1、第四章根轨迹法 绘制根轨迹的条件绘制根轨迹的条件G(s)R(s)C(s) H(s)1( )( )0G s H s特征方程式( )( )1G s H s ( )( )( 180360 )|( )( )|10,1,2, .j G s H sjiG s H seei |( )( )| 1( )( )1803600,1,2,.G s H sG s H sii 幅值条件相角条件（充要条件）（充要条件）开环传递函数：开环传递函数：G(s)H(s)闭环传递函数闭环传递函数)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs记录记录规则规则1 1：根轨迹的分支数：根轨迹的分支数1212()().()1( )( )
2、10()().()mnk szszszG s H snmspspsp 1212()().()()().()0nmspspspk szszsznmsnn因为，所以这是 的次方程，有个根。 根轨迹的条数根轨迹的条数=特征根的个数特征根的个数=特征方程的阶次，特征方程的阶次，即等于闭环极点的个数，亦等于开环极点数。即等于闭环极点的个数，亦等于开环极点数。规则规则2 2：根轨迹的连续性与对称性：根轨迹的连续性与对称性根轨迹是连续的且对称于实轴。根轨迹是连续的且对称于实轴。 由代数方程的性质可知：任一实系数方程的复根只能是成对的共轭共轭复根。若方程的系数连续变化，则根也连续变化。规则规则3 3：根轨迹的
3、起点与终点：根轨迹的起点与终点根轨迹起始于根轨迹起始于(k=0)开环极点，终止于开环极点，终止于( (k)开环零点开环零点处。处。若若 m n 则有则有n-m 条根轨迹终止于无穷远处。条根轨迹终止于无穷远处。规则规则4 4：根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线若若mn ,mn ,当当 kk时有时有n-m条根轨迹沿着条根轨迹沿着n-m条渐近线趋于条渐近线趋于s s平面无穷远处平面无穷远处110nmjiijijpzpznmaj渐近线在实轴交于一点其若无开环零中开环极点 ,开环点，取z零点 ,1180nm290nm 3180 , 60nm445 , 135nm 关于实轴对称，关于实轴对称，两相邻渐近线间夹
4、角相等两相邻渐近线间夹角相等即：即：n n与与m m不相等时，参数不相等时，参数k k趋于无穷的根轨迹称为根轨迹的渐近线趋于无穷的根轨迹称为根轨迹的渐近线=(2b+1)/(n-m)，b=0,1,2 ，即即 的奇数倍除以的奇数倍除以(n-m)渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴正方向的夹角为：1）2）-2渐进线与正实轴的夹角为：渐进线与正实轴的夹角为： 1801800 0(2b+1)/(n-m)(2b+1)/(n-m)， (b=0,1, 2)渐进线与实轴的交点为：渐进线与实轴的交点为：(p(p1 1+p+p2 2 +p+p3 3+ +)-(z)-(z1 1 +z+z2 2 + +)/(n-m
5、)/(n-m)-1n-m =3, 1800(2b+1)/3=6001800-600(b=0,1)交点坐标：交点坐标： (0-1-2)/3=-10例：已知系统零极点位置如图所示，画出根轨迹例：已知系统零极点位置如图所示，画出根轨迹S平面举例：根轨迹的渐近线举例：根轨迹的渐近线S平面规则规则5 5：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹 在实轴上，若点在实轴上，若点s s右方的实数极点与实数零点右方的实数极点与实数零点个数的总和为奇数时，此个数的总和为奇数时，此s s就是根轨迹上的点。就是根轨迹上的点。例：已知系统开环零极点如图，例：已知系统开环零极点如图，画出实轴上的根轨迹。方法：画出实轴上的根轨迹。方
6、法：1.1.条数条数= =极点数；极点数；2.2.实轴轨迹上各点的右侧需有实轴轨迹上各点的右侧需有奇数个零极点；奇数个零极点；3.3.方向：起始于极点，终止于方向：起始于极点，终止于零点或零点或 处处；4.4.当当n n m m时，少的那个在时，少的那个在 处。处。(用相角条件可以证明：若右侧有偶数个z、p点，则不满足相角条件)规则规则6 6：根轨迹的分离点与会合点：根轨迹的分离点与会合点分离点分离点 重实根变成共轭复根从实轴离开。会合点会合点 共轭复根进入实轴变成重实根。会合点实轴上会合点和实轴上会合点和分离点都是分离点都是特征方程式的特征方程式的实数重根实数重根。j分离点 若会合点或分离点
