1、信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-1 1 1页页页电子教案第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应 一、差分与差分方程一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解 三、零输入响应三、零输入响应 四、零状态响应四、零状态响应3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应 一、单位序列和单位阶跃序列一、单位序列和单位阶跃序列 二、单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应和阶跃响应 点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节3.3 3.3 卷积和卷积和 一、卷积和一
2、、卷积和 二、卷积的图解二、卷积的图解 三、卷积和的性质三、卷积和的性质* *3.4 3.4 离散系统的算子分析离散系统的算子分析 一、一、E算子及方程算子及方程 二、离散系统的零输入响应二、离散系统的零输入响应 三、由三、由H(E)求求h(k) 四、求解零状态响应四、求解零状态响应第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-2 2 2页页页电子教案3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程 设有序列设有序列f(k)，则，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k
3、-2),等称为等称为f(k)的的移位序列移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分差分运算。运算。 1. 差分运算差分运算tttftfttfttfttfttfttt)()(lim)()(lim)(limd)(d000离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变化率有两种表示形式：kkkfkfkkf) 1()() 1()() 1() 1()()(kkkfkfkkf3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-3 3 3页页页电子教案3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散
4、系统的响应（1）一阶前向差分定义一阶前向差分定义： f(k) = f(k+1) f(k)（2）一阶后向差分定义一阶后向差分定义： f(k) = f(k) f(k 1)式中，式中， 和和 称为差分算子，无原则区别。本书主要用称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为后向差分，简称为差分差分。（3）差分的线性性质差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义二阶差分定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2)= f(k) 2 f(
5、k-1) +f(k-2)（5） m m阶差分阶差分: : mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m)因此，可定义：因此，可定义：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-4 4 4页页页电子教案3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应2. 差分方程差分方程 包含未知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为及其各阶差分的方程式称为差差分方程分方程。将。将差分差分展开为展开为移位序列移位序列，得一般形式，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 差分方程本质上
6、是递推的代数方程，若已知初始条差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例例1：若描述某系统的差分方程为：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励激励f(k)=2k(k),求求y(k)。解解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 注：注：一般不易得到解析形式的一般不易得到解析形式
7、的(闭合闭合)解。解。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-5 5 5页页页电子教案3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由与微分方程经典解类似，上述差分方程的解由齐次齐次解解和和特解特解两部分组成。齐次解用两部分组成。齐次解用yh(k)表示，特解用表示，特解用yp(k)表示，即表示，即 y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解齐次解yh(k) 齐次解齐次解 是
8、齐次差分方程是齐次差分方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0的解。的解。yh(k)的函数形式的函数形式由上述差分方程的由上述差分方程的特征根特征根确定。确定。（齐次解的函数形式见（齐次解的函数形式见P87P87表表3-13-1）信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-6 6 6页页页电子教案3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应齐次方程齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0其其特征方程特征方程为为 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即，即 n + an-1n
