te0ipa jtate第4章 拉
7、普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 如果如果 则则 ，这时，极点，这时，极点是正实数是正实数 ，对应的冲激响应是指数增长，对应的冲激响应是指数增长（单调增幅）形式。（单调增幅）形式。1( )iH ssa( )atih te0ipa jtate第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 jpjptthssHii2122,sin,)3(和点位于它的两个极则如点给出等幅震荡。位于虚轴上的共轭极jtsint第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 （4）落于左半平面内的共轭极点对应于衰减振荡。例如，它的两个极点位于 和 ，这里。122sin()()atLetsa1paj 2paj (0)a jt
8、sinateta第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 122sin()()atLetsa1paj2paj落于右半平面内的共轭极点对应于增幅振荡。例如极点是和jtsinateta第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 在原点，在原点，0,1)(1 pssH)()()(1tusHLth apassH 1,1)( , 0),(e)(, , 0),(e)(, , 0指数增加指数增加在右实轴上在右实轴上指数衰减指数衰减在左实轴上在左实轴上 atuthatuthaatat在虚轴上在虚轴上,j,)(122pssH )(sin)(，等幅振荡，等幅振荡ttuth ,)()(22ssH 共轭根共轭根
9、,j,j21 pp0 0 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 若若 H(s)H(s)具有多重极点，那么，具有多重极点，那么， 部分分式展开部分分式展开式各项所对应的时间函数可能具有式各项所对应的时间函数可能具有t,tt,t2 2,t,t3 3,与指与指数函数相乘的形式数函数相乘的形式，t t的幂次由极点阶次决定。的幂次由极点阶次决定。(1)(1)位于位于s s平面坐标原点的二阶或三阶极点分别给出时间平面坐标原点的二阶或三阶极点分别给出时间函数为函数为t t或或t t2 2/2/2。如。如jt( )h tt21( )H SS第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 (2)实轴上的二
10、阶极点给出t与指数函数的乘积。如121()atLtesajtatte第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 (3)位于虚轴上的二阶共轭极点情况。j12222sin()()sLtts如 这是幅度按线性增长的正弦振荡。jtsin()tt第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 jO 0j0j 几种典型情况几种典型情况第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 若H(s)极点落于左半平面，则h(t)波形为衰减形式；若H(s)极点落于右半平面，则h(t)增长；落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃；而虚轴上的二阶极点将使h(t)呈增长形式。结论结论：在系统理论研究中，按照在系统
11、理论研究中，按照h(t)h(t)呈现衰减和增长呈现衰减和增长的两种情况将系统划分为的两种情况将系统划分为稳定系统稳定系统与非稳定系统非稳定系统两两大类型，显然，根据大类型，显然，根据H(s)H(s)极点出现在左半或右半平极点出现在左半或右半平面即可判断系统是否稳定。面即可判断系统是否稳定。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 在s域中，系统响应与激励信号、系统函数之间满足( )( ) ( )R sH s E s（二）（二）H(S) 、E(s)极点分布与自由响应、强极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应迫响应特征的对应 现在s域从H(s)和E(s)的极点分布特性来研究系统完全响应中的自由
12、分量、强迫分量。（4-84）第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 1( ) ( )r tLR s11()( )()mjjniiszH ssp11()( )()ullvkkszE ssp系统响应的时域特性 显然，R(s)的零、极点由H(s)与的E(s)零、极点所决定。由前面可知，H(s)和E(s)可以分别写作以下形式：(4.7-4)式中，zj和zi分别表示H(s)和E(s)的第j个和第i个零点，零点数目为m个与u个； pi和pk分别表示H(s)和E(s)的第i个和第k个零点，零点数目为n个与v个。 为讨论方便还假定H(s)与E(s)两式前面的系数等于1。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统
