1、3 频率与概率频率与概率v(一一) 频率频率 在相同条件下在相同条件下, 进行了进行了n次试验次试验, 在这在这n次试验中次试验中, 事件事件A发生的次数发生的次数nA称为事件称为事件A发生的发生的频数频数. 比值比值nA/n称为事件称为事件A发生的发生的频频率率, 并记成并记成fn(A). 由定义由定义, 易见频率具有下述基本性质易见频率具有下述基本性质:1, 0 fn(A) 1;2, fn(S)=1;3, 若若A1,A2,.,Ak是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件,即对于即对于i j, AiAj= , i,j=1,2,.,k,则则fn(A1 A2 . Ak)=fn(A1)+fn(A2
2、)+.+fn(Ak).历史上的掷硬币试验试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德摩根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005v概率的统计定义概率的统计定义 在相同的条件下，重复进行在相同的条件下，重复进行n次试验，若次试验，若事件事件A发生的频率发生的频率fn(A)随着试验次数随着试验次数n的增的增大而稳定在某个常数大而稳定在某个常数p(0 p 1)附近摆动，附近摆动，则称则称p为事件为事件A发生的概率，记为发生的概率，记为p(A). 投篮命中率投篮命中率 种子发芽率种子发芽率 产品合格率产品
3、合格率 频率稳定于概率频率稳定于概率v降水概率降水概率 60% 在天气预报覆盖的地区内，在天气预报覆盖的地区内，60%的地区的地区将有降水将有降水? 在天气预报的时间范围内，在天气预报的时间范围内，60%的时间的时间将有降水将有降水?在完全相同的大气条件下，历史上那些在完全相同的大气条件下，历史上那些天中有天中有60%发生了降水。发生了降水。(二二) 概率概率 设设E是随机试验是随机试验, S是它的样本空间是它的样本空间, 对于对于E的每一事件的每一事件A赋予一个实数赋予一个实数, 记为记为P(A), 称为事称为事件件A的的概率概率, 如果集合函数如果集合函数P()满足下列条件满足下列条件:非
4、负性非负性: 对于每一个事件对于每一个事件A, 有有P(A) 0;规范性规范性: 对于必然事件对于必然事件S, 有有P(S)=1;可列可加性可列可加性:设设A1,A2,.是两两互不相容事件是两两互不相容事件, 即对于即对于i j, AiAj= , i,j=1,2,., 则有则有P(A1 A2 .)=P(A1)+P(A2)+.(3.1)由概率的定义可推得概率的一些重要性质由概率的定义可推得概率的一些重要性质.v性质性质1 P( )=0v性质性质2(有限可加性有限可加性) 若若A1,A2,.,An是两两是两两互不相容的事件互不相容的事件, 则有则有P(A1 A2 . An)=P(A1)+P(A2)
5、+.+P(An)性质性质3 设设A,B是两个事件是两个事件, 若若A B, 则有则有 P(B- -A)=P(B)- -P(A) P(B) P(A)SBAv性质性质4 对于任一事件对于任一事件A, P(A) 1v性质性质5(逆事件的概率逆事件的概率) 对任一事件对任一事件A, 有有v性质性质6(加法公式加法公式) 对任意两事件对任意两事件A,B有有P(A B)=P(A)+P(B)- -P(AB).)(1)(APAP-11 4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） E1:抛一枚硬币, 观察正反两面出现的情况, E4:掷一枚骰子, 观察出现的点数, 它们具有两个共同的特点:1,试验的样本空间
6、只包含有限个元素试验的样本空间只包含有限个元素;2,试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同. 具有上面两个特点的试验称为等可能概等可能概型型, 也称为古典概型古典概型.12 设试验的样本空间为设试验的样本空间为S=e1,e2,.,en. 由由于在试验中每个基本事件发生的可能性相于在试验中每个基本事件发生的可能性相同同, P(e1)=P(e2)=.=P(en)., 2 , 1,1)(ninePiP(e1 e2 . en)=P(e1)+P(e2)+.+P(en)=nP(ei) =P(S)=113 若事件若事件A包含包含k个基本事件个基本事件, 即即21kiiieeeA
7、nkePAPkjij1)()(这里这里i1,i2,.,ik是是1,2,.,n中某中某k个不同的数个不同的数. ) 1 . 4(#SASA中基本事件的总数包含的基本事件数11!-knnnknnAkn! nAnn!11!kknnnknknAAknkkkn-v一个盒子中有一个盒子中有5个球，其中个球，其中4个白球，个白球，1个个红球。从中任取一个，求取到红球的概率。红球。从中任取一个，求取到红球的概率。vS= 红，白红，白 v不具备等可能性不具备等可能性v将每一种取法看做一个基本事件将每一种取法看做一个基本事件 白白1 白白2 白白3 白白4 红红S= 白白1, 白白2, 白白3,白白4,红红 A=
