1、第一节 特征值与特征向量第四章二、特征值与特征向量的概念二、特征值与特征向量的概念四、小结四、小结一、一、 正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换三、三、 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质证明证明TAAE E 定义定义 . , 1正交矩阵正交矩阵为为称称则则即即满足满足阶方阵阶方阵若若AAAEAAAnTT 定理定理 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211一、正交矩阵与正交变换 方阵方阵 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列的列（行）向量组是（行）向量组是正交的正交的单位向量组单位向量组AA ETnTT
2、n ,2121ETnnTnTnTnTTTnTT 212221212111 njijijiijTji, 2 , 1, 0;, 1 当当当当 性质性质 正交变换保持向量的内积正交变换保持向量的内积长度及夹角不变长度及夹角不变证明证明,为为正正交交变变换换设设Pxy .xxxPxPxyyyTTTT 则有则有定义定义 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正交称为正交变换，即变换，即xPy P正交矩阵的性质：正交矩阵的性质： ,A B为为正正交交矩矩阵阵1()(2)TAA 即即也也是是正正交交矩矩阵阵(1)1A = = 3 AB也也是是正正交交矩矩阵阵111112212211222211
3、22nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp ypyxp ypypy 说明说明1.0,.x 特特征征向向量量特特征征值值问问题题是是对对方方阵阵而而言言的的 2.,0,0.nAEA xEAA 阶阶方方阵阵 的的特特征征值值 就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组有有非非零零解解的的值值 即即满满足足方方程程的的 都都是是矩矩阵阵 的的特特征征值值二、特征值与特征向量., , 1的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是
4、设设定义定义 AxAxAxxnnA 3.0EA 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 0nEAA称称以以 为为未未知知数数的的一一元元次次方方程程为为 的的特特征征方方程程. .,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 fEAA称称其其为为方方阵阵 的的特特征征多多项项式式. . 12 4.,ijnnAa 设设阶阶方方阵阵的的特特征征值值为为则则有有;)1(221121nnnaaa .)2(21An .A方方阵阵 可可逆逆的的充充要要条条件件是是它它的的所所有有特特征征值值非非零零例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于的特征向量，则的特
5、征向量，则 x .)1(是任意常数是任意常数的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可逆时可逆时当当A., 1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA .ffA 则则为为的的一一个个特特征征值值证明：证明：1110( )nn
6、nnf Aa AaAa Aa E 又又11103( )nnnnAf xa xaxa xa （ ） 设设 是是方方阵阵 的的一一个个特特征征值值，为为一一多多项项式式，A设设 是是方方阵阵 的的属属于于 的的一一个个特特征征向向量量，(mmAm 则则其其中中 为为任任意意整整数数） 1110( )nnnnf Aa AaAa Aa E 则则1110nnnna AaAa Aa E 1110nnnnaaaa 1110nnnnaaaa ( )f .ffA 即即为为的的一一个个特特征征值值.,., 121212121线性无关线性无关则则各不相等各不相等如果如果向量向量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特
7、征个特征值个特征值的的是方阵是方阵设设定理定理mmmmppppppmA 证明证明使使设设有有常常数数mxxx,21. 02211 mmpxpxpx则则 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk三、特征值和特征向量的性质把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式
8、为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线线性性无无关关所所以以向向量量组组mppp注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.属于同一特征值的特征向量的非零线性组属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量合仍是属于这个特征值的特征向量12,mpppA 设设都都是是方方阵阵 的的对对应应于于特特征征值值 的的特特征征向向量量，1 2iiAppim 则则（， ，
9、）11221 2.mmik pk pk pAk im 即即它它们们的的任任何何非非零零组组合合仍仍是是 的的对对应应于于特特征征值值 的的特特征征向向量量，其其中中 （， ，）为为常常数数 1122mmA k pk pk p1122mmk Apk Apk Ap1122mmkpkpkp 1122mmk pk pk p 1212 ,xA 若若设设 同同时时是是 的的属属于于特特征征值值的的特特征征向向量量 即即有有xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由于由于, 0 x则则.与定义矛盾与定义矛盾.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一