7、若会合点或分离点处是处是二重二重实根，根轨实根，根轨迹进入或离开实轴时迹进入或离开实轴时与实轴正交。与实轴正交。( )( )00( )df sdD sdsds N s根轨迹在实轴上分离点或会合点坐标应满足或 若会合点或分离点处是若会合点或分离点处是二重实根二重实根，根轨迹进入，根轨迹进入或离开实轴时与实轴正交。或离开实轴时与实轴正交。j-1-21230,1,23,0pppnm 解： 三个开环极点1.3根轨迹 条。2.0, 0), ( 1, 0), ( 2, 0);jjj起点（终点无穷远处。110 13.32010033nmijijapznmnm 渐近线条4.21 0实轴上的根轨迹： （- ，-
8、 ），（- ，）)2)(1()()(sssksHsG例例4.2.1 单位负反馈系统开环传函单位负反馈系统开环传函 绘制根轨迹。绘制根轨迹。603) 12(:1180) 12(:1603) 12(:0mnllmnllmnll5.根轨迹在实轴的分离点32( )10(1)(2)( )320kf ss ssf ssssk 2( )3620df sssds120.4221.578ss 解得2s 不在根轨迹上，舍去。-0.422j-1-2s s1 1 s s2 2 是否均为分离点？是否均为分离点？)2)(1()()(sssksHsG规则规则7 7：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点1()()0sjG
9、jH j根轨迹与虚轴相交，即有纯虚根令代入特征方程式有：emR 1()()I 1()()0G jH jjG jH j或写成emR 1()()0I 1()()0G jH jG jH j实部方程式：虚部方程式：ckk由这个方程组可求出根轨迹与虚轴相交处的角频率及对应参数 的临界值。-0.422j-1-22320ssk3特征方程 s32320sjjjk将代入有：3020k2实部方程-3虚部方程00k62k 26cjk 2j)2)(1()()(sssksHsG例 4.2.2 知单位负反馈系统开环传函,求根轨迹与虚轴的交点。解：规则规则8 8：根轨迹的出射角与入射角：根轨迹的出射角与入射角出射角出射角
10、根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角入射角入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角1p出射角1z入射角11111111180()()()180()()()lmlnplljlilijii llnlmzlliljljijj lppzppppzzpzzzz 起始于开环复数极点处的出射角为终止于开环复数零点处的入射角为规则规则8：根轨迹的出射角与入射角：根轨迹的出射角与入射角总结规则规则8 8：根轨迹的出射角与入射角：根轨迹的出射角与入射角规则规则7 7：根轨迹与
11、虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点规则规则6 6：根轨迹的分离点与会合点：根轨迹的分离点与会合点规则规则5 5：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹规则规则4 4：根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线规则规则3 3：根轨迹的起点与终点：根轨迹的起点与终点规则规则2 2：根轨迹的连续性与对称性：根轨迹的连续性与对称性规则规则1 1：根轨迹的分支数：根轨迹的分支数例4.2.3单位负反馈系统开环传递函数为2(1)( )( )33.25k sG s H sss21,233.250 ,1.5,210 ,1,1sspjnsm 1解： 令求得开环极点求得开环零点z1212,ppz根轨迹 条，起始于 和终止于 及无穷远处。-
12、1 实轴上的根轨迹 （， ）j1z2p1p-1-1.5j-j-2.12会合点会合点 2.12绘制根轨迹。整理得025. 022 ss解得s1= -2.12， s2=0.12，233.2501sdssdss求会合点,令法一不在实轴根轨不在实轴根轨迹上，舍去迹上，舍去渐近线n-m=2-1=1条，与实轴正方向夹角180 求会合点：2(1)( )( )33.25k sG s H sss025. 33) 1(1)(2sssksf125. 332sssk0) 1(25. 33)(2sksssf032)(ksdssdf将k代入0125. 33322ssss整理得025. 022 ss解得s1= -2.12，
13、 s2=0.12特征方程：不在实轴根轨不在实轴根轨迹上，舍去迹上，舍去方法二j1z2p1p-1-1.5j-j-2.1211112180()()180 1.5( 1) 1.5( 1.5)180( 0.5)2180116.690206.6ppzppjjjjj 求出射角2206.6p 1206.6p2206.6p 若会合点或分离点处是若会合点或分离点处是二重实根二重实根，根轨迹进入，根轨迹进入或离开实轴时与实轴正或离开实轴时与实轴正交。（交。（-2.12处）处）9.闭环极点的和与积111120()()0nnnnnisa sasasssssss特征方程.） .（其中闭环极点111,()nniiniis