13、的S域分析 11( )nvikikikKKR sspsp11( )iknvp tp tikikr tK eK eKi和Kk分别表示部分分式展开各项的系数。不难看出，R(s)的极点来自两方面，一是系统函数的极点的极点来自两方面，一是系统函数的极点pi，另一是激励，另一是激励信号的极点信号的极点pk 。取R(s)逆变换，写出响应函数的时域表达式为 如果在R(s)函数式中不含有多重极点，而且，也没有相同的极点， 那么，将用部分分式展开后即可得到第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 响应函数响应函数r(t)r(t)由两部分组成，由两部分组成，前面一部分是由系统函前面一部分是由系统函数的极点所组
14、成，称为数的极点所组成，称为“自由响应自由响应”；后一部分则由激励；后一部分则由激励函数的极点所形成，称为函数的极点所形成，称为“强迫响应强迫响应”。 自由响应自由响应中的极点中的极点p pi i只由系统本身的特性所决定，与激只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关。励函数的形式无关。 然而，系数然而，系数k ki i和和Kk与与H(s)H(s)与与E(s)E(s)都有关系。都有关系。 即，自由响应时间函数的形式仅由即，自由响应时间函数的形式仅由H(s)H(s)决定，但它的决定，但它的幅度和相位却受幅度和相位却受H(s)H(s)与与E(s)E(s)两方面的影响；两方面的影响； 同样，同样
15、，强迫响应强迫响应时间函数的形式只取决于激励函数时间函数的形式只取决于激励函数E(s) E(s) ，而其幅度与相位却与，而其幅度与相位却与H(s)H(s)与与E(s)E(s)都有关系。都有关系。 另外，对于有多重极点的情况可以得到与此类似的结另外，对于有多重极点的情况可以得到与此类似的结果。果。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 为便于表征系统特性，定义系统行列式（为便于表征系统特性，定义系统行列式（特征方程特征方程）的根为系统的的根为系统的“固有频率固有频率”（或称（或称“自由频率自由频率”、“自自然频率然频率”）。）。 由前节可看出，行列式位于行列式位于H(s)之分母，因而之分母
16、，因而H(s)的极点的极点pi都是系统的固有频率，都是系统的固有频率，可以说， 自由响应的函自由响应的函数形式应由系统的固有频率决定。数形式应由系统的固有频率决定。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 必须注意必须注意: : 当把系统行列式作为分母写出当把系统行列式作为分母写出H(s)时，有可能出现时，有可能出现H(s)的极点与零点因子的极点与零点因子相消的现象相消的现象，这时，被消去的固这时，被消去的固有频率在有频率在H(s)极点中将不再出现。极点中将不再出现。 这一现象说明，这一现象说明，系统函数系统函数H(s)H(s)只能用于研究系统的只能用于研究系统的零状态响应，零状态响应，
17、H(s)包含了系统为零状态响应提供的全部包含了系统为零状态响应提供的全部信息。但是，它不包含零输入响应的全部信息。信息。但是，它不包含零输入响应的全部信息。因为当因为当H(s)的零、极点相消时，某些固有频率要丢失，而在零的零、极点相消时，某些固有频率要丢失，而在零输入响应中要求表现出全部固有频率的作用输入响应中要求表现出全部固有频率的作用。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例4-19 电路如图所示，输入信号v1(t) =10cos(4t)u(t)，求输出电压v2(t) ，并指出v2(t)中的自由响应与强迫响应。 解解: 写出网络函数的表示式如下211( )( )1( )1111V
18、 sCsH sV sRCsRCss第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 V1(t)的变换式为输出信号的变换式为将V2(t)作部分式展开得分别求系数 A,B,C1210( )10cos(4 )16sV sLts21210( )( )( )(16)(1)sV sH s V sss22( )161AsBCV sss21121010(1)( )|1617sssCsV ss第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 将C所得代回原式，经整理后得取等式两端同样方次系数相等得2221010()(1)(16)17101601717sAsB ssAsBsAsBs10017160017AB第4章 拉普拉
19、斯变换、连续时间系统的S域分析 于是所以取逆变换得到101601717AB221016010171717( )161sV sss122201010160171717( )11616101040cos(4 )sin(4 )1717171010cos(476 )1717ttsv tLsssettet 自由响应强迫响应第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 一般情况下，对于稳态系统，H(s)极点的实部Repi都小于零，即（极点在左半面），故自由响应函数呈衰减形式，在此情况下，自由响应就是瞬态响应。若E(s)极点的实部Repk ，则强迫响应就是稳态响应。通常如正弦激励信号，它的Repk，我们所说