8、 红红 20例例2 一口袋装有一口袋装有6只球只球, 其中其中4只白球只白球, 2只红只红球球. 从袋中取球两次从袋中取球两次, 每次随机地取一只每次随机地取一只. 考虑两种取球方式考虑两种取球方式: (a)第一次取一只球第一次取一只球, 观察其颜色后放回观察其颜色后放回袋中袋中, 搅匀后再取一球搅匀后再取一球. 这种取球方式叫这种取球方式叫做做放回抽样放回抽样. (b)第一次取一球不放回袋中第一次取一球不放回袋中, 第二次从第二次从剩余的球中再取一球剩余的球中再取一球. 这种取球方式叫这种取球方式叫做做不放回抽样不放回抽样, 例例2 一口袋装有一口袋装有6只球只球, 其中其中4只白球只白球,
9、 2只红只红球球. 从袋中取球两次从袋中取球两次, 每次随机地取一只每次随机地取一只. 在放回抽样的方式下求在放回抽样的方式下求(1)取到的两只球都是白球的概率取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率取到的两只球颜色相同的概率;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率取到的两只球中至少有一只是白球的概率.解：设解：设A为事件为事件“取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球”B为事件为事件“取到的两只球都为红球取到的两只球都为红球”;C为事件为事件“取到的两只球中至少有一只是白取到的两只球中至少有一只是白球球”22例例5 袋中有袋中有a只白球只白球, b只红球只红球, k个
10、人依次个人依次在袋中取一只球在袋中取一只球, (1)作放回抽样作放回抽样; (2)作不作不放回抽样放回抽样, 求第求第i(i=1,2,.,k)个人取到白球个人取到白球(记为事件记为事件Bi )的概率的概率(k a+b).baaBP)(解解 (1) 放回抽样的情况放回抽样的情况, 显然有显然有23例例3 将将n只球随机地放入只球随机地放入N(N n)个盒子中个盒子中去去, 试求每个盒子至多有一只球的概率试求每个盒子至多有一只球的概率(设设盒子的容量不限盒子的容量不限).nnNnNANnNNNSAAP-) 1() 1(#)(解解 记记A为事件为事件“每个盒子至多有一只球每个盒子至多有一只球” 24
11、 许多问题和本例有相同的数学模型许多问题和本例有相同的数学模型. 例如例如, 将将n个人个人(球球)随机地放入随机地放入365个日期个日期(盒子盒子)中中, 他们的生日各不相同的概率为他们的生日各不相同的概率为nn365) 1365(364365-v因而因而, n个人中至少有两人生日相同的概率个人中至少有两人生日相同的概率nn365)1365(3643651-25经计算可得下述结果经计算可得下述结果:n20233040p0.4110.5070.7060.891n5064100p0.9700.9970.999999726例例4 设有设有N件产品件产品, 其中有其中有D件次品件次品, 今从今从中任
12、取中任取n件件, 问其中恰有问其中恰有k(k D)件次品的概件次品的概率是多少率是多少?)2 . 4(.-nNknDNkDp(4.2)式即所谓超几何分布的概率公式式即所谓超几何分布的概率公式.课堂练习课堂练习 P25 6题题例例：某班级有某班级有100名学生，见下表名学生，见下表。男男女女 合计合计深圳深圳12129 92121外地外地686811117979合计合计80802020100100解：解：记记B为事件为事件“学生学生来自深圳来自深圳”， 男男女女 合计合计深圳深圳12129 92121外地外地686811117979合计合计80802020100100(1)从中任取一名学生，求这
13、名学生来自深圳从中任取一名学生，求这名学生来自深圳的概率。的概率。 10021#SBBP(2)从中任取一名学生，发现为男生，求从中任取一名学生，发现为男生，求这名学生来自深圳的概率。这名学生来自深圳的概率。记记B=“学生来自深圳学生来自深圳”，A=“学生为男生学生为男生”，现在这个问题所求的概率是在事件现在这个问题所求的概率是在事件A已已经发生的条件下，事件经发生的条件下，事件B发生的发生的条件概率条件概率，记为记为P(B|A)。相应，把相应，把P(A)、 P(B)等称为等称为无条件概率无条件概率。(2)从中任取一名学生，发现为男生，求从中任取一名学生，发现为男生，求这名学生来自深圳的概率。这
14、名学生来自深圳的概率。解：解：B为事件为事件“学生来自深圳学生来自深圳”A为事件为事件“学生为男生学生为男生” 1008010012男男女女合合计计深圳深圳12129 92121外地外地686811117979合计合计80802020 1001008012ABP APABP32对于一般古典概型问题对于一般古典概型问题, 设试验的基本事件设试验的基本事件总数为总数为n, A所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为m(m0), AB所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为k, 即有即有mkABP)|(A合合计计Bk合计合计mn)()(/APABPnmnkAB称为称为在在事件事件A发生的条件下事件发
