1、定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二重积分二重积分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三重积分三重积分一、主要内容一、主要内容定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域 D 上的有界函数，将上的有界函数，将闭区域闭区域 D 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的面积，个小闭区域，也表示它的面积，在每个在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，1 1、二重积分的定义、二重积
2、分的定义如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf
3、性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 、二重积分的性质、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性质性质 若若 为为D的面积的面积.1 DDdd 性质性质若在若在D上，上，),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值， 为为 D 的面积，则的面积，则 DMdyxfm ),( （二重积分估值不等式）（二重积分
4、估值不等式）性质性质 设函数设函数),(yxf在闭区域在闭区域D上连续，上连续， 为为D的面积，则在的面积，则在 D 上至少存在一点上至少存在一点),( 使得使得 ),(),(fdyxfD.性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）、二重积分的计算、二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域
5、且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）极坐标系下（）极坐标系下.)sin,cos()(0 rdrrrfd,:2 D).(0 r 2)sin,cos(Drdrdrrf 3)sin,cos(Drdrdrrf .)sin,cos()(020 rdrrrfd,20:3 D).(0 r5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(1) 体积体积的
6、体积为的体积为之间直柱体之间直柱体与区域与区域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面积曲面积当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄
7、薄片片的的重重心心为为(3) 重心重心薄片对于薄片对于x轴的转动惯量轴的转动惯量薄片对于薄片对于y轴的转动惯量轴的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭区域D，在点在点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上连续，平面薄片对于上连续，平面薄片对于x轴和轴和y轴的转动惯量为轴的转动惯量为(4) 转动惯量转动惯量薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度
8、度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，计计算算该该平平面面薄薄片片对对位位于于z 轴轴上上的的点点), 0 , 0(0aM处处的的单单位位质质点点的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f(5) 引力引力6 6、三重积分的定义、三重积分的定义设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v ，2v ,nv ，其中，其中nv
9、表示第表示第i个小闭区域，也表示它的个小闭区域，也表示它的体积体积, 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, 如果当各如果当各小闭区域的直径中的最大值小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的三重积分，记为上的三重积分，记为 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .7、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(8 8、
10、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质9 9、三重积分的计算、三重积分的计算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐标直角坐标 .,sin,coszzryrx () 柱面坐标柱面坐标.),sin,cos(),( dzrdrdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin
11、2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐标球面坐标1010、三重积分的应用、三重积分的应用. dvM 其中其中,1 dvxMx 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(zyx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体的的重重心心为为() 重心重心,1 dvyMy .1 dvzMz ,2 dvzIxy () 转动惯量转动惯量 设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ，在在点点),(zyx处处的的密密度度为为),(zyx ，假假定定),(z
12、yx 在在 上上连连续续，则则该该物物体体对对坐坐标标面面,坐坐标标轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量为为,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo D二、典型例题二、典型例题例例1 1解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD例例2 2解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉
13、绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 )0( .),(22202 adyyxfdxIaxxaxa更换积分次序更换积分次序例例3 3解解 ,22,20:2axyxaxaxD,321三部分三部分及及分成分成将积分区域将积分区域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD ;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxyaaD .),(),(),(20222020222222 ayaaaaayayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故故例例4 4解解22.(1
14、cos )Dxy dDrara计算其中是由心脏线和圆所围的平面区域（取圆外部） )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a例例5 5解解所围成所围成及及由由其中其中计算计算00, 1.)cos( yxyxDdxdyyxyxID,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 则则,DD Dxyo1 yxD uvovu vu 1 v. 11;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 DdudvJvuIcos故故 vvduvudvcos2110. 1sin211sin22110 vdv例例6 6.)()(11)()(1