20、的正弦稳态响应即正弦信号作用下的强迫响应。瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现 的有关部分，随着时间增大，它将消失。稳态响应 等于完全响应中减去瞬态响应。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 下面一些情况在实际问题中很少遇到，但从下面一些情况在实际问题中很少遇到，但从H(s)H(s)或或E(s)E(s)极点的不同类型来看还是有可能出现。极点的不同类型来看还是有可能出现。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 如果激励信号本身为衰减函数，即Repk 0 ，则自由响应是等幅振荡，这属于不稳定系统。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.8 由系统函数零、极点分布
21、决定频响特性由系统函数零、极点分布决定频响特性“频响特性频响特性”是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。这包括幅度随频率的响应以及相位随频率的响应两个方面。在电路分析课程中已经熟悉了正弦稳态分析，在那里，采用的方法是相量法。现在从系统函数现在从系统函数的观点来考察系统的正弦稳态响应，并借助零、的观点来考察系统的正弦稳态响应，并借助零、极点分布图来研究频响特性。极点分布图来研究频响特性。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 000022002201200121212,sin4 1034 104,4 105,:mmmjjnnnnH se te tEtEE ssR sER
22、sH ssKKKKKsjsjspspspp ppH sK KK设系统函数以表示 正弦激励源的函数式写作其变换式为于是 系统响应的变换式可写作式中是的极点为部分分式分解各项的系数 而第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 00000000000000000000000000000002222:4 1062jsjjmmjsjjmmjjjjjjmKsjR sEHjE H ejjKsjR sEHjE H ejjHjH eHjH eKKE Heesjsjjsjsj这里引用了符号至此可以求得第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 000000121000000100012124 1052sin
23、4 107sin4 108,4 108njjjjtjjtmmP tPtP tmnnKKE HLeeeesjsjjE Htr tLR sE HtK eK eK eP PP式前两项的逆变换为系统的全响应是对于稳定系统 其固有频率的实部必小于零 式中各指数项均为指 000,sin4 109ssmtrtrtE Ht 数衰减函数 当它们都趋于零 所以稳态响应就是式中的第一项第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 0000000000,4 110()4 111,jsjjsjHHjH sHjH eH sHjH jeHj 可见 在频率为的正弦激励信号作用之下 系统的稳态响应仍为同频率的正弦信号 但幅度乘
24、以系数相位移动和 由系统函数在处的值决定当正弦激励信号的频率 改变时，将变量 代入H(s)中，即可得到频率响应特性。式中是幅频响应特性是相频响应特性 或相移特,4 111,Hj性 。为便于分析 常将式的结果绘制频响曲线 这时横坐标是变量 ，纵坐标分别为或 。频响特性第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 ,424,Hjabcd按照滤波网络幅频特性形式的不同 可以把它们划分为低通、高通、带通、带阻等几种类型，相应的曲线分别绘于图。图中，虚线表示理想的滤波特性，实线示例给出可能实现的某种实际特性。在通信、控制以及电力系统中，一种重要的组成部件是滤波网络，而滤波网络的研究需要从它的频响特性入手
25、分析。图4.8-1 滤波网络频响特性示例第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 。jzzj；jppj，K，pz，、，pjzjKsH，ss，jspszsKsHsH，。jH，、ssHjjiiijniimjjniimjj的一个矢量引至虚轴上某点相当于由零点分子中任一因子的一个矢量引向虚轴上某点相当于由极点分母中任一因子紧要。对于频特性的研究无关是系数中的式而的位置即取决于极点的分布频率特性取决于零容易看出得到沿虚轴移动平面中在也即取的表示式为系统函数假定的原理曲线下面介绍这种方法曲线和相频特性特性包括幅频特性曲线极点分布可以绘制频响平面的零在根据系统函数11341134,11241111幅频和