9、1 + + a0 = 0其根其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的称为差分方程的特征根特征根。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-7 7 7页页页电子教案3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应2. 特解特解 yp(k) 特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。P87P87表表3-23-2列列出了几种典型得出了几种典型得f(k)所对应的特解所对应的特解yp(k)。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-8 8 8页页页电子教案例例2 2：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分
10、方程为 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。 解解： 特征方程为特征方程为 2 + 4+ 4=0 可解得特征根可解得特征根1=2= 2，其齐次解，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k特解为特解为 yp(k)=P (2)k , k0代入差分方程得代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ，解得解得 P=1/4所以得特解：所以得特解： yp(k)=2k2 , k0故全解为故全解为 y(k)= yh+yp
11、= (C1k +C2) ( 2)k + 2k2, k0 代入初始条件解得代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4 3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-9 9 9页页页电子教案3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应 系统的全响应系统的全响应y(k)可以分解为零输入响应可以分解为零输入响应yx(k)和零状和零状态响应态响应yf(k) 。 y(k) = yx(k) + yf(k) 零输入响应和零状态响应可以零输入响应和零状态响应可以分别分别用经典
12、法求解。用经典法求解。 1010( )(1)()( )(1)()(1)nmmy kay ka y knb f kbf kb f km 已知单输入已知单输入-单输出单输出LTI离散系统的激励为离散系统的激励为f(k)，其，其全响应为全响应为y(k)，那么，描述该系统激励，那么，描述该系统激励f(k)与响应与响应y(k)之间的关系的数学模型是之间的关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，阶常系数线性差分方程，表示如下：表示如下：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-101010页页页电子教案3.1 3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应1. 1. 零输入响应零
13、输入响应 系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为称为零输入响应，零输入响应，用用yx(k)表示。表示。 在零输入条件下，在零输入条件下，(1)式可化为式可化为齐次齐次方程：方程：10( )(1)()0(2)xnxxykayka ykn通常，用通常，用y(-1)，y(-2)，y(-n)描述系统的描述系统的初始状态初始状态。( 1)( 1)( 2)( 2)(3)()()xxxyyyyynyn 一般设定激励是在一般设定激励是在k=0时刻接入系统的，在时刻接入系统的，在k1时，时，f (k)的实的实虚部均为指数增虚部均为指数增长的正弦序列。长的
14、正弦序列。r 0时时为零，因而在为零，因而在k0时，系统的单位序列响应与系统的时，系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求解单位序列零输入响应的函数形式相同。这样就把求解单位序列响应的问题转换为求解响应的问题转换为求解齐次方程齐次方程的问题。而的问题。而k=0处的处的值值h(0)可按零状态的条件由差分方程确定。可按零状态的条件由差分方程确定。3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-272727页页页电子教案2.2.阶跃响应阶跃响应 当当LTI系统的系统的激励激励为单位序列为单位序列
15、(k)(k)时，系统的时，系统的零状态响应零状态响应称为称为阶跃响应阶跃响应，用，用g(k)表示。表示。 若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求若已知系统的差分方程，那么利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应得系统的单位阶跃响应g(k)。此外。此外0( )( )()kijkikj0( )( )()kijg kh ih kj( )( )( )(1)kkkk ( )( )( )(1)h kg kg kg k 由于由于由线性和移位不变性由线性和移位不变性由于由于那么那么3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3
16、-282828页页页电子教案例例1.求如图所示离散系统的单位序列响应求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)和阶跃响和阶跃响应应g(k)。3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应解：解：（1）列写差分方程，求初始值）列写差分方程，求初始值由加法器的输出可列出系统的方程为由加法器的输出可列出系统的方程为( )( )(1)2 (2)y kf ky ky k整理得：整理得：( )(1)2 (2)( )y ky ky kf k信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-292929页页页电子教案3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应
17、根据单位序列响应的定义，它应满足方程根据单位序列响应的定义，它应满足方程由由迭代迭代得：得：( )(1)2 (2)( )( 1)( 2)0h kh kh kkhh初始条件：(0)( 1)2 ( 2)(0)1(1)(0)2 ( 1)(1)1hhhhhh （2）求）求h(k)当当k0时，时，h(k)满足齐次方程满足齐次方程( )(1)2 (2)0h kh kh k其其特征方程特征方程为：为：22(1)(2)0信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-303030页页页电子教案3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应1212 其特征根：，得方程的齐次
