1、一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质三、例题讲解三、例题讲解四、小结四、小结第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数对于随机变量对于随机变量X, 我们不仅要知道我们不仅要知道X 取哪些值取哪些值, 要知道要知道 X 取这些值的概率取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道道 X 在任意有限区间在任意有限区间(a,b)内取值的概率内取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函数函数 ).()(12xFxF ?一、分布函数的概念一、分布函数的概念例如例如.,(21内的概率内的概率落在区间落在区
2、间求随机变量求随机变量xxX1.概念的概念的引入引入2.分布函数的定义分布函数的定义说明说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情况.)(,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设定义定义XxXPxFxX .)()2(的一个普通实函数的一个普通实函数是是分布函数分布函数xxF实例实例 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x;0 0)( xXPxF
3、 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 证明证明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 二、分布函数的性质二、分布函数的性质, 0)(lim)()3( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo; 1)(lim)( xFFx证明证明,越越来来越越小小时时当当 x
4、,的的值值也也越越来来越越小小xXP 有有时时因因而而当当, x.),(, ),(,内内必然落在必然落在时时当当而而的值也不会减小的值也不会减小增大时增大时当当同样同样 XxxXxXPx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续. ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxF. 1lim)(lim xXPxFxx所以所以xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 证明证明,bXaaXbX 因为因为, bXaaX,bXaPaXPbXP 所以所以
5、).()(aFbFbXaP 故故 ,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 因此分布律为因此分布律为818383813210pX解解则则三、例题讲解三、例题讲解.31,5 . 5,31, XPXPXPXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函数的分布律及分布函数求求”出现的次数出现的次数表示“三次中正面表示“三次中正面将一枚硬币连掷三次将一枚硬币连掷三次例例1,反面反面正面正面设设 TH;218381 ,0时时当当 x,10时时当当 x求分布函数求分布函数)(xXPxF x o 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 ixip)(xXPxF 1ixip0 XP1 XP;
6、0 ,21时时当当 x,32时时当当 x;87838381 ,3时时当当 x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0 XP1 XP2 XPx o 1 2 3. 1 3ixip0 XP1 XP2 XP3 XP31 XP3 13 XPXPXP) 1 () 3(FF 81841 . 3 , 1, 32 ,87, 21 ,84, 10 ,81, 0 , 0)(xxxxxxF所所以以3 XP.83 5 . 5 XP5 . 51 XP31 XP 13 XPXP) 1 () 3(FF 5 . 55 . 51 XPXP011 . 0 841 .21 的分布律为的分布律为设随机变量设随机变量 XXkp321
7、 412141解解,)(, 03, 2, 1xXPxFxX 且且处概率不为处概率不为仅在仅在由于由于例例2.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函数的分布函数求求 . 3, 1, 32,21, 21,1, 1, 0)(xxXPXPxXPxxF得得 . 3, 1, 32,43, 21,41, 1, 0)(xxxxxF即即, )(xXPxF 由由,41 )23()25(2523FFXP ,214143 2)2()3(32 XPFFXP21431 .43 )21(21FXP 得得请同学们思考请同学们思考不同的随机变量不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗它们的分布函数一定也不相
8、同吗?答答不一定不一定. 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函数函数但它们却有相同的分布但它们却有相同的分布同的随机变量同的随机变量是两个不是两个不则不同则不同在样本空间上的对应法在样本空间上的对应法与与,21XX ., 1;, 1., 1;, 121出反面出反面出正面出正面出反面出反面出正面出正面XX例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币, 令令 xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数分布律分布律kkxXPp 离散型随机变量分布律与分布函数的关系离散型随机变量分布律与分布函数的关系例例3 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m的圆盘的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与
9、该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解,0时时当当 x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20时时当当 x.,02是常数是常数kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因而因而; 0)( xXPxF于是于是于是于是)(xXPxF ,2时时当当 x故故 X 的分布函数为的分布函数为 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线 ., 0, 20,2)(其它其它若记若记tttf.d)()(ttfxFx 则则,()()(上的积分上的积分在区间在区间恰是非负函数恰是非负函数xtfxF.为连续型随机变量为连续型随机变量此时称此时称 X注意注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不两类随机变量的分布函数图形的特点不一样一样.)( xxkipxXPxF2.分布律与分布函数的关系分布律与分布函数的关系1.离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数四、小结四、小结