15、生的条件下事件B发生的发生的条件概率条件概率。一般地，设一般地，设A、B是是S中的两个事件中的两个事件，若，若P(A)0，则则条件概率的定义条件概率的定义 APABPABP34例例2 一盒子装有一盒子装有4只产品只产品, 其中有其中有3只只一等品一等品, 1只二等品只二等品, 从中取产品两次从中取产品两次, 每次任取一只每次任取一只, 作不放回抽样作不放回抽样. 设事件设事件A为为第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品, 事件事件B为为第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品. 试求条件概率试求条件概率P(B|A).“条件概率条件概率”和和“概率概率”条件概率条件概率P( |A)符合概率定义
16、中的三个条件符合概率定义中的三个条件, 非负性非负性: 对任一事件对任一事件B, 有有P(B|A) 0；规范性规范性: 对于样本空间对于样本空间S, 有有P(S|A)=1；可列可加性可列可加性: 设设B1,B2,.是两两互斥事件，是两两互斥事件，11iiiiABPABP36v乘法定理乘法定理 设设P(A)0, 则有则有vP(AB)=P(A)P(B|A)(5.3)设设P(AB)0,推广：推广：vP(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4)v一般地一般地, 设设A1,A2,.,An为为n个事件个事件, n 2, 且且P(A1A2.An- -1)0, 则有则有v P(A1A2.An)
17、=P(A1)P(A1|A2). P(An- -1|A1A2.An- -2)P(An|A1A2.An- -1) (5.5)37例例3 设袋中装有设袋中装有r只红球只红球, t只白球只白球. 每次自袋每次自袋中任取一只球中任取一只球, 观察其颜色后放回观察其颜色后放回, 并再放入并再放入a只与所取出的那只球同色的球只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连若在袋中连续取球两次续取球两次, 试求第一试求第一,二次取到红球的概率二次取到红球的概率.解解 以以Ai(i=1,2)表示事件表示事件第第i次取到红球次取到红球,38例例4 某种透镜某种透镜, 第一次落下时打破的概率第一次落下时打破的概率为为1/2
18、, 若第一次落下来未打破若第一次落下来未打破, 第二次落下第二次落下打破的概率为打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落试求透镜落下三次而未打破的概率下三次而未打破的概率.解解 以以Ai(i=1,2,3)表示事件表示事件“透镜第透镜第i次落下次落下打破打破”例例5 某电子设备厂所用元件由三家元件厂某电子设备厂所用元件由三家元件厂供给供给, 根据以往纪录有以下数据根据以往纪录有以下数据:设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志设这三厂产品在仓库中混合摆放无区别标志在仓库中任取一只元件在仓库中任取一只元件, 求
19、它是次品的概率求它是次品的概率.制造厂制造厂次品率次品率提供的份额提供的份额10.020.1520.010.8030.030.05解解 以以A表示事件表示事件“取到的是次品取到的是次品” 以以Bi（i=1,2,3）表示事件）表示事件“取到的取到的产品由第产品由第i家工厂生产家工厂生产”制造厂制造厂次品率次品率提供的份额提供的份额10.020.1520.010.8030.030.05定义定义 设设S为试验为试验E的样本空间的样本空间, B1,B2,.,Bn为为E的一组事件的一组事件, 若若(1) BiBj= , i j, i,j=1,2,.,n;(2) B1 B2 . Bn=S,则称则称B1,B
20、2,.,Bn为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分.定理定理 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S, A为为E的的事件事件, B1,B2,.,Bn为为S的一个划分的一个划分, 且且P(Bi)0(i=1,2,.,n), 则则) 6 . 5 ()()|()()|()()|()(111njjjnnBPBAPBPBAPBPBAPAP(5.6)式称为全概率公式式称为全概率公式.解解 以以A表示事件表示事件“取到的是次品取到的是次品” 以以Bi（i=1,2,3）表示事件）表示事件“取到的取到的产品由第产品由第i家工厂生产家工厂生产”制造厂制造厂次品率次品率提供的份额提供的份额10.020.1520.