26、相频特性曲线绘制第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 1211111112425,4 1174 1184 113jijijjjjiijijijjmZPjNMZPjzN ejpM eNMN eN eN eHjK 在图示意画出由零点和极点 与点连接构成的两个矢量，图中和分别表示适量的模则分别表示它们的辐角。对于任意零点和极点相应的复数因子 矢量都可表示为这里，和分别表示两矢量的模,和 则分别表示这它们的幅角，于是，式可以改写为 1212121212124 116mnmnjjjjnjmnjM eM eM eN NNKeM MMHje 复数因子频响特性第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分
27、析 121212124 1174 118,mnmnN NNHjKM MMs 式中当 沿虚轴移动时 各复数因子 矢量 的模和辐角都随之改变于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。这种方法也称为 平面几何分析。s平面几何分析第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 111111,(),szKspz psKssspKRCspH ss 只含有一个储能元件（或将几个同类储能元件简化等效为一个储能元件）。系统转移函数只有一个极点 且位于实轴上。系统转移函数 电压比或电流比 的一般形式为其中分别为它的零点与极点 如果零点位于原点 则函数形式为也可能除处有零点之外 在 平面其他位置均无零点于是函数形式是。现以
28、简单的网络为例（一）极点位于 平面实轴的情况一阶系统分析一阶低通，高通滤波网络。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 212142042611RCVjHjVjVjHjVjRRsCssRC例研究图所示高通滤波网络的频响特性解写出网络转移函数表示式第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 111,0,1,427zRCpsRC 它有一个零点在坐标原点 而极点位于处 也即零、极点在 平面分布如图。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 1111111211211111,sjjjjjjH sHjN eM eN eVHjeM eVVNVM 将以矢量因子表示式中第4章 拉普拉斯变换、连续时
29、间系统的S域分析 11111211111112111211100,0,0;0,90,9011,45245,1,2,1,/1,90,0NMRCNVMVNRCRCMRCVNVMNV VM当时，所以也即又因为度所以度。当时度。所以度 而且于是此点为高通滤波网络的截止频率点。最后 当 趋于 时趋于 也即度所以度。按照上述分析绘出428幅频特性与相频特性曲线如图所示。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 jVjVjHRC12294214性低通滤波网络的频响特所示研究图例第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 121121121111111,4301111:431,1jjVsHjV sRCs
30、RCpRCHjVHjeRC M eVVVRC MRC 解 写出网络转移函数表示式极点位于处 如图所示。表示式写作式中1当 、 、 时，RC得出频响曲线如图所示这是一个低通网络。截止频率位于处。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 ,RLRC RL对于一阶系统 经常遇到的电路还有简单的电路以及含有多个电阻仅含有一个储能元件的电路。对于它们都可采用类似的方法进行分析。只要系统函数的零、极点相同，就有相同的时域、频域特性。从系统的观点来看，要抓住系统的一般规律，必须从零、极点分布的观点入手研究。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 1212112121212,1s zs zKspsp
31、s zz zp pKspspKspsp 的如含有两个电容或两个电感 ，它们的两个极点都落在实轴上，即不出现共轭复数极点，是非谐振系统。系统转移函数电压比或电流比的一般形式为式中是两个零点，是两个极点，也可出现或等形式。由于零点数目以及零、极点位置的不同，他们可分别构成低通、高通、带通、带阻由同一类型储能元件构成 二阶系统等滤波特性。其s平面几何分析方法同一阶分析方法相同。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 2131122211111221211224224321111,433sRCVjHjVjkVRCR CVsH sV sksRCssRCR CppRCR C 例由 平面几何研究图所示