18、解12( )( 1)(2)0kkh kCCk，代入初始值得：代入初始值得：12(0)1hCC1212,33CC于是，系统的于是，系统的单位序列响应单位序列响应12( )( 1)(2)033kkh kk，注意：注意：这时已将这时已将h(0)的值代入，因而方程的解也满足的值代入，因而方程的解也满足 k=0。由上式可解得：由上式可解得：12(1)21hCC 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-313131页页页电子教案3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应12( )( 1)(2)0kkg kCCk1- ，2（3）求）求 g(k)根据阶跃响应的
19、定义，它应满足方程根据阶跃响应的定义，它应满足方程( )(1)2 (2)( )( 1)( 2)0g kg kg kkgg初始条件：由由迭代迭代得：得：(0)( 1)2 ( 2)(0)1(1)(0)( 1)(1)2ggggggh 容易求得其特解为：容易求得其特解为：1( )02pgkk ，于是，得：于是，得：解法解法I信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-323232页页页电子教案3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应代入初始值得：代入初始值得：121(0)12gCC1214,63CC于是，系统的于是，系统的阶跃响应阶跃响应14( )( 1
20、)(2)063kkg kk1，2由上式可解得：由上式可解得：121(1)222gCC 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-333333页页页电子教案3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应11214( )1 ( 1) 2(2)1( 1)(2)032363kkkkg kk 1，2考虑到考虑到k0，得：得：解法解法II12( )( 1)(2)033kkh kk，0012( )( )( 1)(2)33kkkiiiiig kh i101 ( 1)1( 1)1( 1) 1 ( 1)2kkiki 101 (2)(2)2(2)11 2kkiki由级数由
21、级数求和公式求和公式得：得：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-343434页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和3.3 3.3 卷积和卷积和一、卷积和一、卷积和1 . .序列的时域分解序列的时域分解012ik-1f(k)f(-1)f(0)f(1)f(2)f(i)任意离散序列任意离散序列f(k) 可表示为可表示为iikif)()( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)( ) ()f kfkfkfkfkf iki信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-353535页页页电子教案3.3 3.3 卷积和
22、卷积和2 . .任意任意序列作用下的零状态响应序列作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf (k)f (k)根据根据h(k)的定义：的定义：(k) h(k) 由时不变性：由时不变性：(k - -i)h(k - -i)f (i)(k - -i)由齐次性：由齐次性：f (i) h(k- -i)由叠加性：由叠加性：f (k)yf (k)卷积和卷积和iikif)()(iikhif)()(ifikhifky)()()(信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-363636页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和3 . .卷积和的定义卷积和的定义 已知定义在区
23、间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(k)和和f2(k)，则定义和，则定义和 为为f1(k)与与f2(k)的的卷积和卷积和，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(k)= f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是在虚设的变量 i 下进行的，下进行的， i 为求和变为求和变量，量，k 为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为k 的函数。的函数。 iikfifkf)()()(21)(*)()()()(khkfikhifkyif信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-373737页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和 若有两个序列若有
24、两个序列f1(k)与与f2(k)，如果序列，如果序列f1(k)是因果序列，是因果序列，即有即有f1(k)=0,k0,则卷积和可改写为：则卷积和可改写为：120( )( )()if kf i fki 若有两个序列若有两个序列f1(k)与与f2(k)，如果序列，如果序列f2(k)是因果序列，是因果序列，即有即有f2(k)=0,k0,则卷积和可改写为：则卷积和可改写为：12( )( )()kif kf i fki 如果序列如果序列f1(k)与与f2(k)均为因果序列，即若均为因果序列，即若f1(k)=f2(k)=0, k0, 则卷积和可写为：则卷积和可写为：120( )( )()kif kf i f
25、ki信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-383838页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和例例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求求yf (k)。解解： yf (k) = f (k) * h(k)当当i k时，时，(k - i) = 0iikiiikbiaikhif)()()()(1001( ),( )( )( )1(1) ( ),kikkkik ikfiikababkabyka bkbkabbbkkab这种卷积和的计算方法称为这种卷积和的计算方法称为解析法。解析法。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第
