1、),(yxfy 一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 )()(xfyn),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 一、一、令令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此因此1d)(Cxxfz即即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过依次通过n次积分次积分, , 可得含可得含n个任意常数的通解个任意常数的通解 . ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 ( )( )nyf x例例1.1. .cose2xyx 求解解解: : 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e
2、41xy2e811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC型的微分方程型的微分方程 设设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为设其通解为),(1Cxp则得则得),(1Cxy再一次积分再一次积分, , 得原方程的通解得原方程的通解21d),(CxCxy( ,)yf x y例例2.2. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: : ),(xpy 设,py 则代入方程得代入方程得pxpx2)1(2分离变量分离变量)1(d2d2xxxpp积分得积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用利
3、用, 31C得于是有于是有)1(32xy两端再积分得两端再积分得233Cxxy利用利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为因此所求特解为.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xPy 设设代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解线性方程解线性方程, 得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 3三、三、型的微分方程型的微分方程 令令),(ypy xpydd 则xyypddddypp
4、dd故方程化为故方程化为),(ddpyfypp设其通解为设其通解为),(1Cyp即得即得),(1Cyy分离变量后积分分离变量后积分, , 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy( ,)yf y y例例4.4.求解求解.02 yyy代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1( (一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程) )故所求通解为故所求通解为xCCy1e2解解: :),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd例例5.5. 求解求解21()yy ,10 xy0 0 xy解解: :),(ypy 设xp
5、ydd 则xyypddddyppdd代入方程得代入方程得2d1dpppy 2dd1pyp即两端积分得两端积分得211ln(1)2pyC,10 xy0 0 xy由由得得11C 从而从而21ln(1)12py即即221yype 221ydyxe 变量分离并积分变量分离并积分令令2221,1yttedydtt则211dtxt 2arctantCx 222arctan1yeCx ,10 xy由由得得20C 故所求特解为故所求特解为22arctan1yex 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分逐次积分),(. 2yxfy xpydd 则),(. 3yyfy
6、 yppydd 则小结小结( ),yP x 设( ),yP y 令1.1.方程方程)(yfy 如何代换求解如何代换求解 ? ?答答: :令令)(xpy 或或)(ypy 一般说一般说, , 用前者方便些用前者方便些. . 均可均可. . 有时用后者方便有时用后者方便. .例如例如, ,2)(eyy 2.2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? ?答答: : (1) (1) 一般情况一般情况, ,边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便. .(2) (2) 遇到开平方时遇到开平方时, , 要根据题意确定正负号要根据题意确定正负号. .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)cos(lnCCxy ； 3 3、12)arcsin(CeCyx ； 4 4、xCxCy2111 . .二、二、1 1、22xxy ； 2 2、)1ln(1 axay； 3 3、4)121( xy. .三、三、121613 xxy. .