14、asa根据代数方程根与系数的关系1|ninisa对于稳定的系统 利用这些规则，可在已知某些简单系统的部分闭环极点的情况下，求其它极点。9.闭环极点的和与积1,234-2-4 4-2-1s2,cjsk 例已知例中根轨迹与虚轴交点为求 及 。32320sssk特征方程112331213332 (2)3niisassssssjj 有由则1231(),()()()22 3 6nincnisa kasssjj 由) 2)(1()()(sssksHsGj-1-2-3根轨迹：闭环极点闭环极点随某参数变化时的变化轨迹根轨迹：可从开环零、极点位置开始画起即得到了对应于k=6时的三个特征根s1,2,310.放大系
15、数的求取1212.| |( )( )|1|.|.|.mnk szszszG s H sspspsp幅值条件 |11|nliillmljjspskksz根轨迹上一点对应的 值为无开环零点时分母取1闭环系统的特征根满足：根轨迹放大系数根轨迹放大系数:1011102121203()0lim( )( )()()1lim( )( ),0()()lim( )( ),0()mjjpnsiimjjvnsiimjjansiizKG s H skpzKsG s H skppzKs G s H skppp型系统型系统2型系统1212()().()( )( )()().()mnk szszszG s H sspsps
16、p开环传递函数各型系统开环放大系数：各型系统开环放大系数：例例4.2.5 4.2.5 系统开环传递函数已知，系统开环传递函数已知，临界参数临界参数k kc c=6,=6,求对应的开环放大倍数求对应的开环放大倍数KVC 。12310,1,2;ppp 解： 型系统，开环极点无零点1231163()() ()1 2VCcKkspp )2)(1()()(sssksHsG小结：绘制根轨迹图1、前述规则不是同时都要用，不同的根轨迹，用到的法则不同。2、应用的法则越多，画出的根轨迹就越精确。步骤步骤复习基本法则复习基本法则)2)(1()(sssksG单位负反馈系统单位负反馈系统的开环传递函数的开环传递函数-
17、2-10S平面1.求开环零、极点并先标在求开环零、极点并先标在s平面上平面上根轨迹分支数根轨迹分支数2.画出实轴上的根轨迹；判断各条轨迹起点和终点画出实轴上的根轨迹；判断各条轨迹起点和终点3.求出渐近线：条数、交点、交角求出渐近线：条数、交点、交角4.画出根轨迹：画出根轨迹：若与实轴有交点若与实轴有交点求分离点求分离点(实数重根) 若与虚轴有交点若与虚轴有交点求一对纯虚根求一对纯虚根小结：绘制根轨迹图定性绘制根轨迹绘根轨迹图绘根轨迹图22)2()()(2sssksHsG补充-2j1绘制根轨迹的规则不一定都用到，但使用的规则越多画得越精确绘制根轨迹的规则不一定都用到，但使用的规则越多画得越精确定
18、性绘制根轨迹补充定性绘制根轨迹补充作业(2)定性绘制根轨迹补充作业(3)例 4-2-6 绘系统的根轨迹图并求与虚轴交点对应的放大系数和闭环极点。开环传递函数为)22)(73. 2()()(2ssssksHsG45 31547 :3 135 22545 :213543 :1 454) 12( :018. 104073. 2j1j10)3, 2)4 1)73. 2j,1j,1, 0 1143214321或或角为渐近线与实轴交点与交止于无穷远。起于。根轨迹分支数为开环极点为解lllmnllmnzpppppppppmjjniia书上例4）实轴上的根轨迹（-2.73，0）5）根轨迹与实轴的分离点坐标。6
19、）根轨迹的出射角。7）根轨迹与虚轴的交点。8)06. 2s 0)22ss)(73. 2s ( s dsd1275753090135180)()()(1803423212p2ppppppp23. 7)0)(07. 10) 0(046. 573. 4046. 71324ckkskk及)(33. 1)73. 2()1)(1 (123. 7)()(121sjjpzkKniimjjcvc84. 0365. 2, 3 . 623. 773. 473. 423. 7 07. 1:)9)()()(73. 4046. 546. 773. 4)(43214321432, 143214321234jssssssssskjskssssssssksssssDc，闭环极点为系统在临界状态时两个系统的特征方程为：定性绘制根轨迹补充作业(2)答案定性绘制根轨迹补充作业(3)答案
