1、2021.71.3.2 空间向量运算的空间向量运算的坐标表示坐标表示新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示1会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题(数学运算)2掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直(逻辑推理、数学运算)3掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(逻辑推理、数学运算)2.掌握空间向量的数量积的坐标表示在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担
2、对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为 .若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？一一空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab=a1 i +a2 j +a3 k+b1 i +b2 j +b3 k=（a1+b1）i +（a2+b2）j +（a3 +b3）k=(a1+b1,a2+b2,a3 +b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)a(a1，a2，a3)aba1b1a2b2a3b3加法减法数乘数量积1 1. .空间向量运算法则空间向量运算法则2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系
3、:设 A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) , 则AB=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减终点坐标减去起点坐标去起点坐标. .二二空间向量的相关结论空间向量的相关结论设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab, ab(b0), a1b1，a2b2，a3b3(R) ab, ab0 , a1b1a2b2a3b30 1 1空间向量的平行、垂直及模和夹角空间向量的平行、垂直及模和夹角模模夹角夹角2.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设
4、P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)(1)P1P2(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)题型一题型一空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算例1 (1)已知a(1，2，1)，b(2，0，1)，则(2a3b)(ab)_；(2)若2ab(2，4，3)，a2b(1，3，1)，则cosa，b_(1)易得2a3b(4，4，5)，ab(3，2，0)，则(2a3b)(ab)4(3)42504.(2)设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，同理可得y11，y22，z11，z21，即a(1，1，1)，b(0，2，1)，ab0213， 关于空间向量坐标运算的两类问题关于空间向量坐标运算
5、的两类问题(1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；用空间向量坐标运算公式计算；(2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标通过建立方程组，解方程组求出其坐标1已知A(1，2，0)和向量a(3，4，12)，且AB2a，则点B的坐标为()A(7，10，24) B(7，10，24)C(6，8，24) D(5，6，24)2已知a(1，1，0)，b(0，1，1)，则a(2b)_，(ab)(2a3b)_
6、a(2b)2ab2(010)2，ab(1，0，1)，2a3b2(1，1，0)3(0，1，1)(2，1，3)(ab)(2a3b)(1，0，1)(2，1，3)235.题型二题型二利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题利用空间向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题例2如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB ，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE； (2)AM平面BDF.BACDEFM(1)如图，建立空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE，xyzNNEAM.又NE与AM不共线，NEAM.又NE平面BDE，AM 平面BDE，AM平面BDE.AMDF，即
7、AMDF.同理，AMBF，即AMBF.又DFBFF，且DF平面BDF，BF平面BDF，AM平面BDF.c(2，1,2)或c(2,1，2)判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行(2)对于a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的数量积是否为0判断两向量是否垂直；根据x1x2，y1y2，z1z2(R)题型三题型三向量夹角与长度的计算向量夹角与长度的计算 例3如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PAAD2.(1)求M，N两点之间的距离；(2)求
8、直线PA与MN所成的角BACDPMN(1)以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示则A(0，0，0)，B(0，2，0)，D(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，所以M(0，1，0)，N(1，1，1)，xyz直 线 PA 与MN所成的角为45.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N为A1A的中点(1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值ABCA1B1C1Nxyz建立如图所示的空间直角坐标(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
9、BA1(1，1，2)，CB1(0，1，2)，BA1CB110(1)1223.cosBA1，CB1BA1CB1BA1CB11利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角 2利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长 1(2021河南安阳高二检测)已知a(2，3，1)，b(2，1，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_ab(2，3，1)(2，1，3)4334，所以平行四边形的面积为S|a|b|sin a，b2已知空间直角坐标系中点P(1，2，3)，现在z轴上取一点Q，使得|PQ|最小，则Q点的坐标为()A(0，0，1) B(0，0，2)C(0，0，3) D(0，1，0)