32、二阶系统的频响特性。图中是受控电压源，且。解：转移函数为它的极点位于只有一个零点在原点。将它们标于图。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 11211211222211111121111221111122112111,4331,0,4jjjjjRCR CR CRCjH sN ekHjRCM eM eNkeRCM MVeVMRCMNpzRC 因为故靠近原点 而则离开较远。以代入写作矢量因子形式由图看出：当 较低时几乎都不随频率而变 这时的作用 即极点 与零点 的作用 与一阶高通系统相同 构成如图34中 低端的高通特性。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 221 12121111
33、11212111111111,434,1,0,90 ,1oR CR CMNMpRCMMNjHjRCkjHjkRCjRC 当 较高时也可近似认为它们不随 而改变于是的作用 即极点 的作用 与一阶低通系统一致，构成如图中 高端的低通特性。当 位于中间频率范围时 同时满足那么可近似写作这时的频响特性近于常数。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 22111212,;,;,R CRCCCvkv从物理概念上讲 在低频端主要是的高通特性起作用在高频端 则是的低通特性起主要作用在中频段相当于开路，相当于短路，它们都不起作用。信号 经受控源的 倍相乘而送往输出端，给出 。可见此系统相当于低通与高通级联
34、构成的带通系统。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 .9 二阶谐振系统的二阶谐振系统的s平面分析平面分析 含有电容、电感两类储能元件的二阶系统可以具有谐振特性，在无线电技术中，常利用它们的这一性能构成带通、带阻滤波网络。 图4-35(a)和(b)给出两个谐振电路的基本模型：RLC串联谐振电路与GCL并联谐振电路。由于它们相互之间具有对偶关系，由此可只研究其中一种，所得结论可借助对偶方法去解释另一电路。这里，只讨论并联谐振电路。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 2121222111,22VsIsGsCsLsGssCLCsspsp
35、GGCC 121,我们的目的是要研究在激励信号-电流源i的作用下,并联回路端电压V的频率特性。写出网络函数 此处即阻抗函数 的表示式为 Z s1 = 4-119C1 =C其中 极点位置是 P1LC (4-120)第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 0220021ddGCLCj 1,2引用符号 (4-121) 得到 p (4-122)是谐振频率； 是衰减因数， 愈大表示电路的能量损耗愈大。在实际应用中，对于谐振电路损耗情00Q2CGQ况的另一种描述方法是引用品质因数Q作为参数，Q的定义是 Q= (4-123)Q愈高表示电路的损耗愈小。 与 之间的对应关系为 = (4-124)第4章 拉
36、普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 0220d4-36(4 121)4-36 d2d。当时，电路损耗较小，是实际应用中多见的情况。它的零，极点分布示于图。零点位于s平面坐标原点，一对共轭极点距虚轴为 ，与实轴距 ，由式得 (4-125) 在图中， 和 分别作为直角三角形的两个直角边，从坐标原点到极下面分析在s平面中，Z(s)的零，极点分布200020(),pppp 11点或的连线就是此直角三角形的斜边它的长度应等于 。这表明在范围内如果保持 值不变那么无论电路参数如何选取,共轭极点 、 总是落在以坐标原点为圆心以 为半径的左半圆弧上。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 第4章 拉普拉
37、斯变换、连续时间系统的S域分析 102000G = 004-37(a), ,4 37 b,4-37(c),pjpj 在没有损耗的情况,也即 ，共轭极点将落在虚轴上，如图 。 随着损耗增加即 加大两极点沿半圆向负实轴靠拢见图 - ( )。 当 增长到 时两极点位置重合 落在负实轴上，成为二阶极点如图 。 继续增大这时将有 重合的极点又分开为两个极点，沿负实轴向左4-37(d)，右两侧移动，如图。 当 趋于无限大时，两极点位置则分别趋于零和负无限大。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 112ii12112,Z(s),j -zj -ps,Z(s),Z(s)s=j ,1Z1ZjjjjC jp
38、jpNeC M Mje现在让 沿虚轴移动观察函数分子分母中各因子与在 平面相应矢量的变化规律 分析稳态频率响应特性。为此令中的变量写出。 = = (4-126)第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 01120121112L4-38,0,s =0,0,90 ,Z0904-38aZ904-38bNMMjNj 图示出条件下 从 向+ 移动时相应的四幅 平面矢量图。当时于是得到， =。这是图（ ）的情况。随着 增长， 增加， 的绝对值减小， 加大，于是频率特性的幅值增加，幅角 从减小，这种情况示于图（ ），此时，频率值 已移至点。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 022121211