26、第第3-3-3-393939页页页电子教案)() 1(1)()()(*)(0kkikikkkii)(*)(kk例例2：求)4(*)(kkak例例3：求3.3 3.3 卷积和卷积和403( )* (4)( )* (4)() (4)1(4),11(3) (4),1kkiiiikakkaikiakakaakka 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-404040页页页电子教案)7()6(1)4()3()4(*)3(43kkikikkkii)4(*) 3(kk例例4：求求3.3 3.3 卷积和卷积和0(0.5)( )*1(0.5)( ) 11(0.5)2,1 0.5k
27、iiiikik (0.5)( )*1,kkk 例例5：求求信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-414141页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为五步五步：（1）换元换元： k换为换为 i得得 f1(i)， f2(i)；（2）反转反转： 将将 f2(i)以纵坐标为轴线反转，成为以纵坐标为轴线反转，成为f2(i)；（3）平移平移：将：将f2(i)沿沿i轴正方向平移轴正方向平移k 个单位个单位 f2(k i);（4）乘积乘积： f1(i) f2(k i) ;（5）求和求和： i 从从 到到对乘积项
28、求和对乘积项求和。注意注意：k 为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。iikfifkf)()()(21信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-424242页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和例例1：f1(k)、 f2(k)如图所示，已如图所示，已知知f(k) = f1(k)* f2(k)，求，求f(2) =？解解：（1）换元）换元（2） f2(i)反转得反转得f2( i)（3） f2(i)右移右移2得得f2(2i)（4） f1(i)乘乘f2(2i)（5）求和，得）求和，得f(2) = 4.5iififf)2()()2(21iiiif2(i )f2
29、(2i)012i-1f1( i )f2( k- - i )11.523信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-434343页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和)(*)(21kfkf: )(),(),(221ififif解解：（1）换元，反转，得）换元，反转，得1 2 3-1-2012)(1ifi1 2 3-1-2012i)(2ifk1 2 3-1-2012)(1kfk1 2 3-1-2012)(2kf例例2 2 求求信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-444444页页页电子教案012ikk-1)(2ikf)()(),(2
30、12ikfifikf（2） 平移，求平移，求3.3 3.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-454545页页页电子教案)()()(*)(2121ikfifkfkfi30211, 3)1 ()(0, 3)0()(1, 1)1()(2, 0212121kkkififkififkififkiii: )(*)(21kfkf（3）求）求3.3 3.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-464646页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和三、不进位乘法求卷积三、不进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之
31、和为所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和的那些样本乘积之和。如如k=2时时f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + 例例1 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0iikfifkf)()()(211212121212( 1)(1)(0)( )(1)(1)(2)(2)( )()ffkffkffkffkf i fki信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-474747页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和
32、f1(1) ， f1(2) ， f1(3)f2(0) ， f2(1)f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0) f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1) + f1(3) f2(1) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(1) f2(0)f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 排成乘法排成乘法信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心
33、第第第3-3-3-484848页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和3 ， 4， 0， 62 ， 1 ， 5解解:15 ，20， 0， 303 ， 4， 0， 66 ，8， 0， 12+ 6 ，11，19，32，6，30例例2 f1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0 k=1 f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0 k=0求求f(k) = f1(k)* f2(k)f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=1注：注：教材中提到的教材中提到的列表列表法法与这里介绍的与这里介绍的不进位不进位乘法乘法本质是一样的。本质是一样的。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研