10、个特征值可以对应无穷多个特征向量；而言的，一个特征值可以对应无穷多个特征向量；但是一个特征向量只能属于一个特征值但是一个特征向量只能属于一个特征值例例1 1 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解 A的的特特征征多多项项式式为为. 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以AEA 110430102 2(2)11000100003102410100EA 2,(2)0EA x 1 1当当时时 解解方方程程组组,1001 p 得基础解系得基础解系1(0)2.kp k 1 1所所以以是是对对应应于于的的全全部部特特征征向向量量31,()0EA x2 2当当时时
11、 解解方方程程组组210420101EA 101012000,1212 p 得基础解系得基础解系223(0)1.kp k所所以以是是对对应应于于的的全全部部特特征征向向量量例例2 2 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解211020413EA 2(1)2 2(1)20 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A 11,0EA x 当当时时 解解方方程程组组111030414EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk101010000 232,20EA x当当时时 解解方方程程组组
12、4112000411EA得基础解系为：得基础解系为：2311441, 0,01pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 411000000 AA用用特特征征根根计计算算方方阵阵 的的行行列列式式123233,31,1,2,5,;5.ABBAEAA 设设 是是 阶阶矩矩阵阵 它它的的 个个特特征征值值为为设设求求例例3 3解解.21AAAn来计算来计算要关系要关系的行列式与特征值的重的行列式与特征值的重利用利用 ,5)(23xxxf 令令,321的全部特征值的全部特征值是是因为因为A 故故部特征值部特征值的全的全是是
13、所以所以.5)()31)(23BAAAfifi )(AfB )()()(321 fff .288)12)(6)(4( .5EA 下面求下面求方法一方法一,5)(EAAg 令令),(),(),()(321 gggAg的所有特征值为的所有特征值为所以所以, 2, 1, 1321 的所有特征值为的所有特征值为因为因为A)(5AgEA .72)2()1()1( ggg),2)(1)(1()( AEfA所以所以, 2, 1, 1321 的所有特征值为的所有特征值为因为因为A.725)1(53 AEEA,72)25)(15)(15()5(5 fAEA方法二方法二, 2, 1, 1321 的所有特征值为的所
14、有特征值为因为因为A. 22)1(1 A故故.724/28852 ABEA),5(5223EAAAAB 又又,52EAAB ,288 B但但方法三方法三例例4 4 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为n 0111aaaAEfnnnA .的特征多项式的特征多项式求求AT解解 AEfTAT 0111aaannn TAE AE TAA方方阵阵 与与有有相相同同的的特特征征多多项项式式，从从而而有有相相同同的的特特征征值值. . 12;TAA 1;TAAE ;3单位向量单位向量的列向量是两两正交的的列向量是两两正交的A .4单位向量单位向量的行向量是两两正交的的行向量是两两正交的A
15、1 1 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A四、小结2. 2. 正交矩阵的性质：正交矩阵的性质： ,A B为为正正交交矩矩阵阵1()(2)TAA 即即也也是是正正交交矩矩阵阵(1)1A = = 3 AB也也是是正正交交矩矩阵阵3.求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： 1 . ;AEA 计计算算 的的特特征征多多项项式式 12 2 . 0,;nEAA 求求特特征征方方程程的的全全部部根根就就是是 的的全全部部特特征征值值 3 . , 0,.iiiEA x 对对于于特特征征值值求求齐齐次次方方程程组组的的非非零零解解 就就是是对
16、对应应于于 的的特特征征向向量量 1. 4: det 3EA0,2,det0,.TAAAEAA 设设 阶阶方方阵阵 满满足足条条件件求求的的一一个个特特征征值值思考题113A 从从而而是是的的一一个个特特征征值值. .216,det4,det0,(det)AAA 于于是是但但14.3AA A故故= =有有一一个个特特征征值值为为知知由由可逆可逆故故因为因为0)3det( ., 0det EAAA解解,3的一个特征值的一个特征值是是A 即即得得又由又由,16)2det()det( 2 EAAEAATTdet4,A 因因此此解解 A的的特特征征多多项项式式为为EA 1 11212 122212nnnnnna ba ba ba ba ba ba ba ba b 1212 2.(,)(,),.nnTa aab bbA 已已知知向向量量和和求求矩矩阵阵的的全全部部特特征征值值 1212nnaaAbbba 1 11212 122212nnnnnna ba ba ba ba ba ba ba ba b 121 11212 1222121000nnnnnnnbbba ba ba ba ba ba ba ba ba b 12121000000nnbbbaaa 1 122121000000000nnna ba ba bbbb 1 1221nnna ba ba b 11nniiia b
