1、第四节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则二、重要极限三、小结第二章一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则证证),(),( naznaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时时恒恒有有当当,2 azNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn , ayan即即, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,nxa 即即成成立立.limaxnn 说明说明: :nnyz利利用用夹夹逼逼准准则则不不但但可可以以证证明明极极限限存存在在，而而且且还还能能求求出出极极限限，求求极极限限的的关关键键是是构构造造出出与与，nnyz并并且且与与
2、 的的极极限限是是容容易易求求的的，应应用用中中通通常常利利用用放放大大或或缩缩小小技技术术。准则准则和和准则准则称为称为夹逼准则或夹逼原理夹逼准则或夹逼原理.上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限I(1)( )( )( )g xf xh x 准准则则 中中的的条条件件改改为为，结结论论如如何何呢呢？I(1)nnnyxz准准则则 中中的的条条件件改改为为，结结论论是是否否成成立立呢呢？例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limn
3、nnnn , 1 由夹逼原理得由夹逼原理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2 2 lim10nnaa证证明明：证明证明:1.a 当当时时结结论论显显然然成成立立111,0nnnnaaaxx 当当，则则，不不妨妨令令则则 1nnax从从而而1111nnaaxn 故故1lim1lim 11nnan 又又 lim11nnaa故故11011limlim11nnnnaaaa当当时时，故故0.a 综综上上所所述述，对对于于任任何何结结论论均均成成立立2(1)112nnnnnn nnxxxnx lim1nnn 同同理理可可证证例例3 3 121212limmaxknnnnkknaaakaaa
4、aaa设设 ， ， ，为为 个个正正数数，证证明明：， ， ，证明证明: 12maxkaaaA 令令， ， ，12nnnnnkAaaaA k则则有有lim1nnk 又又12limnnnnknaaaA故由夹逼原理得故由夹逼原理得x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准单调有界准则则 满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列 从数轴上看，对应于单调数列的点只可能向一个从数轴上看，对应于单调数列的点只可能向一个方向移动，方向移动，A（判别数列收敛的一个常用方法）（判别数列收敛的一个常用方法）因此只有两种情形：因此
5、只有两种情形： 点列沿数轴移向无穷远；点列沿数轴移向无穷远；或者点列无限趋向于某一个定点，或者点列无限趋向于某一个定点，此时数列有极限此时数列有极限.例例4 4 11333()3,3.nnnxnxxx 证证明明数数列列重重根根式式的的极极限限存存在在证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnxAC二、两个重要极限(1)1
6、sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆心角圆心角作单位圆作单位圆AOBAOBAOC 由由图图可可知知：的的面面积积扇扇形形的的面面积积的的面面积积，xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB 的的高高为为 111sintan222xxx所所以以,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxcos10 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx0limcos1xx , 11lim0 x又又. 1sinlim
7、0 xxx从而从而例1. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例2. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(lim先考虑先考虑x取正整数取正整数n的情况：的情况：ennn )11(limnnnx)11(
8、设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( exxx 10)1(lim).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;有上界有上界nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11
9、(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim
10、xxxx原式原式.2e 三、小结exxx 10)1(lim1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limennn )11(lim0limcos1xx ._3cotlim40 xxx、._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、练练 习习 :16.limsin_ .xxx 0arcsin3.lim_.xxx 321 310 1 217lim()_.xxxx 、8lim()_.xxxaxa 、329lim(1)_.3nnn、2eae22110lim(1)_.nnn、2e1