34、中心第第第3-3-3-494949页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和四、卷积和的性质四、卷积和的性质1. 1. 满足乘法的三律满足乘法的三律1221( )*( )( )*( )f kfkfkf k(1) 交换律：交换律：1231213( )*( )( )( )*( )( )*( )f kfkf kf kfkf kf k(2) 分配律：分配律：(3) 结合律：结合律：123123( )*( )*( )( )*( )*( )f kfkf kf kfkf k证明证明： ( (仅证明交换律，其它类似。仅证明交换律，其它类似。) )1212122121( )*( )( )()()( )( )()
35、( )*( )ijjf kfkf i fkif kj fjfj f kjfkf k信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-505050页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和2. 2. 复合系统的单位序列响应复合系统的单位序列响应3. f(k)*(k) = (k) *f(k)=f(k)，f(k)*(k k0) = f(k k0) 4. f(k)*(k) =kiif)(5. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k) 6. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 信号与系统信号与系
36、统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-515151页页页电子教案);()(*)() 1 (kfkkf);()(*)()2(00kkfkkkf);()(*)() 3(kkk);()(*)()4(2121kkkkkkk);(*)()(*)()5(121211kkfkfkfkkf)(*)()(*)()6(12212211kkfkkfkkfkkf)(*)()(*)(22112121kfkkkfkkkfkf3.3 3.3 卷积和卷积和常用卷积和公式常用卷积和公式求求卷积和卷积和是本章的重点。是本章的重点。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-525252
37、页页页电子教案(1):( )* ( )( )*( )f kkkf k( ) ()if iki( )f kiikikk)()()(*)(: ) 3( )k证明证明:3.3 3.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-535353页页页电子教案。的图形如图所示，求和已知序列)()()()(2121kfkfkfkf例例1 30312418081310)()(21kkkkkkkkfkf解法解法I：（列表法）（列表法）3.3 3.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-545454页页页电子教案3031241
38、8081310)()(21kkkkkkkkfkf解法解法II：（不进位乘法）：（不进位乘法）3.3 3.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-555555页页页电子教案解法解法III： （图解法）（图解法）iikfifkfkf)()()()(21213.3 3.3 卷积和卷积和信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-565656页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和12( )(1)2 ( )(1)( )3 ( )2 (1)(2)f kkkkfkkkk)()()()()()()()()()()()(111111
39、1111kkkkkkkkkkfkkkkfkkfkkkfkfkkf解法解法IV： （解析法）（解析法）12( )( ) (1)2 ( )(1) 3 ( )2 (1)(2)3 (1)2 ( )(1) 6 ( )4 (1)2 (2)3 (1)2 (2)(3)3 (1)8 ( )8 (1)4 (2)(3)f kfkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-575757页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和应。应、零状态响应和全响的离散系统的零输入响求下列差分方程所描述例例2 0)2(, 1) 1(),()(),()2(2) 1(
40、3)(yykkfkfkykyky解：解：（1）求零输入响应：求零输入响应：零输入响应满足方程：零输入响应满足方程：( )3(1)2(2)0(1)xxxy ky ky k方程方程特征根特征根为：为：2, 121上式的上式的特征方程特征方程：2320(P.110 3.6 (4) )信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-585858页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和4, 121CC解以上两式得：解以上两式得：( )( 1)4( 2) ,0kkxy kk于是系统的于是系统的零输入响应零输入响应为：为：所以其齐次解为：所以其齐次解为：0,)2() 1()(21k
41、CCkykkx将将初始值初始值代入得：代入得：12121(1)(1)121(2)(2)04xxyyCCyyCC 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-595959页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和PCCkykkf)2() 1()(21 系统的零状态响应是非齐次方程的解，分别求出系统的零状态响应是非齐次方程的解，分别求出非齐次方程的非齐次方程的齐次解齐次解和和特解特解，得，得（2）求零状态响应：）求零状态响应：零状态响应满足方程零状态响应满足方程( )3(1)2(2)( )(2)fffykykykf k)2(2) 1(3)()(kykykfkyfff初始
42、状态初始状态0)2() 1(ffyy由（由（2）式得：）式得：2) 1(2)0(3) 1 () 1 (1)2(2) 1(3)0()0(ffffffyyfyyyfy迭代得：迭代得：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-606060页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和181( )( )( ) ( 1)( 2),0236kkxfy ky kykk（3）系统的全响应为：）系统的全响应为：的初始值代入，得将)(kyf1622) 1 (1)0(2121PPCCyPCCyff另外：61,34,2121PCC解以上三式得：解以上三式得：)(61)2(34) 1(21)(