15、2 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa例例7 7组成的三棱锥台组成的三棱锥台是由六个顶点是由六个顶点，其中，其中计算计算)4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(),0 , 0 , 2(),2 , 1 , 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(:122FEDCBAdvyx 解解,ABEDxoy 面上的投影为梯形面上的投影为梯形在在 为顶的柱体为顶的柱体以梯形以梯形为底，为底，是以梯形是
16、以梯形ACFDABED ,轴轴所所在在平平面面过过梯梯形形xACFD, 0 zy 设其方程为设其方程为xyzCAFEDBO. 02,)2 , 1 , 1( yzC得其方程为得其方程为点点又因过又因过. 21;0;20: xxyyz yxdzdyyxdxdvyx20022212211 xdyyxydx022212 2122ln)2ln(dxxx. 2ln 例例8 8所所围围成成的的与与由由其其中中，计计算算22221)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐标利用球面坐标奇函数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有有 zdvdvzx)( 10240
17、20sincosdrrrdd.8 例例. 1:222 zyxdvez，计计算算 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为2221)(zyxzDz 上上dvedvezz2 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 例例1010.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf证明证明 证证思路：从改变积分次序入手思路：从改变积分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)()()( xxtdvtftvdt
18、0)()(.)()(2102 xdttftx一、选择题一、选择题: : 1 1、 xdyyxfdx1010),(=( )=( ) (A) (A) 1010),(dxyxfdyx； (B) (B) xdxyxfdy1010),(； (C) (C) 1010),(dxyxfdy； (D) (D) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、设、设D为为222ayx , ,当当 a( )( )时时, , Ddxdyyxa222. . (A) 1 (A) 1 ； (B) (B) 323 ； (C) (C) 343； (D) (D) 321 . .测测 验验 题题 3 3、当、当D是是( )( )围成
19、的区域时围成的区域时, ,二重积分二重积分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ； (B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 . 5 5、设设 DdxdyyxI)(22, ,其其中中D由由222ayx 所所 围围成成, ,则则I= =( ( ) ). . ( (A A) )
20、40220ardrada ; ;( (B B) )4022021ardrrda ; ; ( (C C) )3022032adrrda ; ;( (D D) )402202 aadrada . . 6 6、设设 是是由由三三个个坐坐标标面面与与平平面面zyx 2= =1 1 所所围围成成的的 空空间间区区域域, ,则则 xdxdydz= =( ( ) ). . ( (A A) ) 481 ； ( (B B) ) 481 ； ( (C C) ) 241 ； ( (D D) ) 241 . . 7 7、设、设 是锥面是锥面, 0(222222 abyaxcz)0, 0 cb与平面与平面 czyx ,
21、 0, 0所围成的空间区域在第一卦限所围成的空间区域在第一卦限的的 部分部分, ,则则 dxdydzzxy=( ).=( ). (A) (A) cba22361； (B) (B) bba22361； (C) (C) acb22361； (D) (D) abc361. . 8 8、计算、计算 zdvI, ,其其1,222 zyxz为为中中围成的围成的 立体立体, ,则正确的解法为则正确的解法为( )( )和和( ).( ). 9 9、曲面、曲面22yxz 包含在圆柱包含在圆柱xyx222 内部的那内部的那 部分面积部分面积 s( ).( ).(A)(A) 3； (B) (B) 2；(C)(C)
22、5； (D) (D) 22. . 10 10、由直线、由直线2, 2, 2 yxyx所围成的质量分布均匀所围成的质量分布均匀 ( (设面密度为设面密度为 ) )的平面薄板的平面薄板, ,关于关于x轴的转动惯量轴的转动惯量 xI= =( ).( ). (A) (A) 3； (B) (B) 5； (C) (C) 4； (D) (D) 6. . (A) (A) 101020zdzrdrdI；(B)(B) 11020rzdzrdrdI； (C) (C) 11020rrdrdzdI； (D) (D) zzrdrddzI02010. .二、计算下列二重积分二、计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )
23、(22, ,其中其中D是闭区域是闭区域: : .0 ,sin0 xxy 2 2、 Ddxy arctan, ,其中其中D是由直线是由直线0 y及圆周及圆周 1, 42222 yxyx, ,xy 所围成的在第一象所围成的在第一象 限内的闭区域限内的闭区域 . . 3 3、 Ddyxy )963(2, ,其中其中D是闭区是闭区 域域: :222Ryx 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21
24、110),(xxdyyxfdx； 3 3、 00)sin,cos(rdrrrfda. .四、将三次积分四、将三次积分 yxxdzzyxfdydx),(110改换积分次序为改换积分次序为 zyx. .五、计算下列三重积分五、计算下列三重积分: : 1 1、 ,)cos(dxdydzzxy: :抛物柱面抛物柱面xy 2, zxozoy及及平平面面所围成的区域所围成的区域 . . 2 2、,)(22 dvzy其中其中 是由是由xoy平面上曲线平面上曲线 xy22 绕绕x轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5 x所围所围 成的闭区域成的闭区域 . . 3 3、,1)1ln(222222 dvz
25、yxzyxz其中其中 是由球面是由球面 1222 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 . .六、求平面六、求平面1 czbyax被三坐标面所割出的有限部分被三坐标面所割出的有限部分 的面积的面积 . .七、七、 设设)(xf在在1 , 0上连续上连续, ,试证试证: : 310101)(61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .一、一、 1 1、D D； 2 2、C C； 3 3、A A； 4 4、A A； 5 5、B B；6 6、A A； 7 7、A A； 8 8、B,DB,D； 9 9、B B； 10 10、C.C.二、二、1 1、9402 ；2 2、2643 ；3 3、2494RR ；4 4、.25 三、三、1 1、 xxdyyxfdx3220),(；2 2、 222021010),(),(yyydxyxfdydxyxfdy；3 3、 aradrrfrdr )sin,cos(0. .四、四、 zzdxzyxfdydz0110),(. .五、五、1 1、21162 ； 2 2、 3250； 3 3、0.0.测验题答案测验题答案六六、22222221accbba . .七七、提提示示： 0)0(,)()()()(,)()(100 FdxxftFxfxFdttfxFx且且则则