39、24-38c9090909004 127Z4 1191ZjjG 继续沿虚轴上移至圆弧交界点，如图（ ），此时，到达谐振点，借助图中辅助虚线容易证明角与相等，而且，所以，于是 = （ -）同时，取得最大值，可由式（ -）直接求得 (4-128)第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 121121121212HH,Z,Z90 ,180904-38ds MMNjMMNj0 再增加则由于显著增长，而变化平缓，所以 逐渐减小，最后，都趋于无限大，所以趋于零； 又因为继续增大，而且所以 角的负值加大，当趋向时，趋于。图 （ ）示出 变动至点（）的 平面矢量图。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域
40、分析 4-39ab4-38按上述过程描绘出谐振电路的幅度频率特性和相位频率特性曲线分别如图 （ ）和（ ），请注意图中各频率值与图的对应。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 10200102010,204-40,902,90()jddQQp pQej 1,121 实际应用中较多遇到高 情况，例如，若则于是两共轭极点将非常靠近虚轴，如图所示。研究这种高 电路 在附近变动的频率特性时，可以取： N M M (4-129)注意到这时几乎与重1000000()302()1()1djejjjj 1合（），所以式(4-129)又近似为 M (4-1)1于是得到 Z()C1 =2C第4章 拉普拉斯
41、变换、连续时间系统的S域分析 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 0200131()113213332GjG 1 Z(j )= (4-1 ) 所以： Z(j ) (4-1) -arctan (4-1 ) 利用式(4-1)很容易求得高Q谐振电路幅频特性曲线各点数值。 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 01212101G1 1G24-132 1 4-134 现在由它来求通带边界频率和通带宽度。在谐振点Z(j)，通带边界频率（或 ）处应有 Z(j )=Z(j) 由式（）看出，必须满足（）或201210 =+1 4-135 45454-1344-135=- （）相应的还有： 由式
42、（）与式（）分别解得： 20 4-136 = 4-137 （）（）第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 021012BQfffQ2两频率之差，即通带宽度 (4-138)将角频率改写为频率，用 表示通带宽度 B= (4-139)第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4-41Zs4-35上述并联谐振电路阻抗函数的特点是具有一对靠近虚轴的共轭极点。下面再举出网络函数同时具有共轭极点和共轭零点的系统实例。求图电路的阻抗函数频率特性。此电路有三个独立的电抗元件，阻抗函数 （ ）零，极点的数目要比图电路模型增多。此外，它是无损电路。 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 22122
43、211121212221221212Zs1111( )111()1sLsV ssCsCLCZ sV sCCCsLssCsCLCCsCs sLC 为分析频率特性，首先写出 （ ）表示式 (4-140)这里： = 2121212121CCLCC， = 显然， 与之间应满足 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 21( )s4-42Z sjj画出在 平面零，极点分布图如图。它有一对共轭极点和一对共轭零点，此外，在坐标原点也有一个极点。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 ( )1112221112()()()1()()()()0()()009090jZ jjjjjZ jZ jeC j
44、jjjjZ jZ j 利用表示式。 (4-141)将式中各复数因子（矢量）作图容易求得： 当 沿虚轴移动时，在 = 和 =两极点处为 ，而在 = 零点处。 相位变化则是在范围内，当时，而2904 43以后又有。所得结果画成曲线如图。 显然，这是一个无损谐振电路，但有些结论也可延用于一些有损高Q电路，这些电路的零，极点虽未落于虚轴，却相当靠近虚轴。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 ,444iiiiijpja 一般情况下可以认为若网络函数有一对非常靠近轴的极点则在附近处 幅频响应特性出现峰点 相频响应迅速减小。如图所示。结论：第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 ,444,jj
