1、前面我 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 类比1212,a ab bab1122,ab abab1122,ab abab12,aaRa平面向量坐标运算1 -加减、数乘运算已知 ,则123( ,)a a a，a112233(,)ab ab abab112233(,)ab ab abab123(,)()aaaRa空间向量坐标运算1 -加减、数乘运算123( ,)b b bb已知 ,则 1212,a ab bab平面向量坐标运算2 -数量积已知 ,则
2、1 122aba ba b123( ,)a a a，a空间向量坐标运算2 -数量积123( , , )b b bb已知 ,则1 12 23 3aba ba ba b 类比 下面证明：空间向量数量积运算的坐标表示设 为空间的一个单位正交基底,则：, ,i j k123aaa，aijk123bbbbijk所以, 123123aaabbba bijkijk得到1 12233a ba ba ba b利用向量数量积的分配律以及1，i ij jk k0i jj kk i 平面向量坐标运算3 -共线与垂直判定 已知1212,a ab bab,则当0b时1122,()ab ababab R1 12 200ab
3、a baba b =空间向量坐标运算3 -共线与垂直判定123( ,)a a a，a123( ,)b b bb已知 ,则当b0时112233,()ab ab ababab R1 12 23 3=00aba ba baba b类比121212( ,0)aab bbb312123123( , ,0)aaab b bbbb 平面向量坐标运算4 -模长公式 已知 ,则12,a aa2212aaaa a123( ,)a a aa空间向量坐标运算4 -模长公式已知 ,则222123aaaaa a类比 1212,a ab bab平面向量坐标运算5 -夹角公式已知,则1 12222221212cos,|aba
4、 baabba ba ba b 123( ,)a a a，a空间向量坐标运算5 -夹角公式123( ,)b b bb已知 ,则1 12 23 3222222123123cos,|aba ba baaabbba ba ba b 类比 空间向量坐标运算6 -两点间距离公式已知 ,则111( ,)A x y z ，222(,)B xy z222212121|()()()ABABxxyyzz 平面向量坐标运算6 -两点间距离公式已知 ,则11( ,)A x y ，22(,)B xy222121| ()()ABABxxyy 类比空间中两点间距离公式Oxyz如图，建立空间直角坐标系11112222,P x
5、 y zP x y z设 是空间中任意两点，则1221212121,PPOPOPxx yy zz 2221 21 21 2212121PPPP PPxxyyzz 于是2221 21 2212121PPPPxxyyzz 所以xyzOijkP2P1例1 已知 ，求2, 1, 2 ,0, 1,4 ab , 2 ,.ab a baabab 2,0, 62, 2,28aba + b 解：24, 2, 4a = 20+11247a b = 2, 2,2ab证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间 Oxyz直角坐标系 11 1(1,1, ),( ,1),22 2EF,则 11 1(, ).22 2E
6、F 所以 1(1,0,1),(0,0,0),AD1(1,0,1).DA 又 所以 111 1(, ) (1,0,1)0.22 2EF DA 所以 1EFDA 1EFDA因此 ,即 . 例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是BB1, D1B1 的中点，求证：EFDA1. CABDD1A1B1C1OFExyz思考：你能从例3的解答中体会解决此类问题的基本思路吗？建立恰当坐标系由运算结果定结论用向量表示元素进行向量坐标运算 简记：建系点坐标向量坐标代入公式求解 例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,M为BC1的中点，E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,1
7、111111111,44B EA BD FC D（1）求AM的长. （2）求与所成角的余弦值.1BE1DFCABDD1A1B1C1OF1E1xyzOxyz解：（1）建立如图的空间直角坐标系 ,则 A1,0,0 ，M11,1,22点 的坐标为 点 的坐标为 . 622221111 0022AM于是 . M1,1,0B，11311,1 ,0,0,0 ,0,144EDF（2）由已知得, 1111150 01 14416BE DF 所以 . 111111151516cos,17171744BE DFBE DFBE DF 所以 . 1BE1DF1517与 所成角的余弦值 . 所以 1110,10,0,0
8、0,144DF 1174BE ，1174DF ，1311,11,1,00,144BE所以, . CABDD1A1B1C1OF1E1xyzM2.已知 , , 求:(1) (2) (3) (4) 3,2,5 a1,5, 1bab6a3 aba b3 12 5512a b 解：310,1,16ab 618,12,30a 2,7,4ab 3.已知 , , 且 ,求 的值.2, 1,3a4,2,x babx 0241230103xx aba b解： 1.空间向量运算的坐标表示 2.空间向量中垂直向量坐标之间的关系. 3.空间中两点间的距离公式和空间两向量夹角余弦值的计算公式.4.利用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题. 简记：建系点坐标向量坐标代入公式求解