43、kkykkf于是系统的于是系统的零状态响应零状态响应为：为：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-616161页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和1( )( )( )2kf kk如图所示系统，若激励，求系统的零状态响应。例例3:3:解：解：(1) 求系统的差分方程：求系统的差分方程：31( )( )(1)(2)48y kf ky ky k整理得：整理得：31( )(1)(2)( )48y ky ky kf k(P.112 3.17)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-626262页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积
44、和系统的系统的零状态响应零状态响应满足：满足：311( )(1)(2)( )( )(1)482( 1)( 2)0kfffffykykykkyy由由迭代迭代得：得：31(0)( 1)( 2)(0)148fffyyyf315(1)(0)( 1)(1)484fffyyyf(2) 求零状态响应的齐次解求零状态响应的齐次解差分方程的差分方程的特征方程特征方程为：为：231048信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-636363页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和1211( )( )( )24kkfhykCC可解得可解得特征根特征根为：为：1211,24因此，因此，
45、齐次解齐次解为：为：(3) 求零状态响应的特解求零状态响应的特解1( )( )( )2kf kk因为激励因为激励的底数与特征根的底数与特征根1 1相等。相等。其其特解特解为：为：101( )()( )02kpykPkPk，将将特解特解代入（代入（1），得：），得： 12101010131111()( ) (1)( ) (2)( )( )242822kkkkPkPP kPP kP信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-646464页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和102,PP任意解得：解得：（4）求零状态响应）求零状态响应1210111( )( )( )(
46、 )( )()( )242kkkffhpykykykCCPkP120(0)1fyCCP12101115(1)()2424fyCCPP代入代入初始条件初始条件得：得：21010CCP，解得：解得：所以，系统的零状态响应为：所以，系统的零状态响应为：11( )( )2 ( )042kkfykkk，信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-656565页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和例例4:4:已知某已知某LTI系统的输入为系统的输入为解：解：1,0( )4,1,20,kf kk其余时，其零状态响应为时，其零状态响应为0,0( )9,0fkykk求系统的单位序
47、列响应。求系统的单位序列响应。( )( )4 (1)4 (2)f kkkk( )9 ( )fykk由题意知：由题意知：(P.112 3.19)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-666666页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和( 1)0h ( 2)0h 初始条件：初始条件：( )( )4 (1)4 (2)9 ( )fykh kh kh kk 设系统的单位序列响应为设系统的单位序列响应为h(k)，根据零状态响应，根据零状态响应的的线性线性性质：性质：由迭代得：由迭代得：(0)94 ( 1)4 ( 2)9hhh(1)94 (0)4 ( 1)27hhh （1
48、）特解：）特解：( ),0ph kPk代入得：代入得：1P 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-676767页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和特征方程：特征方程：2440特征根：特征根：122 （2）齐次解）齐次解齐次解：齐次解：12( )()( 2)khh kC kC12( )( )( )()( 2)1,0khph kh kh kC kCk（3）零状态响应全解）零状态响应全解代入代入初始条件初始条件：2(0)19hC 12(1)2() 127hCC 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-686868页页页电子教案3
49、.3 3.3 卷积和卷积和解得：解得：28C 16C ( )(68)( 2)( )( )kh kkkk系统的系统的单位序列响应单位序列响应为：为：信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-696969页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和123( )( )( )()( )( )h kkh kkNNh kk如图所示的复合系统由3个子系统组成，它们的单位序列响应分别为， 为常数，求复合系统的单位序列响应。例例5:5:解：解：123( ) ( )( )*( )h kh kh kh k由复合系统各个子系统之间的连接关系得由复合系统各个子系统之间的连接关系得: ( )(
50、)* ( )( )* ( )()* ( )kkNkkkkNk( )()kkN(3.21)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第第第3-3-3-707070页页页电子教案3.3 3.3 卷积和卷积和例例6:6:某人向银行贷款某人向银行贷款M=10万元，月利率万元，月利率=1%，他定期，他定期于每月初还款数为于每月初还款数为f(k)，尚未还清的款数为，尚未还清的款数为y(k)，列，列出出y(k)的方程。如果他从贷款后第一个月的方程。如果他从贷款后第一个月(可设为可设为k=0)还款，则有还款，则有f(k)=N(k)万元和万元和y(-1)=M=10万元。万元。解：解：(1) 如每月还