45、jjjjpjbj 又若网络函数有一对非常靠近轴的零点则在附近处 幅频响应特性下陷 相频响应特性迅速上升。如图所示。若零点与极点离开轴很远即它们的实况远大于虚部那么 这些零点和极点对于幅频响应和相频响应曲线的形状影响很小。它们的作用只是使总的振幅和相位的相对大小有所增减。结论：第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.10全通函数与最小相移函数全通函数与最小相移函数的零、极点分布的零、极点分布如果一系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于j轴互为镜像，那么，这种系统函数称为全通函数全通函数，此系统则称全通系统全通系统或全通网络全通网络。 所谓全通全通是指它的幅频特
46、性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。下面分析具有这种零、极点分布的系统为什么表现出“全通”特性。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 123123123123123123112233) (123123) (445,:4 142jjszzzp ppjMNMNMNN N NHjkeM M Mke图举例示出全通网络 平面零、极点分布，在此图中零点 ， ， 分别与极点以轴互为镜像关系，因此，相应的矢量长度对应相等，即络频为网率特性的表示式第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 1231234 143N N NM M MKHjK显然，由于与相消，幅频特性等于常数
47、，即因而具有全通特性。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 012123323231101230012300,0,180 ,180 ;,;,90 ,270 ,90360446ojab 相频特性： 当时所以 当 沿轴向上移动时增加减小 而且 由负变正更加变负 于是 下降而当时，因而。此网络的幅频特性与相频特性曲线分别绘于图和。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 ,以上分析不难看出 全通网络函数的幅频函数的幅频特性虽为常数 而相频特性却不受什么约束 因而 全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性 在传输系统中常用来进行相位校正 例如作相位均衡器或移
48、相器。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 122121212211211,222,448ZsLZsCZ ZRH sZ ZZZZZV sZZ解引用符号于是有为写出从端向左应用戴维宁定理 求得内阻为等效电源为如图。求内阻时电源短路；求等效电源时开路 221423447,VsLRH sCV s例图所示为格形网络 参数间满足写出网络传输函数判别它是否为全通网络。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 2212112121121212212111211221111222449VsZZRZZRH sZ ZV sZZZZRZ ZRZZZZZZRZRZZZZ ZZZZsLRsRZLH sRRZ
49、sL 容易求得将代入得到它的零、极点分布互为镜像，如图，因此是一个全通网络。 2arctanjsjRj LLHjeRj LR 将 以置换，求得转移频率特性其中第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.7?s在第节曾讲到，为使网络稳定，必须限制网络函数的极点位于左半平面，至于它的零点落于 平面右半或左半平面对于网络特性又有什么影响呢 现在来研究这个问题。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 1,23,41 23,445022;11,11absppjjzj zjHj ，考察图和的 平面零、极点分布可以看出，它们有相同的极点而二者的零点却以轴成镜像关系，不难看出，对于这两种分布情况，
50、它们的幅频响应特性是相同的。这是由于，函数的各复数因子构成的矢量长度都对应相等。再看相位情况，对于零点位于右半平面的图形，各矢量构成的辐角有较大的绝对值，而零点位于左半平面者辐角的绝对 450451ab比前者小，作出图与对应的相频响应曲线如图所示。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 450“”“”“”“”aj显然，就相移的绝对值而言，图具有较小的相移。根据上述分析，引出以下定义，零点仅位于左半平面或轴的网络函数称为 最小相移函数 ，该网络称为 最小相移网络 ，如果网络函数在右半平面有一个或多个零点，那么，就称为 非最小相移函数 ，这类网络称为 非最小相移网络 。第4章 拉普拉斯变换、