21、010.8030.030.05如果已取到一只次品如果已取到一只次品, 求它由求它由1厂生产的概率厂生产的概率.定理定理 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S. A为为E的事件的事件, B1,B2,.,Bn为为S的一个划分的一个划分, 且且P(A)0, P(Bi)0 (i=1,2,.,n), 则则上式称为贝叶斯公式。上式称为贝叶斯公式。niBPBAPBPBAPABPnjjjiii, 2 , 1,)()|()()|()|(1乘法公式是求乘法公式是求“几个事件同时发生几个事件同时发生”的概率；的概率；全概率公式是求全概率公式是求“最后结果最后结果”的概率；的概率；贝叶斯公式是已知贝叶斯公式是已知
22、“最后结果最后结果” ，求，求“原因原因”的概率的概率.例例7 对以往数据分析结果表明对以往数据分析结果表明, 当机器当机器调整得良好时调整得良好时, 产品的合格率为产品的合格率为98%, 而而当机器发生某种故障时当机器发生某种故障时, 其合格率为其合格率为55%. 每天早上调整良好的概率为每天早上调整良好的概率为95. 试求已知某日早上第一件产品是合格试求已知某日早上第一件产品是合格品时品时, 机器调整良好的概率是多少机器调整良好的概率是多少?解解 设设A为事件为事件“产品合格产品合格”, B为事件为事件机器调整良好机器调整良好25页作业页作业: 3(1)(3) 5，8，14 可思考可思考9
23、题题6 独立性独立性直观角度，直观角度， A是否发生和是否发生和B是否发生互不影响。是否发生互不影响。袋中有袋中有3只白球只白球, 1只红球只红球, 两个人依次在两个人依次在袋中取一只球袋中取一只球, 作放回抽样作放回抽样; 以以A表示第一个人抽到红球；表示第一个人抽到红球； 以以B表示第二个人抽到红球表示第二个人抽到红球概率论角度，概率论角度， P(B|A)= P(B) P(A|B)= P(A)定义定义 设设A,B是两事件是两事件, 如果满足等式如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),(6.1)则称事件则称事件A,B相互独立相互独立, 简称简称A,B独立独立.A、B相互独立相互独立 A、B
24、 互不相容互不相容v若若P(A)0,P(B)0则则A,B相互独立与相互独立与A,B互不相容不能同时成立互不相容不能同时成立.P(AB)=P(A)P(B) AB= 定理一定理一 设设A,B是两事件是两事件, 且且P(A)0, 若若A,B相相互独立互独立, 则则P(B|A)=P(B)反之亦然反之亦然.ABB的对立事件的对立事件A的对立事件的对立事件定义定义 设设A,B,C是三个事件是三个事件, 如果满足等式如果满足等式 则称事件则称事件A,B,C相互独立相互独立.一般一般, 设设A1,A2,.,An(n 2)个事件个事件, 如如果对于其中任意果对于其中任意2个个, 任意任意3个个, ., 任意任意
25、n个事件的积事件的概率个事件的积事件的概率, 都都等于各事件概率之积等于各事件概率之积, 则称事件则称事件A1,A2,.,An相互独立相互独立.由定义可以得到以下两点推论由定义可以得到以下两点推论. 1.若事件若事件A1,A2,.,An(n 2)相互独立相互独立, 则其中任意则其中任意k(2 k n)个事件也是相互独个事件也是相互独立的立的. 2.若若n个事件个事件A1,A2,.,An(n 2)相互独相互独立立, 则将则将A1,A2,.,An中任意多个换成它们中任意多个换成它们的对立事件的对立事件, 所得的所得的n个事件仍相互独立个事件仍相互独立.例例2 一个元件一个元件(或系统或系统)能正常
26、工作的概率称为能正常工作的概率称为元件元件(或系统或系统)的可靠性的可靠性. 如图如图, 设有设有4个独立工个独立工作的元件作的元件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接按先串联再并联的方式联接. 设第设第i个元件的可靠性为个元件的可靠性为pi(i=1,2,3,4), 求系统求系统的可靠性的可靠性.1234 以以A表示事件表示事件“系统正常工作系统正常工作” Ai表示事件表示事件“第第i个元件正常工作个元件正常工作”1234线路线路1线路线路2例例4 甲乙两人进行乒乓球比赛甲乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概每局甲胜的概率为率为p, p 1/2. 问对甲而言问对甲而言, 采用三局二胜制采用三局二胜制有利有利, 还是采用一局定胜负制有利还是采用一局定胜负制有利. 设各局胜设各局胜负相互独立负相互独立.解解 以以A表示事件表示事件“甲最终获胜甲最终获胜” 以以Ai表示事件表示事件“甲在第甲在第i局中获胜局中获胜”10月月8日（周六）要交作业日（周六）要交作业v 19(1) 23 28 36
